Математическое моделирование

О курсе

Данный курс Математическое моделирование читается в 2020/2021 учебном году на Факультете компьютерных наук НИУ ВШЭ.

Курс состоит из следующих перемежающихся друг с другом разделов:

• методы построения моделей (в основном из физики),
• точные методы исследования моделей (алгебраические, аналитические),
• численные методы исследования моделей.

Рассчитан на 1 семестр (2 модуля).

Область знаний, которую можно было бы назвать математическим моделированием, изучает как сами математические модели, так и общие закономерности их построения и методы анализа.

Как известно, любая наука в процессе своего становления проходит путь от классификации изучаемых объектов (примеры таких классификаций мы можем видеть в астрономии, биологии, химии) к их математическому описанию. По мнению А.Н. Уайтхеда: всякая наука по мере развития и совершенствования ее методов становится математической в своих основных понятиях.

Наиболее долгий и плодотворный путь в этом направлении прошла физика, влиянием которой проникнуты многие разделы математики. Можно даже сказать, что математика и физика развивались параллельно, взаимно обогащая друг друга идеями и методами. Поэтому выбор физики как плацдарма для курса математического моделирования вполне закономерен. С другой стороны, конечно, математическое моделирование не есть физика. Мы берем из физики лишь сами модели, оставляя физикам мотивировки и интерпретации.

План курса

I. Введение в математическое моделирование

1. Этапы построения математической модели. Математическая модель как система уравнений. Корректность модели по Адамару.
2. Обзор математического моделирования в естественных и социально-экономических науках. Структура курса.
3. Примеры математических моделей.

II. Алгебраические уравнения

1. Алгебраический подход в исследовании полиномиальных уравнений. Кольцо многочленов. Идеал кольца многочленов и система уравнений. Упорядочение мономов. Алгоритм множественного деления многочленов. Понятие базиса Гребнера. Алгоритм Бухбергера. Вычисление базиса Гребнера в системах Maxima и Singular.
2. Результант многочленов и исключение неизвестных.
3. Алгебраические уравнения в роботике. Алгебраические уравнения и автоматическое доказательство геометрических теорем.
4. Аналитический подход в исследовании алгебраических (в широком смысле) уравнений. Окрестность простой точки. Поиск решения в виде формального степенного ряда. Получение асимптотического разложения методом последовательных приближений. Обратная функция и ряд Лагранжа.
5. Пример: методы приближенного решения уравнения Кеплера.
6. Окрестность точки ветвления. Диаграмма Ньютона. Разложение неявной функции в ряд Пюизо.
7. Методы численного решения СЛАУ. Метод Гаусса (обычный и с выбором главного элемента). Итерационные методы Якоби и Зейделя. Решение переопределенной системы. Псевдорешение (и метод наименьших квадратов).
8. Методы численного решения системы нелинейных уравнений. Деление отрезка пополам. Метод Нелдера - Мида. Метод простых итераций. Метод Ньютона (касательных) и метод одной касательной.

Минимальные знания и навыки. Алгоритм множественного деления многочленов. Базис Грёбнера и алгоритм Бухбергера. Результант многочленов от одной переменной. Исключение неизвестных из системы полиномиальных уравнений (любой метод). Разложение неявной функции в окрестности простой точки (любой метод). Диаграмма Ньютона для многочлена. Разложение неявной функции в окрестности точки ветвления. Алгоритмы метода Гаусса с выбором главного элемента и итерационного метода Зейделя. Алгоритм метода Ньютона (касательных).

III. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Примеры. Модель радиоактивного распада и методы датировки (радиоуглеродный анализ). Законы Кеплера как следствие закона всемирного тяготения.
2. Система уравнений 1-го порядка и уравнение n-го порядка. Задача Коши. Существование решения. Единственность решения. Непрерывная зависимость решения от начальных данных.
3. Сведение к интегральному уравнению. Приближение по невязке и ломаные Эйлера. Теорема Банаха о неподвижной точке сжимающего отображения и метод последовательных приближений. Интегральное неравенство Гронуолла.
4. Система линейных уравнений 1-го порядка. Линейное однородное уравнение. Фундаментальная матрица. Теорема Лиувилля об определителе. Понижение порядка в случае известных частных решений. Линейное неоднородное уравнение.
5. Скалярное линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Сведение векторного линейного уравнения с постоянной матрицей к скалярному уравнению. Матричная экспонента и ее вычисление. (Другой подход: через приведение матрицы к жордановой нормальной форме.) Уравнение Эйлера и матричная степенная функция.
6. Пример: модель хищник-жертва (уравнения Лотки - Вольтерры).
7. Автономная система уравнений. Фазовое пространство. Поток, порожденный векторным полем. Точка покоя. Классификация точек покоя 2-мерной линейной системы. Теорема о выпрямлении векторного поля в окрестности обыкновенной точки. Метод Пуанкаре приведения уравнения к нормальной форме в окрестности точки покоя (при отсутствии резонансов).
8. Устойчивость, асимптотическая устойчивость, неустойчивость решения по Ляпунову. Критерии Рауса - Гурвица и Льенара - Шипара. Исследование устойчивости по первому приближению. Теорема Ляпунова о разложении. Функция Ляпунова и второй метод Ляпунова. Теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости.
9. Диаграмма Ньютона для ОДУ и асимптотика решений.
10. Система линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Матричный логарифм. Теорема Флоке. Матрица монодромии и мультипликаторы. Приближенное вычисление матрицы монодромии. Разложение решения в ряд Фурье.
11. Асимптотика решений системы линейных уравнений с матрицей, близкой к постоянной. Преобразование Лиувилля для линейных уравнений 2-го порядка. Асимптотика функций Бесселя.
12. Особая точка I-го рода линейного уравнения. Разложение решения в окрестности особой точки. Случай отсутствия собственных значений с целочисленной разностью. Сведение общего случая к предыдущему. Уравнение Бесселя.
13. Разложение по малому параметру. Регулярный случай. Метод Пуанкаре. Уравнение Дюффинга. Уравнение Ван дер Поля.
14. Разложение по малому параметру. Сингулярный случай. Метод Тихонова. Построение формального асимптотического разложения.
15. Численные методы решения ОДУ. Методы Рунге - Кутты. Методы Адамса. Методы интегрирования жестких задач.

Минимальные знания и навыки. Сведение скалярного уравнения n-го порядка к векторному уравнению 1-го порядка и обратно. Метод последовательных приближений для векторного уравнения 1-го порядка, асимптотика в окрестности начальной точки. Оценка нормы решения с помощью неравенства Гронуолла. Вычисление определителя фундаментальной матрицы с помощью теоремы Лиувилля. Понижение порядка скалярного линейного однородного уравнения и размерности векторного линейного однородного уравнения в случае известных решений. Решение линейного неоднородного уравнения при известном общем решении однородного. Общее решение линейного однородного уравнения (скалярного, векторного и матричного) с постоянными коэффициентами. Вычисление матричной экспоненты. Решение однородного уравнения Эйлера (скалярного, векторного и матричного) и вычисление матричной степенной функции. Метод Пуанкаре приведения уравнения к нормальной форме в окрестности точки покоя (при отсутствии резонансов). Критерии Рауса - Гурвица и Льенара - Шипара асимптотической устойчивости. Применение теоремы Ляпунова о разложении для поиска асимптотики малых решений. Вычисление матричного логарифма. Приближенное вычисление матрицы монодромии и мультипликаторов для системы с периодическими коэффициентами. Асимптотика решений системы линейных уравнений с матрицей, близкой к постоянной. Преобразование Лиувилля для линейных уравнений 2-го порядка. Асимптотическое разложение в окрестности особой точки I-го рода (при отсутствии собственных значений с целочисленной разностью). Построение формального асимптотического разложения по малому параметру в регулярном и сингулярном случаях.

IV. Дифференциальные уравнения в частных производных

1. Задача Коши для системы уравнений в дифференциалах (уравнения Пфаффа). Сведение к линейной однородной системе уравнений в частных производных I-го порядка. Понятие вполне интегрируемой системы линейных дифференциальных форм. Задача о поиске интегрирующего множителя системы дифференциальных форм. Условия Фробениуса. Метод понижения размерности.

2. Задача Коши для скалярного уравнения в частных производных I-го порядка. Линейное однородное уравнение в частных производных I-го порядка. Характеристики. Условие нехарактеристичности. Квазилинейное уравнение в частных производных I-го порядка. Нелинейное уравнение в частных производных I-го порядка.

3. Система уравнений в частных производных I-го порядка в форме Коши - Ковалевской с аналитическими правыми частями и начальными данными. Теорема Коши - Ковалевской. Поиск решения в виде формального степенного ряда. Метод мажорантного ряда. Система уравнений I-го порядка в неявной форме с начальными данными на аналитической гиперповерхности. Условие локальной приводимости к форме Коши - Ковалевской. Характеристические направления и характеристические гиперповерхности. Контрпримеры: отсутствие аналитического решения уравнения теплопроводности; некорректность задачи Коши для уравнения Лапласа. Метод Фурье исследования начальной задачи для линейного однородного уравнения на устойчивость.

4. Классификация линейных уравнений 2-го порядка. Физические задачи, приводящие к уравнениям эллиптического, гиперболического и параболического типа.

5. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Внутренняя и внешняя краевые задачи Дирихле и Неймана. Метод разделения переменных. Решение уравнения Лапласа в классических областях: прямоугольник, круг, цилиндр, шар (в осесимметричном случае). Формулы Грина. Основные свойства гармонических функций (теорема о среднем, принцип максимума). Единственность и устойчивость решения внутренней задачи Дирихле.

6. Начально-краевые задачи для 1-мерного волнового уравнения. Начальная задача на прямой. Формула Даламбера. Случай неоднородного уравнения. Начально-краевая задача на полупрямой. Начально-краевая задача на отрезке. Энергетическая оценка и теорема единственности. Задача Гурса для неоднородного уравнения.

7. Начально-краевые задачи для 1-мерного уравнения теплопроводности. Начально-краевая задача на отрезке. Метод разделения переменных. Функция источника. Случай неоднородного уравнения. Принцип максимума и теорема единственности. Начальная задача на прямой для однородного и неоднородного уравнения. Начально-краевая задача на полупрямой.

Минимальные знания и навыки. Условия Фробениуса для системы уравнений в дифференциалах (Пфаффа). Метод понижения размерности. Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных I-го порядка. Приведение уравнения n-го порядка класса Ковалевской к системе уравнений I-го порядка в форме Коши - Ковалевской. Поиск решения начальной задачи в виде степенного ряда в окрестности точки. Метод Фурье исследования начальной задачи для линейного однородного уравнения на устойчивость. Классификация линейных уравнений 2-го порядка в окрестности точки. Решение краевых задач для уравнения Лапласа в классических областях. Решение начально-краевых задач для 1-мерного волнового уравнения на прямой, полупрямой и отрезке. Решение начально-краевых задач для 1-мерного уравнения теплопроводности на прямой, полупрямой и отрезке.

Занятия

Записи лекций и семинаров выкладываются в плейлист

Текущие оценки за доклады и вопросы к ним в гугл-таблице

Экзамен

На экзамен выносится материал курса в рамках минимальных знаний и навыков - смотрите выше.

В процессе экзамена можно использовать любые материалы и компьютерные программы. Но решение задач оформляется на бумаге и должно быть выполнено на достаточном уровне подробности, позволяющем проследить и повторить все выполненные действия. Общие алгоритмические описания действий при этом должны сопровождаться конкретными выкладками.