Линейная алгебра и геометрия 2015/2016

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ151	БПМИ152	БПМИ153	БПМИ154	БПМИ155	БПМИ156	БПМИ157	БПМИ158
Лектор	Дмитрий Игоревич Пионтковский		Роман Сергеевич Авдеев
Семинарист	Дмитрий Игоревич Пионтковский	Всеволод Леонидович Чернышев	Дмитрий Игоревич Пионтковский	Роман Сергеевич Авдеев	Полина Юрьевна Котенкова	Сергей Александрович Гайфуллин	Станислав Николаевич Федотов
Ассистент	Григорий Вевюрко, Айбек Аланов, Павел Фомин		Денис Скоробогатов	Илья Гаврилов	Рамиль Яруллин	Альбина Ахметгареева	Дмитрий Матвеевский	Мария Новикова

Расписание консультаций

	Преподаватель/ассистент	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница
1	Дмитрий Игоревич Пионтковский		15:30--17:00, ≈ 511 или 507	15:30--17:00, ≈ 511 или 507
2	Всеволод Леонидович Чернышев				13:40--15:00, 16:10--	15:10–16:30
3	Роман Сергеевич Авдеев	15:40–17:40, ауд. 618
4	Полина Юрьевна Котенкова			9:00–10:20, ауд. 313
5	Сергей Александрович Гайфуллин		15:30–17:30, каб. 607
6	Станислав Николаевич Федотов				16:00–18:00
7	Григорий Вевюрко			15:30–18:10 (ауд. 308)	15:00--
8	Айбек Аланов (до конца марта 2016 г.)		с 16:40 (ауд. 511)			15:10–16:30 (ауд. 310)
9	Павел Фомин (временное расписание)					13:40–16:00 (ауд. 310)
10	Денис Скоробогатов			15:10–16:30, ауд. 505
11	Илья Гаврилов					16:40–18:00, ауд. 313
12	Рамиль Яруллин	13:40–15:00
13	Альбина Ахметгареева				16:40–18:00
14	Дмитрий Матвеевский		15:10–16:30
15	Мария Новикова	10:30–11:50

Формы контроля знаний студентов

Устная сдача задач из листков

В течение всего курса студентам будут выдаваться листки с задачами (в основном теоретическими). Эти задачи можно (и нужно) сдавать во время консультаций любого преподавателя или ассистента. Для каждого листка устанавливается крайний срок сдачи, по прошествии которого решения задач не принимаются. Итоговая оценка O_л за этот вид деятельности равна среднему арифметическому оценок за все листки, выданные в течение отчётного периода (1-2 модули или 3-4 модули).

Активность и работа на семинарах

Будет отражаться в оценке O_сем, выставляемой преподавателями, ведущими семинарские занятия.

Информация для пилотного потока

Листки с задачами

Правила сдачи и оценивания листков:

• каждый пункт в листке считается отдельной задачей
• сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
• результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1
• оценка за листок вычисляется по формуле 10*<число сданных задач>/<общее число задач, в том числе со звёздочками>

Листок 1. Матрицы и операции над ними

Листок 2. Матрицы и линейные пространства

Листок 3.1. Вычисление определителей

Листок 3.2. Свойства и приложения определителей

Информация для основного потока

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

O_{накопленная} = 0,4 * O_к/р + 0,2 * O_д/з + 0,2 * O_л + 0,2 * O_сем,

где O_к/р — оценка за контрольную работу, O_д/з — оценка за индивидуальные домашние задания, O_л — оценка за сдачу задач из листков и O_сем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

O_{итоговая} = 0,6 * O_{накопленная} + 0,4 * О_экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

4-й модуль

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

O_{накопленная} = 0,2 * O_к/р + 0,15 * O_д/з + 0,35 * O_л + 0,4 * О_колл + 0,1 * O_сем,

где O_к/р — оценка за контрольную работу, O_д/з — оценка за индивидуальные домашние задания, O_л — оценка за сдачу задач из листков, О_колл — оценка за коллоквиум и O_сем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

O_{итоговая} = 0,75 * O_{накопленная} + 0,25 * О_экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

Если O_{накопленная} > 10, то в качестве итоговой оценки автоматом выставляется 10.

Краткое содержание лекций

1-2 модули

Лекция 1 (7.09.2015). Арифметические n-мерные векторы. Арифметическое n-мерное пространство. Операции над n-мерными векторами: сложение, умножение на скаляр, скалярное произведение. Свойства этих операций. Длина вектора. Угол между векторами.

Лекция 2 (14.09.2015). Неравенство Коши. Неравенство треугольника. Линейные функции и линейные уравнения. Линейные многообразия, примеры. Матрицы. Операции над матрицами: сложение, умножение на скаляр, транспонирование и умножение.

Лекция 3 (21.09.2015). Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, транспонирования, умножения. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональная матрица. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. След квадратной матрицы и его свойства.

Лекция 4 (28.09.2015). Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные, несовместные, определённые и неопределённые системы линейных уравнений. Определители второго порядка. Критерий определённости системы двух линейных уравнений от двух неизвестных, формулы Крамера. Определители третьего порядка. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Общая формула для определителя произвольного порядка.

Лекция 5 (5.10.2015). Произведение подстановок. Ассоциативность умножения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении слева на транспозицию. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число, при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов), при перестановке двух строк (столбцов).

Лекция 6 (12.10.2015). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Лемма о разложении подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Кососимметрические и полилинейные функции.

Лекция 7 (19.10.2015). Теорема о полилинейной кососимметрической функции от строк (столбцов) квадратной матрицы. Аксиоматическое определение определителя. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу).

Лекция 8 (2.11.2015). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Явная формула для обратной матрицы. Критерий невырожденности квадратной матрицы, следствия. Признак определённости системы линейных уравнений с квадратной матрицей. Формулы Крамера. Элементарные преобразования строк матрицы, их реализация при помощи умножения матриц. Обратимость элементарных преобразований строк.

Лекция 9 (9.11.2015). Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы линейных уравнений. Неизменность множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях её расширенной матрицы. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений.

Лекция 10 (16.11.2015). Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множествами решений системы линейных уравнений и соответствующей ей однородной системы. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств.

Лекция 11 (23.11.2015). Множество решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация векторов, линейная оболочка подмножества векторного пространства. Конечномерные векторные пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства.

Лекция 12 (30.11.2015). Базис векторного пространства как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Число элементов в базисе векторного пространства: независимость от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый.

Лекция 13 (7.12.2015). Инвариантность ранга матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового ранга матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера–Капелли. Критерий определённости совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий определённости системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя.

Лекция 14 (14.12.2015). Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Ортогональное дополнение подмножества n-мерного арифметического пространства. Равенство ортогональных дополнений подмножества и его линейной оболочки. Размерность ортогонального дополнения подпространства. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Реализация подпространств в арифметическом n-мерном пространстве как множеств решений однородных систем линейных уравнений. Линейные многообразия в арифметическом n-мерном пространстве как сдвиги подпространств. Размерность линейного многообразия.

3-4 модули

Лекция 15 (11.01.2016). Понятие поля. Простейшие примеры. Поле комплексных чисел, его построение. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль и аргумент комплексного числа, его тригонометрическая форма.

Лекция 16 (18.01.2016). Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства).

Лекция 17 (25.01.2016). Овеществление комплексного векторного пространства и комплексификация действительного векторного пространства; связь между соответствующими размерностями в конечномерном случае. Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Прямая сумма двух подпространств. Описание всех базисов n-мерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат.

Лекция 18 (29.01.2016). Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому. Формула преобразования координат при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

Дополнение к лекции 18: Отношения эквивалентности

Лекция 19 (1.02.2016). Доказательство критерия изоморфности двух конечномерных векторных пространств. Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Матрица композиции двух линейных отображений. Ядро и образ линейного отображения.

Лекция 20 (8.02.2016). Ядро и образ линейного отображения — подпространства. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Оценки на ранг произведения двух матриц. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Линейные операторы (линейные преобразования). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Формула изменения матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.

Лекция 21 (15.02.2016). Инвариантность определителя матрицы линейного оператора относительно замены базиса. Критерии обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя. Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости в терминах существования базиса из собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению. Характеристический многочлен линейного оператора.

Лекция 22 (22.02.2016). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Разложимость многочлена с комплексными коэффициентами в произведение линейных множителей. Кратность корня многочлена. Характеризация собственных значений линейного оператора в терминах его характеристического многочлена. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве. Геометрическая и алгебраическая кратности собственного значения линейного оператора, соотношение между ними. Сумма и прямая сумма нескольких подпространств векторного пространства. Характеризации прямой суммы.

Лекция 23 (29.02.2016). Сумма собственных подпространств линейного оператора, отвечающих различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений. Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве. Корневые векторы для линейного оператора, высота корневого вектора. Корневые подпространства.

Лекция 24 (14.03.2016). Критерий нетривиальности корневого подпространства линейного оператора. Инвариантность корневого подпространства. Характеристический многочлен ограничения линейного оператора на корневое подпространство. Равенство размерности корневого подпространства и алгебраической кратности соответствующего собственного значения. Сумма корневых подпространств линейного оператора, отвечающих различным собственным значениям. Теорема о разложении векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора. Жордановы клетки.

Лекция 25 (21.03.2016). Теорема о жордановой нормальной форме линейного оператора (формулировка). Линейные функции на векторном пространстве. Примеры. Двойственное (сопряжённое) пространство. Двойственный базис. Билинейные функции на векторном пространстве. Примеры.

Лекция 26 (6.04.2016). Матрица билинейной функции по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной функции с заданной матрицей. Правило преобразования матрицы билинейной функции при переходе к другому базису. Ранг билинейной функции. Симметричные билинейные функции, их характеризация в терминах матриц. Квадратичные формы. Соответствие между симметричными билинейными функциями и квадратичными формами. Симметризация билинейной функции и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Нормальный вид квадратичной формы.

Лекция 27 (13.04.2016). Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа. Приведение квадратичной формы над полем R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над полем R. Закон инерции. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над полем R. Примеры.

Лекция 28 (20.04.2016). Метод ортогонализации Грама-Шмидта для симметричной билинейной функции. Теорема Якоби. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности.

Лекция 29 (27.04.2016). Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора вдоль подпространства. Ортогональные и ортонормированные базисы евклидова пространства. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве. Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама.

Лекция 30 (11.05.2016). n-мерный параллелепипед. Объём n-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве, формулы для его нахождения. Изоморфизм евклидовых пространств, изоморфные евклидовы пространства. Критерий изоморфности двух конечномерных евклидовых пространств. Билинейные функции, связанные с линейным оператором в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его существование и единственность. Самосопряжённые (симметрические) операторы в евклидовом пространстве. Самосопряжённость оператора ортогонального проектирования на подпространство.

Лекция 31 (18.05.2016). Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы к главным осям. Ортогональные линейные операторы, пять эквивалентных условий. Описание ортогональных операторов в одномерном и двумерном евклидовых пространствах. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно ортогонального оператора. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора.

Лекция 32 (25.05.2016). Доказательство теоремы о каноническом виде ортогонального оператора. Классификация ортогональных операторов в трёхмерном евклидовом пространстве. Движения евклидова пространства и их классификация. Обзор теории полуторалинейных форм и эрмитовых пространств.

Лекция 33 (1.06.2016). Ориентация в действительном векторном пространстве. Ориентированный объём. Трёхмерное евклидово пространство. Смешанное произведение, его выражение в координатах, критерий компланарности трёх векторов. Векторное произведение, его связь со смешанным произведением, антикоммутативность и билинейность, выражение в координатах, критерий коллинеарности двух векторов. Прямые на плоскости: различные способы задания. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в пространстве: различные способы задания. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.

Лекция 34 (8.06.2016). Прямые в трёхмерном пространстве: различные способы задания. Уравнения прямой, проходящей через две различные точки. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Кривые второго порядка на плоскости. Метрическая классификация кривых второго порядка.

Лекция 35 (15.06.2016). Эллипс, гипербола, парабола: определения, канонические уравнения и основные свойства. Поверхности второго порядка в трёхмерном пространстве. Метрическая классификация поверхностей второго порядка (обзор).

Листки с задачами

Правила сдачи и оценивания листков:

• каждый пункт в листке считается отдельной задачей
• сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
• результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матрицы и операции над ними

Крайние сроки сдачи листка 1:

Группа	153	154	155	156	157	158
Срок	13 октября	12 октября	16 октября	13 октября	15 октября	15 октября

Оценка за листок 1 вычисляется по формуле 10*<число сданных задач>/<общее число задач без звёздочки>.

Задачи со звёздочкой разрешается сдавать ещё в течение недели после официального крайнего срока.

Листок 2. Определители

Оценка за листок 2 вычисляется по формуле 10*<число сданных задач>/15.

Крайние сроки сдачи листка 2:

Группа	153	154	155	156	157	158
Срок	17 ноября	16 ноября	18 ноября	17 ноября	19 ноября	19 ноября

Листок 3. Матрицы и векторные пространства

Оценка за листок 3 вычисляется по формуле 10*<число сданных задач>/15.

Крайние сроки сдачи листка 3:

Группа	153	154	155	156	157	158
Срок	15 декабря	14 декабря	16 декабря	15 декабря	17 декабря	17 декабря

Листок 4. Подпространства, линейные отображения и факторпространства

Оценка за листок 4 вычисляется по формуле 10*<число сданных задач>/15.

Крайние сроки сдачи листка 4:

Группа	153	154	155	156	157	158
Срок	1 марта	29 февраля	24 февраля	1 марта	25 февраля	25 февраля

Листок 5. Линейные операторы

Оценка за листок 5 вычисляется по формуле 10*<число сданных задач>/14,5.

Крайние сроки сдачи листка 5:

Группа	153	154-1	154-2	155	156	157	158
Срок	19 апреля	20 апреля	18 апреля	20 апреля	19 апреля	21 апреля	21 апреля

Листок 6. Билинейные функции, квадратичные формы, евклидовы пространства

Оценка за листок 6 вычисляется по формуле 10*<число сданных задач>/12.

Крайние сроки сдачи листка 6:

Группа	153	154	155	156	157	158
Срок	7 июня	8 июня	8 июня	7 июня	9 июня	9 июня

Индивидуальные домашние задания

Основные критерии проверки первого ИДЗ:

• Если метод решения верный и решение доведено до конца, но по ходу допущена ровно одна (не больше!) арифметическая ошибка или ошибка по невнимательности, то за это ставится 0,5.
• Если решение отличается от полного небольшим недочётом, то оценка снижается до 0,8.
• В третьей задаче перемножение подстановок не в том порядке приравнивается к арифметической ошибке.

Контрольные работы

2-й модуль

Контрольная работа состоялась 25 ноября в соответствии со следующим графиком:

• группы 153, 155-158: время 15:10--16:30, аудитория 622
• группа 154: время 16:40--18:00, аудитория 509

Условия задач из контрольной

Основные критерии оценки решений задач из контрольной

Ниже приведены задачи, которые рекомендовалось прорешивать для подготовки к контрольной. Задачи рассортированы по темам, в скобках указаны номера из задачника Проскурякова.

• Действия с матрицами [790, 797, 801, 805, 822, 824, 836, 937, 863, 866]
• Подстановки [125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184]
• Определители 2-го и 3-го порядка [1, 8, 43, 59, 71, 112, 114]
• Определители произвольного порядка: определение [188, 197, 200]
• Вычисление определителей произвольного порядка [257, 279, 316]
• Решение систем линейных уравнений [22, 74, 82, 84, 87, 89, 567, 578, 580, 585, 586]

4-й модуль

Контрольная работа состоялась 20 мая в 15:10 в аудитории 622.

Условия задач из контрольной

Для подготовки к контрольной рекомендовалось прорешивать задачи из приведённого ниже списка. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" -- по задачнику Кострикина.

• Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7

• Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства: П 1317, 1318, 1320--1322; К 35.14, 35.15

• Линейные отображения и их матрицы: П 1434--1438, 1441--1444, 1445, 1446, 1449, 1450; К 39.15, 39.16

• Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения: К 39.5; задача 5(б) из ИДЗ-3

• Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису: П 1452--1454; К 39.19--39.21

• Собственные векторы и собственные значения линейных операторов: П 1465--1474; К 40.15

• Диагонализуемость линейных операторов: П 1479--1483; К 40.16

• Билинейные функции, квадратичные формы и их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10

• Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175--1186; К 38.18(а--г)

• Исследование квадратичных форм на положительную определённость: П 1212--1216; К 38.11(а--г)

• Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357--1363; К 43.7(а--г), 43.15(а--в)

• Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370--1372; К 43.19(а--в)

• Расстояние от точки до линейного многообразия: П 1374; К 43.21(а--г), 51.7

На контрольной было разрешено иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Экзамен 2-й модуль

Формат проведения экзамена

Экзамен устный (в форме собеседования) и состоит из двух этапов.

Этап 1. Сначала студент вытягивает три бумажки с определениями. На запись определений даётся пять минут, после чего принимающий проверяет результат.

Если все три определения написаны правильно, то студент допускается к этапу 2.

Если правильно написано не больше одного определения, то экзамен завершается с оценкой 0.

Если правильно написаны два определения из трёх, то студенту разрешается вытянуть ещё две бумажки с определениями, на написание которых даётся ещё пять минут. Если оба определения написаны правильно, то студент допускается к этапу 2. В противном случае экзамен завершается с оценкой 0.

Этап 2. Студент вытягивает билет, который состоит из двух вопросов. На подготовку (письменных) ответов на вопросы билета даётся 40 минут. После этого начинается разговор с принимающим. В ходе разговора могут задаваться дополнительные вопросы по программе курса и даваться задачи. По итогам разговора выставляется оценка.

Если результат разговора с принимающим неудовлетворительный, то в качестве оценки за экзамен выставляется 0. Если результат удовлетворительный, то выставляется оценка от 4 до 10. Оценки 1, 2, 3 не используются.

Материалы для подготовки к экзамену

Ниже приводятся окончательные версии списка определений и списка вопросов к экзамену.

Список определений к экзамену

Список вопросов к экзамену

Коллоквиум 4-й модуль

Коллоквиум состоялся 3 и 4 июня.

Материалы для подготовки к коллоквиуму

Список определений и формулировок к коллоквиуму

Список вопросов к коллоквиуму

Экзамен 4-й модуль

Экзамен в 4-м модуле состоялся 20 июня в 10:30 в аудитории 622 и был проведён в форме письменной работы.

Условия задач с экзамена

Для подготовки к экзамену рекомендовалось прорешивать задачи из приведённого ниже списка. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким и Крицкова.

• Самосопряжённые линейные операторы, приведение квадратичной формы к главным осям: К 45.4, 45.19, П 1243--1246, 1248--1262, 1585, 1586

• Ортогональные линейные операторы: К 46.6, П 1571--1577

• Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28--26.37, 26.39--26.47, 26.50, 27.34, 27.39--27.42, 31.1--31.3, 31.5--31.8, 31.21--31.25, 31.27--31.32

• Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 27.38, 31.13--31.15, 31.18, 31.19

• Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 32.28--32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38--32.40

• Определение канонической системы координат и типа кривой второго порядка: КК 35.24, 35.27

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты сдачи задач из листков

151	152	153	154	155	156	157	158

Результаты проверки ИДЗ

151	152	153	154	155	156	157	158

Результаты 1-й контрольной работы на основном потоке

153	154	155	156	157	158

3-4 модули

Результаты сдачи задач из листков

151	152	153	154	155	156	157	158

Результаты проверки ИДЗ

151	152	153	154	155	156	157	158

Результаты 2-й контрольной работы на основном потоке

153	154	155	156	157	158

Накопленные оценки в 4-м модуле на основном потоке

153	154	155	156	157	158

Кстати

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

Литература

Учебники

• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
• И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)
• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)

Сборники задач

• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.