Символьные вычисления 22/23
Содержание
О курсе
Курс читается для студентов 4-го курса в 3 модуле.
Лектор — Аржанцев Иван Владимирович
Семинарист — Зайцева Юлия Ивановна
Ассистент — Преснова Екатерина Денисовна
Лекции
Лекция 1 (12.01.2023): Коротко о курсе в целом. Кольца и идеалы. Конечно порожденные идеалы и нётеровы кольца. Факторкольца. Конечно порожденные модули и подмодули. Теорема Гильберта о базисе. Мономиальный порядок на множестве мономов. Лемма Гордана. Старший член многочлена от многих переменных. Лемма о старшем члене. Многогранник Ньютона и сумма Минковского.
Лекция 2 (19.01.2023): Алгоритм деления. Оператор редукции. Нормальная форма многочлена. Базис Грёбнера идеала. Критерий Бухбергера и алгоритм Бухбергера. Минимальный базис Грёбнера и его единственность. Универсальный базис Грёбнера и его существование.
Лекция 3 (26.01.2023): Алгебраическое подмножество. Алгебра регулярных функций. Аффинное алгебраическое многообразие. Радикал идеала. Радикальный идеал. Теорема Гильберта о нулях. Максимальный идеал. Слабая версия теоремы Гильберта о нулях. Cooтветствие между максимальными идеалами и точками многообразия. Морфизмы и изоморфизмы многообразий. Аффинные алгебры. Спектр алгебры.
Лекция 4 (02.02.2023): Топологическое пространство. База топологии. Топология Зарисского. Главные открытые подмножества. Непрерывность морфизмов. Плотные подмножества и неприводимые пространства. Нетеровы топологические пространства. Неприводимые компоненты. Открытые, замкнутые и доминантные морфизмы. Замкнутые вложения.
Лекция 5 (09.02.2023): Двенадцать задач на применение базисов Грёбнера в теории систем полиномиальной уравнений, аффинной алгебраической геометрии и коммутативной алгебре.
Лекция 6 (16.02.2023): Характеристика поля. Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырех элементов. Цикличность мультипликативной группы. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.
Лекция 7 (02.03.2023): Неприводимые многочлены над конечными полями. Теорема о степени башни расширений. Функция Мёбиуса и ее свойства. Аддитивная формула Мёбиуса и формула для числа неприводимых многочленов данной степени над конечным полем. Существование не менее одного неприводимого многочлена данной степени. Мультипликативная формула Мёбиуса и произведение неприводимых многочленов данной степени.
Лекция 8 (20.03.2023): Задача о разложении многочлена на неприводимые множители. Избавление от кратных множителей. f-разлагающие многочлены. Сведение к системе линейных уравнений: алгоритм Берлекэмпа. Алгоритм Кронекера разложения многочлена с целыми коэффициентами. Лемма Гаусса.
Лекция 9 (23.03.2023): Основная задача теории кодирования. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие ошибки. Характеристики кода. Неравенство Синглтона. Совершенные коды. Неравенство Хэмминга.
Лекция 10 Линейные коды. Вес Хэмминга. Код Хэмминга [7,4,3]_2. Граница Варшамова-Гилберта и граница Плоткина. Коды Рида-Соломона. Циклические коды и главные идеалы. Коды Голея и БЧХ-коды. Алгоритм декодирования по лидеру смежного класса.
Семинары
Чат в телеграм: https://t.me/+FioyrZGea9BmYmRi
Семинар 1 (12.01.2023): Идеалы в кольцах. Многочлены от одной переменной: деление с остатком, кольцо главных идеалов, наибольший общий делитель. Контрпримеры в случае нескольких переменных. Альтернативное доказательство леммы Гордана.
Семинар 2 (19.01.2023): Мономиальные порядки. Алгоритм деления на набор многочленов от нескольких переменных. Идеал старших членов, доказательство теоремы Гильберта о базисе через лемму Гордана. Базис Грёбнера, критерий Бухбергера, алгоритм Бухбергера.
Семинар 3 (26.01.2023): Пример поиска базиса Грёбнера и минимального базиса Грёбнера, разные упрощения. Алгебраические подмножества, примеры. Пересечение и объединение двух алгебраических подмножеств. Алгебры регулярных функций параболы и окружности.
Семинар 4 (02.02.2023): Включения алгебраических подмножеств, идеалов и их радикалов. Максимальные идеалы. Отображение функций на множествах и алгебраических многообразиях.
Семинар 5 (09.02.2023): Изоморфизм алгебраических многообразий, примеры с параболой и полукубической параболой. Нормальное многообразие. Неприводимые компоненты. Доминантные и сюръективные морфизмы. Морфизмы из прямой в гиперболу.
Семинар 6 (16.02.2023): Задачи на применение базисов Грёбнера: принадлежность многочлена идеалу, решение системы полиномиальных уравнений, замыкание образа при морфизме, идеалы исключения. Вычисления в системе компьютерной алгебры Sage.
Семинар 7 (02.03.2023): Конечные поля. Уравнения над конечными полями, автоморфизм Фробениуса. Задачи про цикличность мультипликативной группы конечного поля, нецикличность мультипликативной группы бесконечного поля, неприводимые многочлены над конечными полями.
Семинары 8,9 (09.03.2023): Пример неприводимого многочлена степени p над Z_p. Конструкция поля как фактор-кольца кольца многочленов по главному идеалу, вычисление в фактор-кольце. Расширения полей, задачи. Функции Мёбиуса и Эйлера, формула Мёбиуса.
Семинар 10 (23.03.2023): Ряд с функцией Мёбиуса. Алгоритм Берлекэмпа (примеры). Неприводимость над Z и Q, признак Эйзенштейна.
Контрольные мероприятия
Домашние задания
Домашнее задание 1 доступно по ссылке, дедлайн 26 февраля 23:59.
Домашнее задание 2 доступно по ссылке, дедлайн 26 марта 23:59.
Контрольная работа
Контрольная работа состоится в субботу 25 марта с 14:30 до 16:30.
Экзамен
Экзамен состоится 31 марта с 13:20 до 17:20 (студенты распределяются по времени).
Проводится в устной форме, в каждом билете один вопрос из первой половины программы и один вопрос из второй половины программы.
Правила выставления оценок
Итоговая оценка вычисляется по формуле
- Округление(0.15*ДЗ1 + 0.15*ДЗ2 + 0.3*КР + 0.4*ЭК),
где ДЗ1 – оценка за домашнее задание № 1, ДЗ2 – оценка за домашнее задание № 2, КР – оценка за контрольную работу и ЭК – оценка за устный экзамен.
Округление арифметическое.
Блокирующих элементов контроля в курсе нет. Автоматы не выставляются. Оценка на комиссии выставляется по результатам ответа без учета других элементов контроля.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература:
[1] Дж.Дэвенпорт, И.Сирэ и Э.Турнье. Компьютерная алгебра. Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. М.: Мир, 1991
[2] Д.Кокс, Дж.Литтл, Д.О’Ши. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. М.: Мир, 2000
[3] Р.Лидл, Г.Нидеррайтер. Конечные поля, в 2-х т. М.: Мир, 1988
[4] V.Ene and J.Herzog. Groebner Bases in Commutative Algebra. Graduate Studies in Mathematics 130, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011
Рекомендуемая дополнительная литература:
[1] А.Акритас. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.: Мир, 1994
[2] Э.Б. Винберг. Курс алгебры (4-е издание). М.: МЦНМО, 2019
[3] С.Г.Влэдуц, Д.Ю.Ногин и М.А.Цфасман. Алгеброгеометрические коды. М.: МЦНМО, 2003
[4] В.В.Прасолов. Многочлены. М.: МНЦМО, 2003
[5] А.Ромащенко, А.Румянцев и А.Шень. Заметки по теории кодирования (2-е издание). М.: МЦНМО, 2017
[6] Сборник задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
[7] T.Becker, H.Kredel, V.Weispfenning. Groebner Bases: A Computational Approach to Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1993
[9] D.Cox, J.Little, D.O'Shea. Using Algebraic Geometry. 2nd Edition. Graduate Texts in Mathematics, vol. 185, Springer, 2005
[10] B.Sturmfels. Groebner Bases and Convex Polytopes. University Lecture Series, vol. 8, American Mathematical Society, Providence, RI, 1996
