Математическое моделирование — различия между версиями
Emaevskiy (обсуждение | вклад) (→II. Алгебраические уравнения) |
Emaevskiy (обсуждение | вклад) (→III. Обыкновенные дифференциальные уравнения) |
||
Строка 49: | Строка 49: | ||
1. Примеры. Модель радиоактивного распада и методы датировки (радиоуглеродный анализ). Законы Кеплера как следствие закона всемирного тяготения. | 1. Примеры. Модель радиоактивного распада и методы датировки (радиоуглеродный анализ). Законы Кеплера как следствие закона всемирного тяготения. | ||
− | 2. Система | + | 2. Система уравнений 1-го порядка. Задача Коши. Существование решения. Единственность решения. Непрерывная зависимость решения от начальных данных. Продолжаемость решения. |
− | 3. | + | 3. Сведение к интегральному уравнению. Теорема Банаха о неподвижной точке сжимающего отображения. Метод последовательных приближений. |
− | 4. | + | 4. Система линейных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Жорданова нормальная форма матрицы. Экспонента от матрицы и ее вычисление. Аналитическая функция от матрицы. |
− | 5. | + | 5. Автономная система уравнений. Фазовое пространство. Точка покоя и ее устойчивость. Классификация точек покоя 2-мерной системы. |
− | 6. | + | 6. Устойчивость решения по Ляпунову. Исследование устойчивости по первому приближению. Показатели Ляпунова. |
− | 7. | + | 7. Пример: модель хищник-жертва (уравнения Лотки - Вольтерры). |
− | 8. | + | 8. Функция Ляпунова и второй метод Ляпунова. Теоремы об устойчивости и неустойчивости. |
− | 9. | + | 9. Диаграмма Ньютона для ОДУ и асимптотика решений. Примеры применения. |
− | 10. | + | 10. Поиск решения в виде ряда. Разложение в окрестности простой точки. |
− | 11. | + | 11. Асимптотика системы линейных уравнений с матрицей, близкой к постоянной. |
− | 12. | + | 12. Регулярные и иррегулярные особые точки. Разложение в окрестности особой точки. |
− | 13. | + | 13. Метод малого параметра. Регулярно возмущенное уравнение. |
− | 14. Численные методы решения ОДУ. | + | 14. Сингулярно возмущенное уравнение. Пограничный слой. Теорема Тихонова. |
+ | |||
+ | 15. Численные методы решения ОДУ. | ||
===IV. Основы вариационного исчисления и оптимального управления=== | ===IV. Основы вариационного исчисления и оптимального управления=== |
Версия 11:10, 28 января 2021
Содержание
О курсе
Данный курс Математическое моделирование читается в 2020/2021 учебном году на Факультете компьютерных наук НИУ ВШЭ.
Курс состоит из следующих перемежающихся друг с другом разделов:
- методы построения моделей (в основном из физики),
- точные методы исследования моделей (алгебраические, аналитические),
- численные методы исследования моделей.
Рассчитан на 1 семестр (2 модуля).
Область знаний, которую можно было бы назвать математическим моделированием, изучает как сами математические модели, так и общие закономерности их построения и методы анализа.
Как известно, любая наука в процессе своего становления проходит путь от классификации изучаемых объектов (примеры таких классификаций мы можем видеть в астрономии, биологии, химии) к их математическому описанию. По мнению А.Н. Уайтхеда: всякая наука по мере развития и совершенствования ее методов становится математической в своих основных понятиях.
Наиболее долгий и плодотворный путь в этом направлении прошла физика, влиянием которой проникнуты многие разделы математики. Можно даже сказать, что математика и физика развивались параллельно, взаимно обогащая друг друга идеями и методами. Поэтому выбор физики как плацдарма для курса математического моделирования вполне закономерен. С другой стороны, конечно, математическое моделирование не есть физика. Мы берем из физики лишь сами модели, оставляя физикам мотивировки и интерпретации.
План курса
I. Введение в математическое моделирование
1. Этапы построения математической модели. Математическая модель как система уравнений. Корректность модели по Адамару.
2. Обзор математического моделирования в естественных и социально-экономических науках. Структура курса.
3. Примеры математических моделей.
II. Алгебраические уравнения
1. Алгебраический подход в исследовании полиномиальных уравнений. Кольцо многочленов. Идеал кольца многочленов и система уравнений. Упорядочение мономов. Алгоритм множественного деления многочленов. Понятие базиса Гребнера. Алгоритм Бухбергера. Вычисление базиса Гребнера в системах Maxima и Singular.
2. Результант многочленов и исключение неизвестных.
3. Алгебраические уравнения в роботике. Алгебраические уравнения и автоматическое доказательство геометрических теорем.
4. Аналитический подход в исследовании алгебраических (в широком смысле) уравнений. Окрестность простой точки. Поиск решения в виде формального степенного ряда. Получение асимптотического разложения методом последовательных приближений. Обратная функция и формула Лагранжа.
5. Пример: методы приближенного решения уравнения Кеплера.
6. Окрестность точки ветвления. Диаграмма Ньютона. Разложение в ряд Пюизо.
7. Методы численного решения СЛАУ. Метод Гаусса (обычный и с выбором главного элемента). Итерационные методы Якоби и Зейделя. Решение переопределенной системы. Псевдорешение (и метод наименьших квадратов).
8. Методы численного решения системы нелинейных уравнений. Деление отрезка пополам. Метод Нелдера - Мида. Метод простых итераций. Метод Ньютона (касательных) и метод одной касательной.
Минимальные знания и навыки. Алгоритм множественного деления многочленов. Базис Гребнера и алгоритм Бухбергера. Результант многочленов от одной переменной. Исключение неизвестных из системы полиномиальных уравнений (любой метод). Разложение неявной функции в окрестности простой точки (любой метод). Диаграмма Ньютона для многочлена. Разложение неявной функции в окрестности точки ветвления. Алгоритмы метода Гаусса с выбором главного элемента и итерационных методов Якоби и Зейделя. Алгоритм метода Ньютона (касательных).
III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Примеры. Модель радиоактивного распада и методы датировки (радиоуглеродный анализ). Законы Кеплера как следствие закона всемирного тяготения.
2. Система уравнений 1-го порядка. Задача Коши. Существование решения. Единственность решения. Непрерывная зависимость решения от начальных данных. Продолжаемость решения.
3. Сведение к интегральному уравнению. Теорема Банаха о неподвижной точке сжимающего отображения. Метод последовательных приближений.
4. Система линейных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Жорданова нормальная форма матрицы. Экспонента от матрицы и ее вычисление. Аналитическая функция от матрицы.
5. Автономная система уравнений. Фазовое пространство. Точка покоя и ее устойчивость. Классификация точек покоя 2-мерной системы.
6. Устойчивость решения по Ляпунову. Исследование устойчивости по первому приближению. Показатели Ляпунова.
7. Пример: модель хищник-жертва (уравнения Лотки - Вольтерры).
8. Функция Ляпунова и второй метод Ляпунова. Теоремы об устойчивости и неустойчивости.
9. Диаграмма Ньютона для ОДУ и асимптотика решений. Примеры применения.
10. Поиск решения в виде ряда. Разложение в окрестности простой точки.
11. Асимптотика системы линейных уравнений с матрицей, близкой к постоянной.
12. Регулярные и иррегулярные особые точки. Разложение в окрестности особой точки.
13. Метод малого параметра. Регулярно возмущенное уравнение.
14. Сингулярно возмущенное уравнение. Пограничный слой. Теорема Тихонова.
15. Численные методы решения ОДУ.
IV. Основы вариационного исчисления и оптимального управления
V. Основы дифференциальной геометрии
VI. Дифференциальные уравнения в частных производных
Занятия
Записи лекций и семинаров выкладываются в плейлист
Экзамен
На экзамен выносится материал курса в рамках минимальных знаний и навыков - смотрите выше.