Символьные вычисления 22/23

О курсе

Курс читается для студентов 4-го курса в 3 модуле.

Лектор — Аржанцев Иван Владимирович

Семинарист — Зайцева Юлия Ивановна

Ассистент — Преснова Екатерина Денисовна

Лекции

Лекция 1 (12.01.2023): Коротко о курсе в целом. Кольца и идеалы. Конечно порожденные идеалы и нётеровы кольца. Факторкольца. Конечно порожденные модули и подмодули. Теорема Гильберта о базисе. Мономиальный порядок на множестве мономов. Лемма Гордана. Старший член многочлена от многих переменных. Лемма о старшем члене. Многогранник Ньютона и сумма Минковского.

Лекция 2 (19.01.2023): Алгоритм деления. Оператор редукции. Нормальная форма многочлена. Базис Грёбнера идеала. Критерий Бухбергера и алгоритм Бухбергера. Минимальный базис Грёбнера и его единственность. Универсальный базис Грёбнера и его существование.

Лекция 3 (26.01.2023): Алгебраическое подмножество. Алгебра регулярных функций. Аффинное алгебраическое многообразие. Радикал идеала. Радикальный идеал. Теорема Гильберта о нулях. Максимальный идеал. Слабая версия теоремы Гильберта о нулях. Cooтветствие между максимальными идеалами и точками многообразия. Морфизмы и изоморфизмы многообразий. Аффинные алгебры. Спектр алгебры.

Лекция 4 (02.02.2023): Топологическое пространство. База топологии. Топология Зарисского. Главные открытые подмножества. Непрерывность морфизмов. Плотные подмножества и неприводимые пространства. Нетеровы топологические пространства. Неприводимые компоненты. Открытые, замкнутые и доминантные морфизмы. Замкнутые вложения.

Лекция 5 (09.02.2023): Двенадцать задач на применение базисов Грёбнера в теории систем полиномиальной уравнений, аффинной алгебраической геометрии и коммутативной алгебре.

Лекция 6 (16.02.2023): Характеристика поля. Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырех элементов. Цикличность мультипликативной группы. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.

Лекция 7 (02.03.2023): Неприводимые многочлены над конечными полями. Теорема о степени башни расширений. Функция Мёбиуса и ее свойства. Аддитивная формула Мёбиуса и формула для числа неприводимых многочленов данной степени над конечным полем. Существование не менее одного неприводимого многочлена данной степени. Мультипликативная формула Мёбиуса и произведение неприводимых многочленов данной степени.

Семинары

Чат в телеграм: https://t.me/+FioyrZGea9BmYmRi

Семинар 1 (12.01.2023): Идеалы в кольцах. Многочлены от одной переменной: деление с остатком, кольцо главных идеалов, наибольший общий делитель. Контрпримеры в случае нескольких переменных. Альтернативное доказательство леммы Гордана.

Семинар 2 (19.01.2023): Мономиальные порядки. Алгоритм деления на набор многочленов от нескольких переменных. Идеал старших членов, доказательство теоремы Гильберта о базисе через лемму Гордана. Базис Грёбнера, критерий Бухбергера, алгоритм Бухбергера.

Семинар 3 (26.01.2023): Пример поиска базиса Грёбнера и минимального базиса Грёбнера, разные упрощения. Алгебраические подмножества, примеры. Пересечение и объединение двух алгебраических подмножеств. Алгебры регулярных функций параболы и окружности.

Семинар 4 (02.02.2023): Включения алгебраических подмножеств, идеалов и их радикалов. Максимальные идеалы. Отображение функций на множествах и алгебраических многообразиях.

Семинар 5 (09.02.2023): Изоморфизм алгебраических многообразий, примеры с параболой и полукубической параболой. Нормальное многообразие. Неприводимые компоненты. Доминантные и сюръективные морфизмы. Морфизмы из прямой в гиперболу.

Семинар 6 (16.02.2023): Задачи на применение базисов Грёбнера: принадлежность многочлена идеалу, решение системы полиномиальных уравнений, замыкание образа при морфизме, идеалы исключения. Вычисления в системе компьютерной алгебры Sage.

Семинар 7 (02.03.2023): Конечные поля. Уравнения над конечными полями, автоморфизм Фробениуса. Задачи про цикличность мультипликативной группы конечного поля, нецикличность мультипликативной группы бесконечного поля, неприводимые многочлены над конечными полями.

Контрольные мероприятия

Домашние задания

Домашнее задание 1 доступно по ссылке, дедлайн 26 февраля 23:59.

Контрольная работа

Контрольная работа запланирована на субботу 25 марта.

Экзамен

Экзамен проводится в устной форме.

Правила выставления оценок

Итоговая оценка вычисляется по формуле

Округление(0.15*ДЗ1 + 0.15*ДЗ2 + 0.3*КР + 0.4*ЭК),

где ДЗ1 – оценка за домашнее задание № 1, ДЗ2 – оценка за домашнее задание № 2, КР – оценка за контрольную работу и ЭК – оценка за устный экзамен.

Округление арифметическое.

Блокирующих элементов контроля в курсе нет. Автоматы не выставляются. Оценка на комиссии выставляется по результатам ответа без учета других элементов контроля.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература:

[1] Дж.Дэвенпорт, И.Сирэ и Э.Турнье. Компьютерная алгебра. Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. М.: Мир, 1991

[2] Д.Кокс, Дж.Литтл, Д.О’Ши. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. М.: Мир, 2000

[3] Р.Лидл, Г.Нидеррайтер. Конечные поля, в 2-х т. М.: Мир, 1988

[4] V.Ene and J.Herzog. Groebner Bases in Commutative Algebra. Graduate Studies in Mathematics 130, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011

Рекомендуемая дополнительная литература:

[1] А.Акритас. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.: Мир, 1994

[2] Э.Б. Винберг. Курс алгебры (4-е издание). М.: МЦНМО, 2019

[3] С.Г.Влэдуц, Д.Ю.Ногин и М.А.Цфасман. Алгеброгеометрические коды. М.: МЦНМО, 2003

[4] В.В.Прасолов. Многочлены. М.: МНЦМО, 2003

[5] А.Ромащенко, А.Румянцев и А.Шень. Заметки по теории кодирования (2-е издание). М.: МЦНМО, 2017

[6] Сборник задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009

[7] T.Becker, H.Kredel, V.Weispfenning. Groebner Bases: A Computational Approach to Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1993

[9] D.Cox, J.Little, D.O'Shea. Using Algebraic Geometry. 2nd Edition. Graduate Texts in Mathematics, vol. 185, Springer, 2005

[10] B.Sturmfels. Groebner Bases and Convex Polytopes. University Lecture Series, vol. 8, American Mathematical Society, Providence, RI, 1996