Математический анализ - 2 (2022/23)
Содержание
Преподаватели и учебные ассистенты (весна)
| Группа | 213 | 215 | 216 | 217 | 218 | 219 | 2110 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Лектор | Колесниченко Е.Ю. | ||||||
| Семинарист | [Чанга М.Е.] | [Радомский А.О.] | Лукьяненко Н.С. | Колесниченко Е.Ю. | [Чанга М.Е.] | [Радомский А.О.] | Султанов А.Р. |
| Ассистент | Швецов Артемий | Швецов Артемий | Казанцева Анна | Кемал Азамат | Беляев Артем | Максимов Ян | Исхакова Эмилия |
Преподаватели и учебные ассистенты (осень)
| Группа | 213 | 215 | 216 | 217 | 218 | 219 | 2110 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Лектор | Колесниченко Е.Ю. | ||||||
| Семинарист | Борис Демешев | [Платонова К.С.] | Лукьяненко Н.С. | Колесниченко Е.Ю. | Борис Демешев | [Платонова К.С.] | Султанов А.Р. |
| Ассистент | Швецов Артемий | Копчев Владислав | Королев Кирилл | Кемал Азамат | Беляев Артем | Максимов Ян | Исхакова Эмилия |
О курсе
Данный курс Математический анализ - 2 читается в 2022/2023 учебном году на основном потоке образовательной программы "Прикладная Математика и Информатика" Факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ.
Курс первого семестра состоит из следующих разделов: числовые ряды, функциональные ряды, кратные интегралы. Курс второго семестра состоит из следующих разделов: интегралы с параметром, теория Фурье, введение в комплексный анализ.
Лекции
Модуль 1
Числовые ряды. Критерий Коши. Теорема о группировке членов ряда. Лекция 1
Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Признак Гаусса. Лекция 2
Интегральный признак Коши. Преобразование Абеля. Признаки Дирихле, Лейбница, Абеля. Теорема о перестановке членов знакопостоянного ряда. Лекция 3
Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана о перестановках условно сходящихся рядов. Произведение рядов по Коши: теорема Мертенса, теорема Абеля. Лекция 4
Равномерная сходимость функциональной последовательности. Критерий Коши, теорема о предельном переходе, теоремы о непрерывности/интегрируемости/дифференцируемости предельной функции. Лекция 5
Равномерная сходимость функционального ряда: Критерий Коши, теоремы о предельном переходе, о непрерывности/интегрируемости/дифференцируемости суммы ряда. Признаки Вейерштрасса, Дирихле, Абеля равномерной сходимости. Лекция 6
Степенные ряды, теорема Коши-Адамара. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость степенного ряда. Разложение функций в степенной ряд, табличные разложения. Лекция 7
Модуль 2
Кратный интеграл Римана, необходимое условие интегрируемости, свойства интеграла. Множество лебеговой меры нуль. Лекция 8
Свойства множеств лебеговой меры нуль. Топология R^n, критерий компактности в R^n. Лекция 9
Теорема Вейерштрасса о непрерывной функции на компакте. Колебания функции на множестве и в точке. Теорема Кантора-Гейне о колебаниях функции на компакте. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману. Лекция 10
Критерий Лебега (продолжение). Верхние и нижние суммы Дарбу, свойства. Верхний и нижний интегралы Дарбу, теорема об интегралах как пределах сумм Дарбу. Критерий Дарбу. Допустимые множества, интеграл по допустимому множеству. Лекция 11
Критерий Лебега для допустимых множеств. Мера Жордана. Свойства интеграла Римана по допустимым множествам. Теоремы Фубини для бруска и для допустимого множества. Лекция 12
Формула замены переменных в кратном интеграле Римана. Исчерпания, определение несобственного интеграла. Теорема о несобственном интеграле от неотрицательной функции. Мажорантный признак сходимости несобственного интеграла. Лекция 13
Модуль 3
СИЗП: теоремы о непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости. Лекция 1
Равномерная сходимость семейства функций. НИЗП. Критерий Коши равномерной сходимости НИЗП, признаки Вейерштрасса, Дирихле, Абеля. Лекция 2
Непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость НИЗП. Интеграл Дирихле. Интеграл Лапласа (начало). Лекция 3
Интеграл Лапласа (продолжение). Интегралы Френеля. Определение гамма- и бета-функций. Лекция 4
Свойства бета- и гамма- функций. Лекция 5
Евклидовые и нормированные пространства. Основная тригонометрическая система. Ряды Фурье, экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Полные системы. Лекция 6
Критерий полноты ОНС, равенство Парсеваля. Полнота основной тригонометрической системы (начало). Ядро Дирихле, ядро Фейера, частичная сумма ряда Фурье по Чезаро. Лекция 7
Теорема Фейера о равномерной сходимости частичных сумм по Чезаро. Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывной функции тригонометрическими и алгебраическими многочленами. Лемма Римана. Условие Дини. Лекция 8
Теорема о сходимости ряда Фурье в точке. Ряды Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье. Лекция 9
Свойства преобразования Фурье. Теорема о сходимости интеграла Фурье в точке. Лекция 10
Доп. материал про ДПФ, БПФ: здесь
Модуль 4
Комплексная плоскость. Предел последовательности и предел функции, непрерывность, дифференцируемость. Условия Коши-Римана. Голоморфные функции. Лекция 11
Кривые и области. Конформные отображения. Лекция 12
Геометрический смысл производной. Сфера Римана. Интегралы вдоль путей. Лекция 13
Лемма Гурса. Интегральная теорема Коши. Лекция 14
Интегральная формула Коши. Ряды, степенные ряды, ряды Тейлора. Теорема Лиувилля и основная теорема алгебры. Лекция 15
Интегральная формула Коши для производных. Принцип изолированности нулей голоморфной функции. Ряды Лорана. Лекция 16
Изолированные особые точки. Теорема Сохоцкого. Лекция 17
Вычеты. Теорема Коши о вычетах и теорема о сумме вычетов. Лекция 18
Семинары
Модуль 1
Семинар 1 Числовые ряды: определение и Критерий Коши. Задачи
Семинар 2 Знакопостоянные ряды: признаки сходимости. Задачи
Семинар 3 Знакопеременные ряды: признаки сходимости. Задачи
Семинар 4 Абсолютная и условная сходимость. Бесконечные произведения. Задачи
Семинар 5 Равномерная сходимость (последовательности). Задачи
Семинар 6 Равномерная сходимость (ряды). Задачи
Семинар 7 Степенные ряды. Задачи
Модуль 2
Семинар 8 Двойные интегралы, сведение к повторному. Задачи
Семинар 9 Тройные и n-кратные интегралы, сведение к повторным. Задачи
Семинар 10 Замена переменных в кратных интегралах. Задачи
Семинар 11 Другие замены переменных и n-кратные интегралы. Задачи
Семинар 12 Геометрические приложения. Задачи
Семинар 13 Несобственные кратные интегралы. Задачи
Семинар 14 Задачи на повторение/обсуждение. Задачи
Модуль 3
Семинар 1(15) Собственные интегралы, зависящие о параметра. Задачи
Семинар 2 Равномерная сходимость семейства функций. Задачи
Семинар 3 Равномерная сходимость несобственного интеграла. Задачи
Семинар 4 Непрерывность НИЗП. Именные интегралы. Задачи
Семинар 5 Дифференцируемость и интегрируемость НИЗП. Задачи
Семинар 6 Эйлеровы интегралы. Задачи
Семинар 7 Ортонормированные системы. Задачи
Семинар 8 Тригонометрические ряды Фурье. Равенство Парсеваля. Задачи
Семинар 9 Тригонометрические ряды Фурье (продолжение). Задачи
Семинар 10 Преобразование Фурье. Задачи
Семинар 11 Бонусный материал. (Материал 217 группы: здесь)
Модуль 4
Семинар 12 Комплексная плоскость и функции комплексного переменного. Задачи
Семинар 13 Непрерывность и дифференцируемость. Задачи
Семинар 14 Сфера Римана. Дробно-линейное отображение. Задачи
Семинар 15 Интегралы вдоль путей. Задачи
Семинар 16 Интегральная теорема Коши и интегральная формула Коши. Задачи
Семинар 17 Интегральная формула Коши для производных. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегралов вдоль путей. Задачи
Семинар 18 Степенные ряды. Задачи
Семинар 19 Изолированные особые точки и вычеты. Задачи
Домашние задания
В листке отдельно указано ДЗ.
Баллы за ДЗ в течение семестра суммируются и сумма масштабируется в 10-балльную шкалу: за осенний семестр выставляется оценка ДЗ1, за весенний -- ДЗ2.
Контрольные работы
В первом семестре будет 2 контрольные работы: КР1 в середине семестра и КР2 (= экзамен) в сессию после 2-го модуля. Оценки по 10-бальной шкале.
Во втором семестре будет 3 контрольные работы: КР3 и КР4 в течение семестра и КР5 (= экзамен) в сессию после 4-го модуля. Оценки по 10-бальной шкале.
Коллоквиумы
В первом семестре будет 2 коллоквиума: КЛ1 и КЛ2. Оценки по 10-бальной шкале.
Во втором семестре будет 2 коллоквиума: КЛ3 и КЛ4. Оценки по 10-бальной шкале.
Ведомость с оценками
Весна:
| 213 | 215 | 216 | 217 | 218 | 219 | 2110 |
Осень:
| 213 | 215 | 216 | 217 | 218 | 219 | 2110 |
Формы контроля и оценивание
Все оценки считаются по 10-бальной шкале и учитываются без округлений. Округление производится по арифметическому правилу непосредственно перед выставлением итоговой оценки.
Итоговая оценка 1-го семестра: Oосень = 1/6 (ДЗ1 + КЛ1+ КЛ2 ) + 1/4 (КР1 + КР2)
Итоговая оценка 2-го семестра: Oвесна = 2/15 (ДЗ2 + КЛ3+ КЛ4 ) + 1/5 (КР3 + КР4 + КР5)
Все оценки считаются по 10-бальной шкале и учитываются без округлений. Округление производится по арифметическому правилу непосредственно перед выставлением итоговой оценки.
Итоговая оценка за курс: Oитог = 0,3 Oосень + 0,7 Oвесна. В этой формуле баллы Oосень, Oвесна учитываются уже округленными. Итоговая оценка округляется по арифметическому правилу.
Автоматы в курсе не предусмотрены.
Блокирующих форм контроля нет.
Список рекомендуемой литературы
Учебники
Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления. 1969
Том 1 (пп. 1-262) Том 2 (пп. 263-542) Том 3 (пп. 543-762)
Зорич В.А. - Математический анализ. 2019
Задачники
Демидович Б.П. - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Любое издание
Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. - Математический анализ в задачах и упражнениях. Т.2,3. МЦНМО, 2018
