Математическое моделирование

О курсе

Данный курс Математическое моделирование читается в 2020/2021 учебном году на Факультете компьютерных наук НИУ ВШЭ.

Курс состоит из следующих перемежающихся друг с другом разделов:

• методы построения моделей (в основном из физики),
• точные методы исследования моделей (алгебраические, аналитические),
• приближенные методы исследования моделей (численные).

Рассчитан на 1 семестр (2 модуля).

Область знаний, которую можно было бы назвать математическим моделированием, изучает как сами математические модели, так и общие закономерности их построения и методы анализа.

Как известно, любая наука в процессе своего становления проходит путь от классификации изучаемых объектов (примеры таких классификаций мы можем видеть в астрономии, биологии, химии) к их математическому описанию. По мнению А.Н. Уайтхеда: всякая наука по мере развития и совершенствования ее методов становится математической в своих основных понятиях.

Наиболее долгий и плодотворный путь в этом направлении прошла физика, влиянием которой проникнуты многие разделы математики. Можно даже сказать, что математика и физика развивались параллельно, взаимно обогащая друг друга идеями и методами. Поэтому выбор физики как плацдарма для курса математического моделирования вполне закономерен. С другой стороны, конечно, математическое моделирование не есть физика. Мы берем из физики лишь сами модели, оставляя физикам мотивировки и интерпретации.

План курса

I. Введение в математическое моделирование

1. Этапы построения математической модели. Математическая модель как система уравнений. Корректность модели по Адамару. Обзор математического моделирования в естественных и социально-экономических науках. Структура курса. Примеры математических моделей.

II. Алгебраические уравнения

2. Алгебраический подход в исследовании полиномиальных уравнений. Кольцо многочленов. Идеал кольца многочленов и система уравнений. Упорядочение мономов. Алгоритм множественного деления многочленов. Понятие базиса Гребнера. Алгоритм Бухбергера. Вычисление базиса Гребнера в системах Maxima и Singular.

3. Алгебраические уравнения в роботике. Алгебраические уравнения и автоматическое доказательство геометрических теорем. Результант многочленов и исключение неизвестных.

4. Аналитический подход в исследовании алгебраических (в широком смысле) уравнений. Асимптотическое разложение. Формула Бюрмана - Лагранжа. Многоугольник Ньютона. Разложение в ряд Пюизо.

5. Численный подход в исследовании алгебраических (в широком смысле) уравнений. Методы численного решения СЛАУ. Методы численного решения системы нелинейных уравнений.

III. Обыкновенные дифференциальные уравнения

6. Устойчивость решения по Ляпунову.

7. Применение многоугольника Ньютона. Укорочение уравнения.

8. Поиск решения в виде ряда. Разложение в окрестности особой точки.

9. Метод малого параметра. Регулярно возмущенное уравнение. Сингулярно возмущенное уравнение. Пограничный слой.

10. Численные методы решения ОДУ.

IV. Элементы классической механики

11. Кинетическая и потенциальная энергия механической системы. Функция Лагранжа.

12. Функционал действия. Принцип наименьшего действия. Уравнение Лагранжа.

13. Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона.

V. Основы дифференциальной геометрии

VI. Дифференциальные уравнения в частных производных

VII. Элементы гидродинамики и теории упругости

VIII. Элементы электродинамики

IX. Элементы квантовой теории