Теория чисел (пилотный поток) 2024/25

О курсе

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел мы будем знакомиться с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ241	БПМИ242	БПМИ243	БПМИ244	БПМИ245
Лектор	А.В. Устинов
Семинарист	Ожегов Фёдор Юрьевич	А.В. Устинов	А. Калмынин		Бельдиев Иван Сергеевич
Ассистент	Заварин Александр Сергеевич	Лейла Мурсманидзе	Горбач Елизавета Леонидовн	Заварин Александр Сергеевич	Грецкая Вера Ильинична
Ассистент лектора	Агаев Мурад

Лекции

Конспект лекций.

Лекция 1 (10.01.2025) Основная теорема арифметики. Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера. Теорема Вильсона.

Лекция 2 (17.01.2025) Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты. Теорема Рабина (без доказательства). Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.

Лекция 3 (24.01.2025) Асимметричная криптография. Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA. Забывчивая передача RSA. Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов.

Лекция 4 (31.01.2025) Делители нуля. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена над полем. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. НОД многочленов. Однозначность разложения многочлена в произведение неприводимых. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа. Циклические группы.

Лекция 5 (07.02.2025) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (13.02.2025, вместо 14.02.2025) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера. Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса.

Лекция 7 (21.02.2025) Квадратичный закон взаимности. Символ Якоби и его свойства. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы (без доказательства). Тест Соловея -- Штрассена. Оценка числа оснований, для которых тест Соловея -- Штрассена не срабатывает. Псевдопростые числа Эйлера.

Лекция 8 (28.02.2025) Извлечение квадратного корня по модулю простого числа p=4k+3. Числа Блюма. Криптосистема Рабина, шифрование и электронная подпись. Эквивалентность задач факторизации числа Блюма n и извлечения квадратного корня по модулю n. Забывчивая передача Рабина. Протоколы привязки к биту и подбрасывания монеты по телефону. Подбрасывания монеты по телефону с помощью чисел Блюма. Криптосистема Гольдвассер -- Микали: протоколы привязки к биту и шифрования. Гомоморфность криптосистем RSA, Рабина, Эль-Гамаля и Гольдвассер -- Микали.

Лекция 9 (07.03.2025) Генератор Блюм -- Блюма -- Шуба. Вероятностное шифрование Блюма -- Гольдвассер. Лемма Гензеля. Подъём решений полиномиальных сравнений.

Лекция 10 (14.03.2025) Вероятностное шифрование. Криптосистема Пэйе.

Семинары и домашние задания

Семинар + ДЗ 1, Семинар + ДЗ 2, Семинар + ДЗ 3, Семинар + ДЗ 4, Семинар + ДЗ 5, Семинар + ДЗ 6, Семинар + ДЗ 7, Семинар + ДЗ 8, Семинар + ДЗ 9, Семинар 10

ДЗ 10 (на каникулы)

Правила выставления оценок

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления. Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

Правила сдачи заданий

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

Контрольная работа

21 февраля 18:10-19:30.

Распределение по аудиториям R201 (241, 242, 243) и R204 (244, 245).

Темы: теоремы Ферма, Эйлера, Вильсона; псевдопростые числа; числа Кармайкла; китайская теорема об остатках для чисел и многочленов; первобразные корни и индексы.

Демо-вариант

Дистанционное участие возможно для тех, у кого есть уважительная причина, подтверждённая учебным офисом (болезнь, дистанционное обучение, участие в важной олимпиаде). Перед экзаменом преподаватели должны иметь подтверждение из учебного офиса, что у студента есть уважительная причина.

Ссылка для тех, кто будет сдавать онлайн.

Правила контрольной работы

1. Допускается использование листа формата А4 для записей, однако писать разрешается только на одной его стороне.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

3. Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

Коллоквиум

Расписание коллоквиума

Коллоквиум состоится 21-го марта.

Группа	Время	аудитория
9:30	БПМИ244	R204
11:30	БПМИ243	R204
9:30	БПМИ245	R205
11:30	БПМИ241	R205
13:30	БПМИ242	R205

Программа коллоквиума

Правила проведения коллоквиума

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

Билет будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):

два определения (по 1 баллу каждое);
формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано 7,5-9 баллов, то студент имеет возможность запросить у проверяющего дополнительную сложную задачу (на 2 балла), которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны.
Замечание: Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

Время подготовки билета На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) 40 минут. Беседа с преподавателем идет не больше 40 минут. После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё до 20 минут на решение сложной задачи. Студент максимально может потратить 1 час и 45 минут на сдачу коллоквиума.

Оценка за коллоквиум равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

Замечание: За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.

Экзамен

Экзамен письменный, 26 марта 2025 г. Длительность 2.5 часа, 14:40-17:10, аудитории R404 (группы 241+242+243), R405 (группы 244+245).

Демо-версия

1. С собой можно взять собственноручно написанную шпаргалку размера А4 (на одной его стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).

Cсылка для тех, кто пишет онлайн.

Оценка

В течение года установлены следующие формы контроля:

один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле: НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ. Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле: ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум. Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО). Округление арифметическое.

Ведомость

БПМИ241	БПМИ242	БПМИ243	БПМИ244	БПМИ245

Сводная таблица с оценками по ДЗ

БПМИ241	БПМИ242	БПМИ243	БПМИ244	БПМИ245

Полезные ссылки

Конспект лекций 2023 года.

Теория чисел (пилотный поток) 2023/24

Криптография на решётках 24/25 (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

Дополнительные главы теории чисел (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

Книги

Основная литература

Дополнительная литература

Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003
[ВЭБ] Винберг Э. Б. Курс алгебры
Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.
Нестеренко Ю. В., Теория чисел
Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999
Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,