Алгебра 2015/2016

Цель этого небольшого курса — познакомить слушателей с основными структурами современной алгебры: группами, кольцами, полями. Мы докажем базовые факты об этих структурах и продемонстрируем их возможные приложения. Сдавшие этот курс смогут, среди прочего, перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные группы из 100 элементов, найти сумму кубов корней данного многочлена, доказать, что многочлен от многих переменных однозначно раскладывается на простые множители, и объяснить, почему не существует поля из 6 элементов.

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ151	БПМИ152	БПМИ153	БПМИ154	БПМИ155	БПМИ156	БПМИ157	БПМИ158
Лектор	Иван Владимирович Аржанцев		Роман Сергеевич Авдеев
Семинарист	Иван Владимирович Аржанцев	Сергей Александрович Гайфуллин	Полина Юрьевна Котенкова	Роман Сергеевич Авдеев	Полина Юрьевна Котенкова	Сергей Александрович Гайфуллин	Станислав Николаевич Федотов
Ассистент	Максим Каледин	Андрей Волгин	Дарья Алексеева	Полина Святокум	Павел Ковалёв	Лев Хотов	Алексей Самбуров	Мария Новикова

Расписание консультаций

	Преподаватель/ассистент	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница
1	Иван Владимирович Аржанцев		17:00–18:30, каб. 603
2	Роман Сергеевич Авдеев	15:40–17:40, ауд. 618
3	Полина Юрьевна Котенкова			9:00–10:20, ауд. 313
4	Сергей Александрович Гайфуллин		15:30–17:30, каб. 607
5	Станислав Николаевич Федотов				16:00–18:00
6	Максим Каледин					15:00, ауд. 511
7	Андрей Волгин		16:30–18:00, ауд. 623
8	Дарья Алексеева	15:10–16:30, ауд. 313
9	Полина Святокум	10:30–11:50, ауд. 313
10	Павел Ковалёв				13:40–15:00, ауд. 310
11	Лев Хотов					12:10–13:30, ауд. 313
12	Алексей Самбуров			15:10–16:30, ауд. 302
13	Мария Новикова					15:10–16:30, ауд. 313

Формы контроля знаний студентов

Порядок формирования оценок

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

O_{накопленная} = 0,3 * O_дз1 + 0,3 * O_дз2 + 0,4 * O_к/р,

где O_дз1 — оценка за первое домашнее задание, O_дз2 — оценка за второе домашнее задание, O_к/р — оценка за контрольную работу.

Итоговая оценка выражается через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:

O_{итоговая} = 0,5 * O_{накопленная} + 0,5 * О_экз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

Информация для пилотного потока

Содержание лекций

В этом разделе даются ссылки на конспекты лекций аналогичного прошлогоднего курса. Отличия по содержанию минимальны.

Лекция 1 (6.04.2016). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия.

Лекция 2 (13.04.2016). Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.

Лекция 3 (20.04.2016). Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.

Лекция 4 (27.04.2016). Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы.

Лекция 5 (11.05.2016). Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Теорема Кэли

Листки с задачами

Задачи к лекции 1

Задачи к лекции 2

Задачи к лекции 3

Задачи к лекции 4

Задачи к лекции 5

Информация для основного потока

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (4.04.2016). Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы. Циклические группы. Левые и правые смежные классы по подгруппе. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа.

Лекция 2 (11.04.2016). Следствия из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Ядро и образ гомоморфизма. Теорема о гомоморфизме. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп.

Лекция 3 (18.04.2016). Теорема о факторизации по сомножителям. Разложение циклической группы. Конечно порождённые абелевы группы. Свободные конечно порождённые абелевы группы. Независимость ранга свободной абелевой группы от выбора базиса. Описание всех базисов свободной абелевой группы в терминах одного базиса и матриц перехода. Свободность подгрупп свободных абелевых групп.

Лекция 4 (25.04.2016). Теорема о согласованных базисах. Вычисление факторгруппы свободной абелевой группы по подгруппе. Целочисленные элементарные преобразования строк и столбцов целочисленной матрицы. Теорема о приведении целочисленной матрицы к диагональному виду при помощи целочисленных элементарных преобразований строк и столбцов. Доказательство теоремы о согласованных базисах. Примарные абелевы группы. Строение конечно порождённых абелевых групп: теорема о разложении в прямую сумму бесконечных и примарных циклических групп. Существование разложения и единственность числа бесконечных слагаемых.

Лекция 5 (29.04.2016). Единственность числа и порядков примарных циклических слагаемых в разложении конечно порождённой абелевой группы в прямую сумму бесконечных и примарных циклических групп. Экспонента абелевой группы. Критерий цикличности конечной абелевой группы. Действия групп на множествах: определение и задание при помощи гомоморфизма в группу преобразований множества. Орбита точки. Разбиение множества в объединение попарно непересекающихся орбит. Стабилизатор точки. Связь между числом элементов в орбите и порядком стабилизатора для действия конечной группы.

Листки с задачами

Задачи к лекции 1

Задачи к лекции 2

Задачи к лекции 3

Задачи к лекции 4

Задачи к лекции 5

Задачи к лекции 6

Ведомости текущего контроля

151	152	153	154	155	156	157	158

Литература

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.