Линейная алгебра и геометрия 2015/2016

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ151	БПМИ152	БПМИ153	БПМИ154	БПМИ155	БПМИ156	БПМИ157	БПМИ158
Лектор	Дмитрий Игоревич Пионтковский		Роман Сергеевич Авдеев
Семинарист	Дмитрий Игоревич Пионтковский	Всеволод Леонидович Чернышев	Дмитрий Игоревич Пионтковский	Роман Сергеевич Авдеев	Полина Юрьевна Котенкова	Сергей Александрович Гайфуллин	Станислав Николаевич Федотов
Ассистент	Григорий Вевюрко, Айбек Аланов, Павел Фомин		Денис Скоробогатов	Илья Гаврилов	Рамиль Яруллин	Альбина Ахметгареева	Дмитрий Матвеевский	Мария Новикова

Расписание консультаций

	Преподаватель/ассистент	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница
1	Дмитрий Игоревич Пионтковский		15:30--17:00, ≈ 511 или 507	15:30--17:00, ≈ 511 или 507
2	Всеволод Леонидович Чернышев					15:10–16:30
3	Роман Сергеевич Авдеев	15:40–17:40, ауд. 618
4	Полина Юрьевна Котенкова			9:00–10:20, ауд. 313
5	Сергей Александрович Гайфуллин		15:30–17:30, каб. 607
6	Станислав Николаевич Федотов				16:00–18:00
7	Григорий Вевюрко			15:30–18:10 (ауд. 308)
8	Айбек Аланов (до конца марта 2016 г.)		с 16:40 (ауд. 511)			15:10–16:30 (ауд. 310)
9	Павел Фомин (временное расписание)					13:40–16:00 (ауд. 310)
10	Денис Скоробогатов			15:10–16:30, ауд. 505
11	Илья Гаврилов					16:40–18:00, ауд. 313
12	Рамиль Яруллин	13:40–15:00
13	Альбина Ахметгареева				16:40–18:00
14	Дмитрий Матвеевский		15:10–16:30
15	Мария Новикова	10:30–11:50

Формы контроля знаний студентов

Устная сдача задач из листков

В течение всего курса студентам будут выдаваться листки с задачами (в основном теоретическими). Эти задачи можно (и нужно) сдавать во время консультаций любого преподавателя или ассистента. Для каждого листка устанавливается крайний срок сдачи, по прошествии которого решения задач не принимаются. Итоговая оценка O_л за этот вид деятельности равна среднему арифметическому оценок за все листки, выданные в течение отчётного периода (1-2 модули или 3-4 модули).

Активность и работа на семинарах

Будет отражаться в оценке O_сем, выставляемой преподавателями, ведущими семинарские занятия.

Информация для 1-го потока

Листки с задачами

Правила сдачи и оценивания листков:

• каждый пункт в листке считается отдельной задачей
• сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
• результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1
• оценка за листок вычисляется по формуле 10*<число сданных задач>/<общее число задач, в том числе со звёздочками>

Листок 1. Матрицы и операции над ними

Листок 2. Матрицы и линейные пространства

Листок 3.1. Вычисление определителей

Листок 3.2. Свойства и приложения определителей

Информация для 2-го потока

Порядок формирования итоговой оценки во 2-м модуле

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

O_{накопленная} = 0,4 * O_к/р + 0,2 * O_д/з + 0,2 * O_л + 0,2 * O_сем,

где O_к/р — оценка за контрольную работу, O_д/з — оценка за индивидуальные домашние задания, O_л — оценка за сдачу задач из листков и O_сем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

O_{итоговая} = 0,6 * O_{накопленная} + 0,4 * О_экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

Краткое содержание лекций

1-2 модули

Лекция 1 (7.09.2015). Арифметические n-мерные векторы. Арифметическое n-мерное пространство. Операции над n-мерными векторами: сложение, умножение на скаляр, скалярное произведение. Свойства этих операций. Длина вектора. Угол между векторами

Лекция 2 (14.09.2015). Неравенство Коши. Неравенство треугольника. Линейные функции и линейные уравнения. Линейные многообразия, примеры. Матрицы. Операции над матрицами: сложение, умножение на скаляр, транспонирование и умножение

Лекция 3 (21.09.2015). Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, транспонирования, умножения. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональная матрица. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. След квадратной матрицы и его свойства

Лекция 4 (28.09.2015). Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные, несовместные, определённые и неопределённые системы линейных уравнений. Определители второго порядка. Критерий определённости системы двух линейных уравнений от двух неизвестных, формулы Крамера. Определители третьего порядка. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Общая формула для определителя произвольного порядка

Лекция 5 (5.10.2015). Произведение подстановок. Ассоциативность умножения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении слева на транспозицию. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число, при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов), при перестановке двух строк (столбцов)

Лекция 6 (12.10.2015). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Лемма о разложении подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Кососимметрические и полилинейные функции

Лекция 7 (19.10.2015). Теорема о полилинейной кососимметрической функции от строк (столбцов) квадратной матрицы. Аксиоматическое определение определителя. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу)

Лекция 8 (2.11.2015). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Явная формула для обратной матрицы. Критерий невырожденности квадратной матрицы, следствия. Признак определённости системы линейных уравнений с квадратной матрицей. Формулы Крамера. Элементарные преобразования строк матрицы, их реализация при помощи умножения матриц. Обратимость элементарных преобразований строк.

Лекция 9 (9.11.2015). Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы линейных уравнений. Неизменность множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях её расширенной матрицы. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений.

Лекция 10 (16.11.2015). Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множествами решений системы линейных уравнений и соответствующей ей однородной системы. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств.

Лекция 11 (23.11.2015). Множество решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация векторов, линейная оболочка подмножества векторного пространства. Конечномерные векторные пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства.

Лекция 12 (30.11.2015). Базис векторного пространства как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Число элементов в базисе векторного пространства: независимость от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый.

Лекция 13 (7.12.2015). Инвариантность ранга матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового ранга матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера–Капелли. Критерий определённости совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий определённости системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя.

Лекция 14 (14.12.2015). Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Ортогональное дополнение подмножества n-мерного арифметического пространства. Равенство ортогональных дополнений подмножества и его линейной оболочки. Размерность ортогонального дополнения подпространства. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Реализация подпространств в арифметическом n-мерном пространстве как множеств решений однородных систем линейных уравнений. Линейные многообразия в арифметическом n-мерном пространстве как сдвиги подпространств. Размерность линейного многообразия.

3-4 модули

Лекция 15 (11.01.2016). Понятие поля. Простейшие примеры. Поле комплексных чисел, его построение. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль и аргумент комплексного числа, его тригонометрическая форма.

Лекция 16 (18.01.2016). Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства).

Лекция 17 (25.01.2016). Овеществление комплексного векторного пространства и комплексификация действительного векторного пространства; связь между соответствующими размерностями в конечномерном случае. Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Прямая сумма двух подпространств. Описание всех базисов n-мерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат.

Лекция 18 (29.01.2016). Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому. Формула преобразования координат при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

Дополнение к лекции 18: Отношения эквивалентности

Лекция 19 (1.02.2016). Доказательство критерия изоморфности двух конечномерных векторных пространств. Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Матрица композиции двух линейных отображений. Ядро и образ линейного отображения.

Лекция 20 (8.02.2016). Ядро и образ линейного отображения — подпространства. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Оценки на ранг произведения двух матриц. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Линейные операторы (линейные преобразования). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Формула изменения матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.

Лекция 21 (15.02.2016). Инвариантность определителя матрицы линейного оператора относительно замены базиса. Критерии обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя. Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости в терминах существования базиса из собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению. Характеристический многочлен линейного оператора.

Лекция 22 (22.02.2016). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Разложимость многочлена с комплексными коэффициентами в произведение линейных множителей. Кратность корня многочлена. Характеризация собственных значений линейного оператора в терминах его характеристического многочлена. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве. Геометрическая и алгебраическая кратности собственного значения линейного оператора, соотношение между ними. Сумма и прямая сумма нескольких подпространств векторного пространства. Характеризации прямой суммы.

Лекция 23 (29.02.2016). Сумма собственных подпространств линейного оператора, отвечающих различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений. Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве. Корневые векторы для линейного оператора, высота корневого вектора. Корневые подпространства.

Лекция 24 (14.03.2016). Критерий нетривиальности корневого подпространства линейного оператора. Инвариантность корневого подпространства. Характеристический многочлен ограничения линейного оператора на корневое подпространство. Равенство размерности корневого подпространства и алгебраической кратности соответствующего собственного значения. Сумма корневых подпространств линейного оператора, отвечающих различным собственным значениям. Теорема о разложении векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора. Жордановы клетки.

Лекция 25 (21.03.2016). Теорема о жордановой нормальной форме линейного оператора (формулировка). Линейные функции на векторном пространстве. Примеры. Двойственное (сопряжённое) пространство. Двойственный базис. Билинейные функции на векторном пространстве. Примеры.

Листки с задачами

Правила сдачи и оценивания листков:

• каждый пункт в листке считается отдельной задачей
• сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
• результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матрицы и операции над ними

Крайние сроки сдачи листка 1:

Группа	153	154	155	156	157	158
Срок	13 октября	12 октября	16 октября	13 октября	15 октября	15 октября

Оценка за листок 1 вычисляется по формуле 10*<число сданных задач>/<общее число задач без звёздочки>.

Задачи со звёздочкой разрешается сдавать ещё в течение недели после официального крайнего срока.

Листок 2. Определители

Оценка за листок 2 вычисляется по формуле 10*<число сданных задач>/15.

Крайние сроки сдачи листка 2:

Группа	153	154	155	156	157	158
Срок	17 ноября	16 ноября	18 ноября	17 ноября	19 ноября	19 ноября

Листок 3. Матрицы и векторные пространства

Оценка за листок 3 вычисляется по формуле 10*<число сданных задач>/15.

Крайние сроки сдачи листка 3:

Группа	153	154	155	156	157	158
Срок	15 декабря	14 декабря	16 декабря	15 декабря	17 декабря	17 декабря

Листок 4. Подпространства, линейные отображения и факторпространства

Оценка за листок 4 вычисляется по формуле 10*<число сданных задач>/15.

Крайние сроки сдачи листка 4:

Группа	153	154	155	156	157	158
Срок	1 марта	29 февраля	24 февраля	1 марта	25 февраля	25 февраля

Листок 5. Линейные операторы

Оценка за листок 5 вычисляется по формуле 10*<число сданных задач>/15.

Крайние сроки сдачи листка 5 будут объявлены позднее.

Индивидуальные домашние задания

Основные критерии проверки первого ИДЗ:

• Если метод решения верный и решение доведено до конца, но по ходу допущена ровно одна (не больше!) арифметическая ошибка или ошибка по невнимательности, то за это ставится 0,5.
• Если решение отличается от полного небольшим недочётом, то оценка снижается до 0,8.
• В третьей задаче перемножение подстановок не в том порядке приравнивается к арифметической ошибке.

Контрольная работа

Контрольная работа состоялась 25 ноября в соответствии со следующим графиком:

• группы 153, 155-158: время 15:10--16:30, аудитория 622
• группа 154: время 16:40--18:00, аудитория 509

Условия задач из контрольной

Основные критерии оценки решений задач из контрольной

Ниже приведены задачи, которые рекомендовалось прорешивать для подготовки к контрольной. Задачи рассортированы по темам, в скобках указаны номера из задачника Проскурякова.

• Действия с матрицами [790, 797, 801, 805, 822, 824, 836, 937, 863, 866]
• Подстановки [125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184]
• Определители 2-го и 3-го порядка [1, 8, 43, 59, 71, 112, 114]
• Определители произвольного порядка: определение [188, 197, 200]
• Вычисление определителей произвольного порядка [257, 279, 316]
• Решение систем линейных уравнений [22, 74, 82, 84, 87, 89, 567, 578, 580, 585, 586]

Экзамен

Формат проведения экзамена

Экзамен устный (в форме собесеседования) и состоит из двух этапов.

Этап 1. Сначала студент вытягивает три бумажки с определениями. На запись определений даётся пять минут, после чего принимающий проверяет результат.

Если все три определения написаны правильно, то студент допускается к этапу 2.

Если правильно написано не больше одного определения, то экзамен завершается с оценкой 0.

Если правильно написаны два определения из трёх, то студенту разрешается вытянуть ещё две бумажки с определениями, на написание которых даётся ещё пять минут. Если оба определения написаны правильно, то студент допускается к этапу 2. В противном случае экзамен завершается с оценкой 0.

Этап 2. Студент вытягивает билет, который состоит из двух вопросов. На подготовку (письменных) ответов на вопросы билета даётся 40 минут. После этого начинается разговор с принимающим. В ходе разговора могут задаваться дополнительные вопросы по программе курса и даваться задачи. По итогам разговора выставляется оценка.

Если результат разговора с принимающим неудовлетворительный, то в качестве оценки за экзамен выставляется 0. Если результат удовлетворительный, то выставляется оценка от 4 до 10. Оценки 1, 2, 3 не используются.

Материалы для подготовки к экзамену

Ниже приводятся окончательные версии списка определений и списка вопросов к экзамену.

Список определений к экзамену

Список вопросов к экзамену

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты сдачи задач из листков

151	152	153	154	155	156	157	158

Результаты проверки ИДЗ

151	152	153	154	155	156	157	158

Результаты контрольной работы

153	154	155	156	157	158

3-4 модули

Результаты сдачи задач из листков

151	152	153	154	155	156	157	158

Результаты проверки ИДЗ

151	152	153	154	155	156	157	158

Кстати

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

Литература

Учебники

• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
• И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)
• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)

Сборники задач

• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.