Введение в дифференциальную геометрию 23/24
Преподаватели
Расписание занятий
Занятия по вторникам с 11:10 до 14:20 очно.
Записи лекций доступны по ссылке.
Краткое содержание лекций
Лекция 1 (16.01.2024). Топологические пространства, открытые и замкнутые множества. Классификация открытых на прямой. Тополоические пространства из 2 элементов. Хаусдорфовость. База топологии, база окрестностей точки. Минимальная топология порожденная семейством. Метрические пространства и порожденная метрикой топология, база из шаров. Непрерывные отображения (локальная непрерывность и глобальная непрерывность). Свойства линейной связности. Свойство связности. Связность отрезка. Гомеоморфизм. Примеры гомеоморфных и негомеоморфных пространств. Подпространство и фактор пространство топологического пространства. Дизъюнктное объединение и произведение топологических пространств.
Лекция 2 (23.01.2024). Определение топологического многообразия.
Лекция 3 (30.01.2024). Структура многообразия на матрицах фиксированного ранга. Примеры нехаусдорфовой склейки. Пример отсутствия счетной базы. Гладкое многообразие, понятие карты и атласа. Разные степени гладкости. Стандартный атлас в R^n. Пример нестандартной гладкой структуры в R. Примеры гладких структур на S^n, матрицах, невырожденных матрицах, матрицах фиксированного ранга. Гладкие отображения, независимость гладкости в точке от выбора координатных окрестностей. Понятие диффеоморфизма (изоморфизм для гладких многообразий). Ранг гладкого отображения в точке и его корректность (независимость от выбора координат).
Лекция 4 (06.02.2024). Теорема о неявной функции. Классификация отображений постоянного ранга. Погружения и вложения. Примеры: неинъективное погружение, инъективное погружение, но не вложение, вложение. Понятие подмногообразия. Локальное продолжение функций с подмногообразия. Единственность гладкой структуры на подмногообразии.
Лекция 5 (13.02.2024). Разбор ДЗ.
Лекция 6 (20.02.2024). Касательное пространство, три конструкции: в координатах, через скорости кривых и через дифференцирования в точке (последнее в бесконечно гладком и аналитическом случае). Дифференциал отображения (на всех трех языках). Дифференциал функции, базисы в косательном и кокосательном пространстве индуцированные системой координат. Гладкие векторные поля и их связь с дифференцированиями функций (в бесконечно гладком и аналитическом случае).
Лекция 7 (27.02.2024). Объяснение необходимости тензорных полей. Определение тензорного поля и его примеры. Гладкость тензорнонго поля. Поточечные операции над тензорными полями: структура векторного простанства, тензорное умножение, свертка. Примеры операций.
Лекция 8 (05.03.2024). Связаность (ковариантная производная). Аксиоматическое определение связности (в смысле дифференциала). Описание связности в карте, символы Кристофеля. Условие согласованности символов Кристофеля между картами. Аналоги частных производных и производная по направлению. Пример символов Кристофеля для полярной системы координат (при условии, что в исходной системе символы Кристофеля нулевые). Римановы многообразия и их отображения. Примеры. Понятие длины пути. Задание метрики: 1) Вложение в R^n, 2) Склейка метрик через разбиение единицы.
Лекция 9 (12.03.2024). Поднятие и опускание индексов. Свертка любых индексов. Тензор курчени, симметрическая связность, Риманова связность. Явные формулы для Римановой связности. Евклидовы координаты (два понятия). Параллельный перенос. Понятие геодезических.
ДЗ
Дедлайны по ДЗ через неделю после выдачи, перед началом следующей лекции. На лекции проводится разбор ДЗ.
| ДЗ-1 | ссылка |
| ДЗ-2 | ссылка |
| ДЗ-3 | ссылка |
| ДЗ-4 | ссылка |
| ДЗ-6 | ссылка |
| ДЗ-8 | ссылка |
| ДЗ-9 | ссылка |
Решённые задачи надо отметить в табличке.
Ссылки
Группа в Telegram
Лекции с воркшопа в Линце по теории гравитации и света. Тут очень хорошие лекции по дифгему, которые очень близки к содержанию курса, но будут и отличия.
