Математический анализ - 2 (2022/23)

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	213	215	216	217	218	219	2110
Лектор	Колесниченко Е.Ю.
Семинарист	Борис Демешев	[Платонова К.С.]	Лукьяненко Н.С.	Колесниченко Е.Ю.	Борис Демешев	[Платонова К.С.]	Султанов А.Р.
Ассистент	Швецов Артемий	Копчев Владислав	Королев Кирилл	Кемал Азамат	Беляев Артем	Максимов Ян	Исхакова Эмилия

О курсе

Данный курс Математический анализ - 2 читается в 2022/2023 учебном году на основном потоке образовательной программы "Прикладная Математика и Информатика" Факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ. Курс разбит на 2 части: 2.1 (первый семестр) и 2.2 (второй семестр).

Курс первого семестра состоит из следующих разделов: числовые ряды, функциональные ряды, кратные интегралы.

Лекции

Модуль 1

Числовые ряды. Критерий Коши. Теорема о группировке членов ряда. Лекция 1

Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Признак Гаусса. Лекция 2

Интегральный признак Коши. Преобразование Абеля. Признаки Дирихле, Лейбница, Абеля. Теорема о перестановке членов знакопостоянного ряда. Лекция 3

Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана о перестановках условно сходящихся рядов. Произведение рядов по Коши: теорема Мертенса, теорема Абеля. Лекция 4

Равномерная сходимость функциональной последовательности. Критерий Коши, теорема о предельном переходе, теоремы о непрерывности/интегрируемости/дифференцируемости предельной функции. Лекция 5

Равномерная сходимость функционального ряда: Критерий Коши, теоремы о предельном переходе, о непрерывности/интегрируемости/дифференцируемости суммы ряда. Признаки Вейерштрасса, Дирихле, Абеля равномерной сходимости. Лекция 6

Степенные ряды, теорема Коши-Адамара. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость степенного ряда. Разложение функций в степенной ряд, табличные разложения. Лекция 7

Модуль 2

Кратный интеграл Римана, необходимое условие интегрируемости, свойства интеграла. Множество лебеговой меры нуль. Лекция 8

Свойства множеств лебеговой меры нуль. Топология R^n, критерий компактности в R^n. Лекция 9

Теорема Вейерштрасса о непрерывной функции на компакте. Колебания функции на множестве и в точке. Теорема Кантора-Гейне о колебаниях функции на компакте. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману. Лекция 10

Критерий Лебега (продолжение). Верхние и нижние суммы Дарбу, свойства. Верхний и нижний интегралы Дарбу, теорема об интегралах как пределах сумм Дарбу. Критерий Дарбу. Допустимые множества, интеграл по допустимому множеству. Лекция 11

Критерий Лебега для допустимых множеств. Мера Жордана. Свойства интеграла Римана по допустимым множествам. Теоремы Фубини для бруска и для допустимого множества. Лекция 12

Семинары

Модуль 1

Семинар 1 Числовые ряды: определение и Критерий Коши. Задачи

Семинар 2 Знакопостоянные ряды: признаки сходимости. Задачи

Семинар 3 Знакопеременные ряды: признаки сходимости. Задачи

Семинар 4 Абсолютная и условная сходимость. Бесконечные произведения. Задачи

Семинар 5 Равномерная сходимость (последовательности). Задачи

Семинар 6 Равномерная сходимость (ряды). Задачи

Семинар 7 Степенные ряды. Задачи

Модуль 2

Семинар 8 Двойные интегралы, сведение к повторному. Задачи

Семинар 9 Тройные и n-кратные интегралы, сведение к повторным. Задачи

Семинар 10 Замена переменных в кратных интегралах. Задачи

Семинар 11 Другие замены переменных и n-кратные интегралы. Задачи

Семинар 12 Геометрические приложения. Задачи

Семинар 13 Несобственные кратные интегралы. Задачи

Домашние задания

В листке отдельно указано ДЗ.

Баллы за ДЗ в течение семестра суммируются и сумма масштабируется в 10-балльную шкалу.

Контрольные работы

В первом семестре будет 2 контрольные работы: КР1 в середине семестра и КР2 (= экзамен) в сессию после 2-го модуля. Оценки по 10-бальной шкале.

Нулевой вариант КР1

Коллоквиумы

В первом семестре будет 2 коллоквиума: КЛ1 и КЛ2. Оценки по 10-бальной шкале.

Список вопросов к КЛ1

Ведомость с оценками

213

215

216

217

218

219

2110

Формы контроля и оценивание

В течение семестра установлены следующие формы контроля:

• ряд домашних заданий (ДЗ);
• 2 коллоквиума (КЛ₁, КЛ₂);
• 2 контрольные работы (КР₁, КР₂).

КР₂ совпадает с экзаменом.

Все оценки считаются по 10-бальной шкале и учитываются без округлений. Округление производится по арифметическому правилу непосредственно перед выставлением итоговой оценки.

Итоговая оценка 1-го семестра: O_осень = 1/6 (ДЗ + КЛ₁+ КЛ₂ ) + 1/4 (КР₁ + КР₂)

Автоматы в курсе не предусмотрены.

Блокирующих форм контроля нет.

Список рекомендуемой литературы

Учебники

Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления. 1969

Том 1 (пп. 1-262) Том 2 (пп. 263-542) Том 3 (пп. 543-762)

Зорич В.А. - Математический анализ. 2019

Часть 1 Часть 2

Задачники

Демидович Б.П. - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Любое издание

Например, это

Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. - Математический анализ в задачах и упражнениях. Т.2,3. МЦНМО, 2018