Версия 12:36, 23 февраля 2024

Преподаватели

Дима Трушин

Расписание занятий

Занятия по вторникам с 11:10 до 14:20 очно.

Записи лекций доступны по ссылке.

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (16.01.2024). Топологические пространства, открытые и замкнутые множества. Классификация открытых на прямой. Тополоические пространства из 2 элементов. Хаусдорфовость. База топологии, база окрестностей точки. Минимальная топология порожденная семейством. Метрические пространства и порожденная метрикой топология, база из шаров. Непрерывные отображения (локальная непрерывность и глобальная непрерывность). Свойства линейной связности. Свойство связности. Связность отрезка. Гомеоморфизм. Примеры гомеоморфных и негомеоморфных пространств. Подпространство и фактор пространство топологического пространства. Дизъюнктное объединение и произведение топологических пространств.

Лекция 2 (23.01.2024). Определение топологического многообразия.

Лекция 3 (30.01.2024). Структура многообразия на матрицах фиксированного ранга. Примеры нехаусдорфовой склейки. Пример отсутствия счетной базы. Гладкое многообразие, понятие карты и атласа. Разные степени гладкости. Стандартный атлас в R^n. Пример нестандартной гладкой структуры в R. Примеры гладких структур на S^n, матрицах, невырожденных матрицах, матрицах фиксированного ранга. Гладкие отображения, независимость гладкости в точке от выбора координатных окрестностей. Понятие диффеоморфизма (изоморфизм для гладких многообразий). Ранг гладкого отображения в точке и его корректность (независимость от выбора координат).

Лекция 4 (06.02.2024). Теорема о неявной функции. Классификация отображений постоянного ранга. Погружения и вложения. Примеры: неинъективное погружение, инъективное погружение, но не вложение, вложение. Понятие подмногообразия. Локальное продолжение функций с подмногообразия. Единственность гладкой структуры на подмногообразии.

Лекция 5 (13.02.2024). Разбор ДЗ.

Лекция 6 (20.02.2024). Касательное пространство, три конструкции: в координатах, через скорости кривых и через дифференцирования в точке (последнее в бесконечно гладком и аналитическом случае). Дифференциал отображения (на всех трех языках). Дифференциал функции, базисы в косательном и кокосательном пространстве индуцированные системой координат. Гладкие векторные поля и их связь с дифференцированиями функций (в бесконечно гладком и аналитическом случае).

ДЗ

Дедлайны по ДЗ через неделю после выдачи, перед началом следующей лекции. На лекции проводится разбор ДЗ.

Решённые задачи надо отметить в табличке.

Ссылки

Группа в Telegram

Лекции с воркшопа в Линце по теории гравитации и света. Тут очень хорошие лекции по дифгему, которые очень близки к содержанию курса, но будут и отличия.