Econ probability 2023-24

Общая информация

Канал @room112 с объявлениями

Программа дисциплины

Таблица с контактами преподавателей и ассистентов

Элементы контроля:

Оценка = 0.3*КР1+0.3*КР2+0.1"Аудиторная и домашняя работа"+0.3*Экзамен

Основная литература

• Алексей Шведов, Теория вероятностей и математическая статистика: пособие для вузов
• Алексей Шведов, Теория вероятностей и математическая статистика - 2 (промежуточный уровень) : учеб. пособие
• Борзых Д. А., Теория вероятностей и математическая статистика в задачах: Более 360 задач и упражнений
• Борзых Д. А., Теория вероятностей в задачах и Математическая статистика в задачах
• Blitzstein, Hwang, курс Statistics 110: книга, видеолекции, листки с упражнениями, теория вероятностей до статистики, но с MCMC и упражнениями в R.

Дополнительная литература

• Dekking, Modern introduction to probability and statistics. Учебник, упражнения в конце каждой главы.
• Kelbert, Suhov, Probability and statistics by example: задачи Кембриджских тривиумов с подробными решениями. Кельберт, Сухов, Вероятность и статистика в примерах и задачах.
• Наталья Чернова, Теория вероятностей.

У Черновой менее популярное определение функции распределения, $F(t)=P(X<t)$, в нашем курсе мы используем $F(t)=P(X\leq t)$, будьте аккуратны.

• Наталья Чернова, Математическая статистика
• Williams, Weighing the odds, Учебник с кучей красивых примеров, для начинающих изучать вероятности с нуля, но довольно требовательный к читателю.
• Grimmett and Stirzaker, Probability and Random Processes
• Grimmett, One thousand exercises in probability

Материалы к курсу

• Подборка контрольных прошлых лет. Если есть подозрение на опечатку-ошибку в материалах кр-видео, то поднимите запрос. Укажите, где конкретно ошибка и в чём её суть.
• Листки к семинарам ип: по вероятностям, по статистике.
• Вики-странички прошлых лет: 2019-20, 2020-21, 2021-22, 2022-23
• Для гурманов аксиоматического подхода: Математические основы теории вероятностей -- видеозапись лекций по курсу «Стохастический анализ» в 2013--2014 учебном году для студентов 2 курса факультета экономических наук.
• Таблицы: распределения, связанные с нормальным, тест Колмогорова (рус), тесты Колмогорова и Смирнова (eng)
• Приложения вместо таблиц: android, ios1, ios2

Первый семестр

Нажми "развернуть", чтобы просмотреть содержимое - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 🡣

5 сентября. Основные понятия теории вероятностей. Дискретное вероятностное пространство.

Разберите теоретический материал лекций:

• Слайды к лекции (Дизайн и креатив Александра Михайлова)

• Основные понятия ТВ. Пространство элементарных событий. Случайные события.
• Аксиома вероятности.
• Классическое определение вероятности. Задача о счастливом билете.

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Основные понятия теории множеств
• БП: Основные понятия теории вероятностей
• БП: Примеры элементарных задач

Рекомендуемые задачи для подготовки к контрольной по темам этой лекции:

• Задачный минимум: №1,2.
• Задачи из прошлых контрольных: №1 из первой кр 2019-2020; №1 из первой кр 2018-2019; №1 (1 и 2 пункты), 2 из первой кр 2017-2018

12 сентября. Теоремы сложения и умножения. Условная вероятность. Независимость событий. Формула полной вероятности.

Разберите теоретический материал лекции:

• Слайды к первым двум лекциям без дизайна и креатива
• Теорема сложения
• Условная вероятность, теорема умножения, независимость, формула полной вероятности

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Основы комбинаторики
• БП: Примеры элементарных задач
• БП: Карточные задачи, часть 1
• ИП: группа 191, группа 192

Рекомендуемые задачи для подготовки к контрольной по темам этой лекции:

• Задачный минимум: №1 (3 пункт),3,4.
• Задачи основных контрольных (Подборка контрольных прошлых лет): №2,3 из первой к.р. 2019-2020; №5 из первой к.р. 2018-2019

Бонус: стилизованная задача про коронавирус: Вирус SARS-CoV-2 имеется у 0.35% населения и может протекать неотличимо от гораздо более распространенного сезонного гриппа. Для определения наличия этого патогена был создан специальный тест, который имеет точность 70% и 95% для положительных и отрицательных результатов соответственно.

Иными словами:

Если человек болен, то с вероятностью 70% результат теста будет положительным и с вероятностью 30% отрицательным. Если человек здоров, то с вероятностью 95% результат теста будет отрицательным и с вероятностью 5% положительным. Вы решили пройти тест, и его результат оказался положительным.

С какой вероятностью вы действительно больны короновирусом? (подсказка: не 70%)

19 сентября. Формула Байеса, испытания Бернулли, теорема Пуассона

Разберите материал лекции:

• Слайды к лекциям 3-4
• Формула полной вероятности, задача о технологическом контроле
• Формула Байеса, пример
• Видео "Теорема Байеса" - проект студентов
• Испытания Бернулли, задача о присяжных

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Карточные задачи, часть 2
• БП: Геометрические вероятности, часть 1
• БП: Геометрические вероятности, часть 2
• БП: Независимость событий
• ИП: группа 191, группа 192

Рекомендуемые задачи для подготовки к контрольной по темам лекции:

• Задачный минимум: №3 и №4.
• Задачи из прошлых контрольных: №1 (19-20), №4 (18-19), №5 (17-18), №3 (16-17), №1 (13-14) [все из первой КР].

26 сентября. Схема Бернулли. Теорема Пуассона

Разберите теоретический материал лекции:

• Слайды к лекции (дизайн Александра Михайлова)

Обратите внимание - на лекции была опечатка на 56:04 минуте. Должна была быть записана формула совпадения 17 ответов из 17 "меченых", а не из 40 общих. На слайдах записано верно, ниже выложено отдельное видео для расчёта этих вероятностей.

• Схема Бернулли. Задача о присяжных. Теорема Пуассона
• Расчёт вероятностей в детективе "17 мгновений халявы"

Воззвание к студентам - участникам детектива "17 мгновений халявы" (истории, произошедшей на ФЭН в 2014 году и имеющей непосредственное отношение к формуле Бернулли и теореме Пуассона):

• Детектив "17 мгновений халявы"

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Условная вероятность
• БП: Формула полной вероятности и формула Байеса
• БП: Схема Бернулли
• БП: Приближения схемы Бернулли
• ИП: Условные вероятности и карточные задачи версия a, версия b

Рекомендуемые задачи для подготовки к контрольной по темам лекции:

• Задачи из прошлых контрольных: №4 (2018-2019), №3 (а) (2017-2018) [все из первой КР].

3 октября. Непрерывное вероятностное пространство. Случайные величины

Разберите теоретический материал лекции:

• Слайды к лекции
• Непрерывное вероятностное пространство. Аксиоматика Колмогорова. Случайные величины. Функции распределения. Функции плотности.
• Для гурманов аксиоматического подхода: Математические основы теории вероятностей -- видеозапись лекций по курсу «Стохастический анализ» в 2013--2014 учебном году для студентов 2 курса факультета экономических наук.

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Функция распределения: определения и свойства
• БП: Пример задачи на функцию распределения
• БП: Функция плотности: определения и свойства
• БП: Пример задачи на функцию плотности
• ИП: Работа с Python и R
• ИП: Скрипт. Вариант R
• ИП: Скрипт. Вариант Python

Рекомендуемые задачи для подготовки к контрольной по темам лекции:

• Задачи из прошлых контрольных: №2 (блок 1), №3 (блок 2) (2020-2021), №5 (2019-2020), №3 (2018-2019), №4 (2017-2018) [все из первой КР].

10 октября. Основные дискретные и непрерывные распределения

Разберите теоретический материал лекции:

Базовый поток:

• Слайды к лекции
• Квантиль распределения. Равномерное распределение
• Показательное (экспоненциальное) распределение
• Основные дискретные распределения

• Слайды к лекции: совместное распределение, свёртка
• Случайный вектор. Совместная функция распределения. Дискретное совместное распределение
• Дискретное совместное распределение, пример
• Абсолютно непрерывное совместное распределение

ИП&ЭАД:

• Случайные векторы. Совместное распределение

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Многомерная функция распределения: определения и свойства
• БП: Многомерная функция распределения: примеры задач
• БП: Многомерная функция плотности: определения и свойства
• БП: Многомерная функция плотности: примеры задач
• ИП: Распределения версия a, версия b

Рекомендуемые задачи для подготовки к контрольной по темам этой лекции:

• Задачный минимум: № 1, 2, 3 (а-ж), 4 (а-ж),
• Задачи из прошлых контрольных: №1 (а-в) (2019-2020), №1, 4 (2018-2019) [все из второй КР], №2 (18-19, из ПЕРВОЙ КР!).

17 октября. Совместное распределение. Независимость случайных величин. Функции от случайных величин

Разберите теоретический материал лекции:

Базовый поток:

• Слайды к лекции
• Абсолютно непрерывное совместное распределение
• Независимость случайных величин

ИП&ЭАД:

• Совместное распределение. Независимость случайных величин. Функции от случайных величин

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Многомерная функция распределения: определения и свойства
• БП: Многомерная функция распределения: примеры задач
• БП: Многомерная функция плотности: определения и свойства
• БП: Многомерная функция плотности: примеры задач
• ИП: Распределения версия a, версия b

Рекомендуемые задачи для подготовки к контрольной по темам этой лекции:

• Задачный минимум: № 1, 2, 3 (а-ж), 4 (а-ж),
• Задачи из прошлых контрольных: №1 (а-в) (2019-2020), №1, 4 (2018-2019) [все из второй КР], №2 (18-19, из ПЕРВОЙ КР!).

7 ноября. Распределение функций от случайных величин. Формула свёртки. Устойчивость распределений относительно суммирования. Математическое ожидание

Разберите теоретический материал лекции:

Базовый поток:

• Распределение функций от случайных величин. Формула свёртки
• Определение математического ожидания

ИП&ЭАД:

• Функции от случайных величин. Свертка. Распределения, устойчивые относительно суммирования. Гамма функция и гамма распределение. Сумма независимых показательных с.в.

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Математическое ожидание: определение и свойства
• БП: Математическое ожидание: примеры задач

Рекомендуемые задачи для подготовки к контрольной по темам этой лекции:

• Задачный минимум: №№ 1-12
• Задачи из прошлых контрольных: №2, 3 из блока 1, №1-3 (блок 2 ИП+БП) (20-21), №3, 4 и №5 (19-20), №3(18-19), №4 (17-18), №6 (15-16) [все из первой КР].

14 ноября. Характеристики распределений

Разберите материал лекции:

Базовый поток:

• Примеры вычислений математического ожидания
• Свойства математических ожиданий
• Дисперсия и ковариация

ИП&ЭАД:

• Характеристики распределений: математическое ожидание, дисперсия, моменты распределений, квантиль, медиана, мода

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Корреляция: определение и основные свойства
• БП: Корреляция: пример задачи для дискретного распределения
• БП: Корреляция: пример задачи для непрерывного распределения

21 ноября. Математическое ожидание и ковариационная матрица случайного вектора. Свойства ковариации и корреляции

Разберите материал лекции:

• Случайные величины и случайные векторы: распределения и характеристики
• Пример: формирование оптимального инвестиционного портфеля. Корреляция.
• Видео 18+ о ковариации и о том, как важно учить минимум
• Свойства корреляции. Эпизод 1
• Свойства корреляции. Эпизод 2

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Корреляция: определение и основные свойства
• БП: Корреляция: пример задачи для дискретного распределения
• БП: Корреляция: пример задачи для непрерывного распределения

28 ноября.Неравенства Маркова и Чебышёва. Виды сходимости последовательности случайных величин. Теорема Слуцкого

Разберите материал лекции:

• Неравенства Маркова и Чебышёва. Виды сходимости последовательности случайных величин. Теорема Слуцкого

Дополнительные материалы к лекции

• Сходимости
• Оптимальный портфель

5 декабря. Закон больших чисел

Разберите материал лекции:

• Закон Больших Чисел и Центральная Предельная Теорема

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Нормальное распределение: задача про модуль
• БП: Нормальное распределение: задачи на расчет вероятностей
• БП: ЗБЧ и ЦПТ: формулировки
• БП: ЗБЧ и ЦПТ: примеры задач

19 декабря. Метод Монте-Карло

Разберите материал лекции:

• Применение ЗБЧ: метод Монте-Карло

• Как намонтекарлить значения своей собственной случайной величины?

Второй семестр

15 января. ЗБЧ и ЦПТ

Разберите материал лекции:

• Закон Больших Чисел и Центральная Предельная Теорема
• Погрешность в ЦПТ: неравенство Берри-Ессеена. Применение Центральной Предельной Теоремы: задача о резерве страховой компании

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Нормальное распределение: задача про модуль
• БП: Нормальное распределение: задачи на расчет вероятностей
• БП: ЗБЧ и ЦПТ: формулировки
• БП: ЗБЧ и ЦПТ: примеры задач
• БП: Нормальное распределение: задача про функцию плотности
• БП: ЦПТ: примеры задач
• БП: ЦПТ: примеры задач
• БП: ЗБЧ: примеры задач

Рекомендуемые задачи для подготовки к контрольной по темам этой лекции:

• Задачи из прошлых контрольных: из КР2 №2 (2020-2021), №4 (2019-2020), №4 (2016-2017)

22 января.

Разберите материал лекции:

• ИПЭАД: Характеристические функции

Данный материал можно найти в учебнике Черновой Теория вероятностейстр.129-136

• БП: Многомерное нормальное распределение: 3 определения и свойства

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Двумерное нормальное распределение: основные формулы
• БП: Двумерное нормальное распределение: пример задачи
• БП: Условное двумерное нормальное распределение

29 января.

Разберите материал лекции:

• ИП: К сожалению, видео запись пострадала. На лекции была доказана ЦПТ (можно посмотреть доказательство в учебнике Черновой Теория вероятностейстр.135-136), сформулирована локальная теорема Муавра-Лапласа. Дано определение многомерного нормального распределения (Чернова Математическая статистика стр.121-122).
• БП: Нормальное условное распределение, распределения хи-квадрат, Стьюдента, Фишера
• БП: Прошлогодняя лекция с альтернативным доказательством для условного распределения

Внимание: и всё-таки в задаче про вес и рост условная дисперсия веса равна 20, а не 16,3. Посчитано было верно, но при записи перепутаны цифры: должно быть Var (m|h=182)=36*(1-28*28/(49*36))=20.

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Хи-квадрат распределение: определение и свойства
• БП: Распределение Стьюдента: определение и свойства
• БП: Распределение Фишера: определение и свойства

5 февраля

Разберите материал лекции:

• ИП: Многомерное нормальное распределение. Свойства
• БП: Генеральная совокупность и выборка. Способы организации выборки
• БП: Выборочные характеристики: вариационный ряд, выборочные функции распределения и плотности, гистограмма, выборочные моменты

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Введение в математическую статистику: использование Excel

12 февраля

Разберите материал лекции:

• ИПЭАД: Условное и усечённое нормальное распределение. Многомерная ЦПТ
• БП: Свойства выборочной функции распределения, выборочного среднего, выборочных моментов и выборочной дисперсии. Несмещённая оценка дисперсии

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Введение в математическую статистику: использование Excel (продолжение)

19 февраля

Разберите материал лекции:

• ИПЭАД: Распределения, связанные с нормальным. Лемма Фишера
• БП: Поправка в случае конечной генеральной совокупности]

26 февраля

Разберите материал лекции:

• ИПЭАД: Основные понятия математической статистики. Характеристики выборки
• БП: Состоятельность, несмещённость и эффективность оценок неизвестных параметров распределений

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Введение в математическую статистику: использование Excel (продолжение)
• БП: Оценки и их свойства: несмещенность
• БП: Оценки и их свойства: состоятельность
• БП: Оценки и их свойства: эффективность
• БП: Задача об асимптотической несмещенности максимума
• БП: Задачи из минимума: несмещенность
• БП: Задачи из минимума: состоятельность и эффективность

4 марта. Методы оценивания неизвестных параметров распределений

Разберите материал лекции:

• БП: Метод моментов и метод максимального правдоподобия
• ИПЭАД: Свойства оценок. Свойства выборочной функции распределения

Не пропустите! ММ и ММП в современном искусстве, ставьте лайки:

• Зажигательное видео о методе максимального правдоподобия (Студенческий проект эпохи ковида)

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Введение в метод моментов и метод максимального правдоподобия
• БП: Задачи на MM и ML с дискретными распределениями
• БП: Задачи на MM и ML с непрерывными распределениями

11 марта. Методы оценивания неизвестных параметров распределений

Разберите материал лекции:

• ИПЭАД: Свойства оценок. Свойства выборочных моментов
• ИПЭАД: Поправка на конечный размер ген. совокупности. ММ и ММП

Не пропустите! ММ и ММП в современном искусстве, ставьте лайки:

• Зажигательное видео о методе максимального правдоподобия (Студенческий проект эпохи ковида)

1 апреля. Информация Фишера. Неравенство Рао-Крамера

Разберите материал лекции

• ИПЭАД: Информация Фишера. Неравенство Рао-Крамера
• БП: Информация Фишера. Неравенство Рао-Крамера

! Внимание: в неравенстве Рао - Крамера для смещённых оценок в правой части забыт квадрат смещения

• Сказка на ночь про критерий эффективности

Те же материалы в разбивку:

• Неравенство Коши Буняковского
• Неравенство Рао Крамера. Часть 1
• Неравенство Рао Крамера. Часть 2. Формулировка и доказательство
• Неравенство Рао Крамера. Часть 3. Следствия
• Другая формула для информации Фишера
• Неравенство Рао Крамера. Пример
• Фишер, Рао, Гаральд Крамер, Габриэль Крамер

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Задачи на MM и ML попроще
• БП: Задачи на MM и ML посложнее
• БП: Информация Фишера

8 апреля. Доверительные интервалы

Разберите материал лекции

Слайды

Материалы прошлых лет:

• Слайды к лекции
• Общие понятия. Следствие леммы Фишера
• ДИ для математического ожидания. Выборки из нормального распределения.
• ДИ для математического ожидания: свойства и примеры
• Ещё пример

• Слайды к лекции
• ДИ для разницы ожиданий. Независимые выборки. Известные дисперсии.
• ДИ для разницы ожиданий. Независимые выборки. Известные дисперсии - пример.
• ДИ для разницы ожиданий. Независимые выборки. Неизвестные равные дисперсии.
• ДИ для разницы ожиданий. Независимые выборки. Неизвестные равные дисперсии. Пример.
• Пример. Что насчитали инопланетяне? и его анимированная версия

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Выборка из конечной генеральной совокупности
• БП: ДИ для математического ожидания: теория
• БП: ДИ для математического ожидания: задачи

• БП: ДИ для разницы математических ожиданий: случай связанных пар
• БП: ДИ для разницы математических ожиданий: случай известных дисперсий
• БП: ДИ для разницы математических ожиданий: случай неизвестных, но равных дисперсий

15 апреля. Дельта метод

Разберите материал лекции

конспект лекций

Материалы прошлых лет:

• Слайды к лекции
• Асимптотические свойства оценок и дельта метод
• Доказательство дельта метода
• Пример: продолжительность безработицы

При доказательстве дельта метода опечатка на доске - по условию производная функции отлична от нуля в любой точке.

Взбодритесь и отдохните:

• Дельта метод глазами студентов
• Комиксы по свойствам оценок и методам оценивания

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Асимптотический ДИ для доли
• БП: Еще раз о таблицах
• БП: Асимптотический ДИ для разности долей
• БП: Асимптотический ДИ и дельта метод

22 апреля. Дельта метод и построение асимптотических доверительных интервалов для параметров

Разберите материал лекции

ИПЭАД: Дельта метод и построение асимптотических доверительных интервалов для параметров

• БП: Слайды к лекции
• БП: Асимптотический ДИ для математического ожидания
• БП: Пример: ДИ для вероятности
• БП: Построение асимптотического ДИ с помощью дельта метода
• БП: Пример: безработица
• БП: Асимптотический ДИ для разности долей

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Асимптотический ДИ для доли
• БП: Еще раз о таблицах
• БП: Асимптотический ДИ для разности долей
• БП: Асимптотический ДИ и дельта метод

29 апреля. Проверка гипотез. Основные понятия: статистический критерий, основная и альтернативная гипотезы, ошибки первого и второго рода, функция мощности. Равномерно наиболее мощный критерий

Разберите материал лекции

• Понятие о гипотезе. Виды гипотез. Основная (нулевая) и альтернативные гипотезы. Простые и сложные гипотезы.
• Статистический критерий. Ошибки первого и второго рода.
• Равномерно наиболее мощный критерий
• Задача о фильтрах: ошибки первого и второго рода, построение критерия.

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Проверка гипотез. Ошибки 1 и 2 рода
• БП: Первая задача на ошибки 1 и 2 рода
• БП: Вторая задача на ошибки 1 и 2 рода

13 мая. Лемма Неймана-Пирсона

Разберите материал лекции

• Конспект лекции

Видео прошлых лет:

• Лемма Неймана-Пирсона.
• Пример построения оптимального критерия с помощью леммы Неймана-Пирсона.

20 мая. Тест отношения правдоподобия

Разберите материал лекции

• Критерий отношения правдоподобия

27 мая. Поверка гипотез о математическом ожидании, вероятности и разнице математических ожиданий

Разберите материал лекции

• Гипотеза о математическом ожидании. Выборки из нормальной совокупности, известная дисперсия.
• Гипотеза о математическом ожидании. Выборки из нормальной совокупности, неизвестная дисперсия.
• Гипотеза о дисперсии. Выборки из нормальной совокупности.
• Гипотеза о вероятности (доле). Большие выборки.
• Гипотеза о вероятности. Пример. P-value.
• Гипотезы о разнице математических ожиданий нормальных ген. совокупностей
• Гипотезы о равенстве дисперсий двух независимых нормальных ген. сов.

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Проверка гипотез, p-value - общие сведения
• БП: Проверка гипотез, p-value - решение задач
• БП: Проверка гипотез, p-value - решение задач (окончание)

Решите задачи:

• Теоретический минимум к четвертой КР: №№2-4
• Задачный минимум к четвертой КР: №№12, 13, 17
• Задачи из прошлых контрольных: №2б (18-19 гг.); №5 (17-18 гг.); №№1, 2(16-17 гг.)

3 июня. Поверка гипотез о разнице математических ожиданий. Критерии согласия

Разберите материал лекции

• Гипотезы о разнице математических ожиданий. Пример: Visa|AE?
• ИПЭАД: Welch-тест разницы математических ожиданий при разных дисперсиях
• Пример: доверительный интервал для разности долей.
• Гипотеза о равенстве долей на примере опроса студентов 2-го курса.
• Критерии согласия. Критерий Пирсона-Фишера.
• Критерий Пирсона-Фишера. Пример: эксперимент Бюффона.
• ИПЭАД: Критерий согласия Колмогорова. Теорема Колмогорова с доказательством.

Посмотрите материалы семинаров:

• БП: Критерий Пирсона-Фишера