Дополнительные главы теории чисел

О курсе

В курсе будут рассмотрены такие классические числовые объекты как цепные дроби, ряды Фарея, нелинейные диофантовы уравнения, числовые фризы, арифметические функции, дзета-функцию Римана и др. Они замечательны тем, что иллюстрируют связь теории чисел с другими разделами математики. Одни объекты имеют геометрическую интерпретацию (часто на плоскости Лобачевского). На другие нужно смотреть с комбинаторной точки зрения. За спиной у третьих стоят аналитические функции.

Предварительная программа курса

1. Геометрия чисел. Континуанты. Правило Эйлера. Решётки и их свойства. Теорема Эйлера - Ферма. Решётки. Геометрия цепных дробей. Теорема Минковского о выпуклом теле. Приложения теоремы Минковского.
2. Арифметика целых чисел. (Распределение простых чисел. Арифметические функции и их средние значения. Формула обращения Мёбиуса. Дзета-функция Римана.)
3. Тригонометрические суммы. (Конечные ряды Фурье. Быстрое преобразование Фурье и быстрое умножение чисел. Равномерное распределение последовательностей. Критерий Вейля.)
4. Метод производящих функций. (Теория разбиений. Пентагональная теорема Эйлера. Числа Каталана.)

Полезные ссылки

Курс теории чисел пилотного потока (3-й модуль, 2022-2023 у.г.)

Google classroom: hkildov

Группа в телеграме

Факультативы ФКН 2022/2023 учебного года (Там можно смотреть номер аудитории.)

Лекции

Лекция 1 (07.04.2023) Континуанты. [АУ], [ГКП].

Лекция 2 (14.04.2023) Решётки. Геометрия цепных дробей. [АУ].

Лекция 3 (21.04.2023) Геометрия парусов. Теорема Минковского и её приложения. (Онлайн) [АУ]

Лекция 4 (28.04.2023) Мультипликативные функции. Свёртка Дирихле. Дзета-функция Римана. [АР]

Лекция 5 (12.05.2023) Средние значения арифметических функций. [Б]

Лекция 6 (19.05.2023) Распределение простых чисел. [Н]

Лекция 7 (26.05.2023) Суммы с простыми числами. [Б]

Лекция 8 (02.06.2023) Умножение Карацубы. [Кн] Конечные ряды Фурье. [К, АУ]

Лекция 9 (09.06.2023) Быстрое преобразование Фурье. [НК] Суммы Гаусса. [К]

Экзамен (16.06.2023)

Конспект лекций 1-9.

Домашние задания

ДЗ-1, ДЗ-2, ДЗ-3, ДЗ-4, ДЗ-5, ДЗ-6, ДЗ-8

Экзамен

В конце курса состоится устный экзамен. Программа экзамена.

Оценка

Итоговая оценка=40%*экзамен + 60%*ДЗ (округляется арифметически).

Книги

Основная литература

1. [АР] Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.
2. [АУ] Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018
3. [Б] Бухштаб А. А., Теория чисел
4. [ГКП] Грэхем Р.Л., Кнут Д.Э., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. - М.: Мир, 1998.
5. [НК] Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика

Дополнительная литература

1. [Кн] Кнут Д. Искусство программирования. Т. 2. Получисленные алгоритмы. М.: Вильямс, 2007.
2. [К] Коробов Н. М., Тригонометрические суммы и их приложения, 1989.
3. [Н] Нестеренко Ю. В., Теория чисел
4. [M] Murty M. Ram Problems in analytic number theory, 2008.