Алгебра 2015/2016
Цель этого небольшого курса — познакомить слушателей с основными структурами современной алгебры: группами, кольцами, полями. Мы докажем базовые факты об этих структурах и продемонстрируем их возможные приложения. Сдавшие этот курс смогут, среди прочего, перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные группы из 100 элементов, найти сумму кубов корней данного многочлена, доказать, что многочлен от многих переменных однозначно раскладывается на простые множители, и объяснить, почему не существует поля из 6 элементов.
Содержание
Преподаватели и учебные ассистенты
| Группа | БПМИ151 | БПМИ152 | БПМИ153 | БПМИ154 | БПМИ155 | БПМИ156 | БПМИ157 | БПМИ158 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Лектор | Иван Владимирович Аржанцев | Роман Сергеевич Авдеев | ||||||
| Семинарист | Иван Владимирович Аржанцев | Сергей Александрович Гайфуллин | Полина Юрьевна Котенкова | Роман Сергеевич Авдеев | Полина Юрьевна Котенкова | Сергей Александрович Гайфуллин | Станислав Николаевич Федотов | |
| Ассистент | Максим Каледин | Андрей Волгин | Дарья Алексеева | Полина Святокум | Павел Ковалёв | Лев Хотов | Алексей Самбуров | Мария Новикова |
Расписание консультаций
| Преподаватель/ассистент | понедельник | вторник | среда | четверг | пятница | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| |
Иван Владимирович Аржанцев | 17:00–18:30, каб. 603 | ||||
| |
Роман Сергеевич Авдеев | 15:40–17:40, ауд. 618 | ||||
| |
Полина Юрьевна Котенкова | 9:00–10:20, ауд. 313 | ||||
| |
Сергей Александрович Гайфуллин | 15:30–17:30, каб. 607 | ||||
| |
Станислав Николаевич Федотов | 16:00–18:00 | ||||
| |
Максим Каледин | 15:00, ауд. 511 | ||||
| |
Андрей Волгин | 16:30–18:00, ауд. 623 | ||||
| |
Дарья Алексеева | 15:10–16:30, ауд. 313 | ||||
| |
Полина Святокум | 10:30–11:50, ауд. 313 | ||||
| 10 | Павел Ковалёв | 13:40–15:00, ауд. 310 | ||||
| 11 | Лев Хотов | 12:10–13:30, ауд. 313 | ||||
| 12 | Алексей Самбуров | 15:10–16:30, ауд. 302 | ||||
| 13 | Мария Новикова | 15:10–16:30, ауд. 313 |
Формы контроля знаний студентов
Порядок формирования оценок
Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:
Oнакопленная = 0,3 * Oдз1 + 0,3 * Oдз2 + 0,4 * Oк/р,
где Oдз1 — оценка за первое домашнее задание, Oдз2 — оценка за второе домашнее задание, Oк/р — оценка за контрольную работу.
Итоговая оценка выражается через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:
Oитоговая = 0,5 * Oнакопленная + 0,5 * Оэкз.
Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.
Информация для пилотного потока
Содержание лекций
В этом разделе даются ссылки на конспекты лекций аналогичного прошлогоднего курса. Отличия по содержанию минимальны.
Лекция 1 (6.04.2016). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия.
Лекция 2 (13.04.2016). Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.
Лекция 3 (20.04.2016). Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.
Лекция 4 (27.04.2016). Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы.
Лекция 5 (11.05.2016). Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Теорема Кэли.
Лекция 6 (18.05.2016). Кольца. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Простота алгебры матриц над полем.
Лекция 7 (25.05.2016). Евклидовы кольца, кольца главных идеалов и факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов от многих переменных
Лекция 8 (1.06.2016). Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Теорема Виета. Дискриминант многочлена
Лекция 9 (8.06.2016). Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность
Лекция 10 (10.06.2016). Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырёх элементов. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.
Листки с задачами
Контрольная работа
Письменная контрольная работа была проведена 15 июня с 10:30 до 12:00. Работа состояла из шести задач стоимостью по 2 балла каждая.
На контрольной можно было пользоваться любыми материалами на бумажных носителях. Использование электронных устройств (кроме тех, у которых единственная функция — калькулятор) не допускалось.
Типы задач на контрольной работе
- Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45]
- Факторгруппы свободных абелевых групп [60.52, 60.53, 60.54]
- Орбиты и стабилизаторы для действий групп на множествах [57.1, 57.2, 57.3, 57.9]
- Симметрические многочлены и теорема Виета [31.2, 31.3. 31.4, 31.9, 31.10, 31.25, 31.26]
- Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.5, 25.7]
- Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, 67.13]
Для каждого типа в скобках указаны номера задач из Сборника задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина (М.: МЦНМО, 2009), которые рекомендовалось решать для тренировки.
Экзамен
Экзамен был устный и состоялся 23 июня. Каждый билет включал в себя по два вопроса из программы курса.
Информация для основного потока
Краткое содержание лекций
Лекция 1 (4.04.2016). Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы. Циклические группы. Левые и правые смежные классы по подгруппе. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа.
Лекция 2 (11.04.2016). Следствия из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Ядро и образ гомоморфизма. Теорема о гомоморфизме. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп.
Лекция 3 (18.04.2016). Теорема о факторизации по сомножителям. Разложение циклической группы. Конечно порождённые абелевы группы. Свободные конечно порождённые абелевы группы. Независимость ранга свободной абелевой группы от выбора базиса. Описание всех базисов свободной абелевой группы в терминах одного базиса и матриц перехода. Свободность подгрупп свободных абелевых групп.
Лекция 4 (25.04.2016). Теорема о согласованных базисах. Вычисление факторгруппы свободной абелевой группы по подгруппе. Целочисленные элементарные преобразования строк и столбцов целочисленной матрицы. Теорема о приведении целочисленной матрицы к диагональному виду при помощи целочисленных элементарных преобразований строк и столбцов. Доказательство теоремы о согласованных базисах. Примарные абелевы группы. Строение конечно порождённых абелевых групп: теорема о разложении в прямую сумму бесконечных и примарных циклических групп. Существование разложения и единственность числа бесконечных слагаемых.
Лекция 5 (29.04.2016). Единственность числа и порядков примарных циклических слагаемых в разложении конечно порождённой абелевой группы в прямую сумму бесконечных и примарных циклических групп. Экспонента абелевой группы. Критерий цикличности конечной абелевой группы. Действия групп на множествах: определение и задание при помощи гомоморфизма в группу преобразований множества. Орбита точки. Разбиение множества в объединение попарно непересекающихся орбит. Стабилизатор точки. Связь между числом элементов в орбите и порядком стабилизатора для действия конечной группы.
Лекция 6 (16.05.2016). Три действия группы на себе: умножениями слева, умножениями справа и сопряжениями. Классы сопряжённости. Теорема Кэли. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Алгебры над полем, размерность алгебры. Подкольца, подполя, подалгебры, гомоморфизмы, изоморфизмы. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождённые подмножеством коммутативного кольца.
Лекция 7 (23.05.2016). Факторкольцо кольца по идеалу. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Делимость в коммутативных кольцах без делителей нуля. Ассоциированные элементы. Евклидовы кольца. Кольца главных идеалов. Теорема о том, что всякое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов. Наибольший общий делитель двух элементов. Существование наибольшего общего делителя для двух элементов a и b евклидова кольца и его линейная выразимость через a и b. Простые элементы. Факториальные кольца. Факториальность евклидовых колец.
Лекция 8 (27.05.2016). Симметрические многочлены. Примеры. Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Старший член симметрического многочлена. Лемма об одночлене от элементарных симметрических многочленов, имеющем заданный старший член. Доказательство основной теоремы о симметрических многочленах. Теорема Виета. Дискриминант многочлена от одной переменной.
Лекция 9 (30.05.2016). Доказательство представимости дискриминанта в виде многочлена от коэффициентов исходного многочлена. Поля. Примеры. Характеристика поля. Простое подполе. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства.
Лекция 10 (6.06.2016). Поле, порождённое алгебраическим элементом. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен имеет корень. Поле разложения многочлена. Конечные поля. Порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Существование и единственность конечного поля, порядок которого — степень простого числа.
Листки с задачами
Контрольная работа
Письменная контрольная работа состоялась 15 июня в 16:40 в аудиториях 317 и 509. На контрольной можно было пользоваться любыми материалами на бумажных носителях. Использование электронных устройств (кроме тех, у которых единственная функция — калькулятор) было запрещено.
Типы задач на контрольной работе
- Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45]
- Факторгруппы свободных абелевых групп [60.52, 60.53, 60.54]
- Орбиты и стабилизаторы для действий групп на множествах [57.1, 57.2, 57.3, 57.9]
- Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R и C [27.1, 27.2]
- Симметрические многочлены и теорема Виета [31.2, 31.3. 31.4, 31.9, 31.10, 31.25, 31.26]
- Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, 67.13]
Для каждого типа в скобках указаны номера задач из Сборника задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина (М.: МЦНМО, 2009), которые рекомендовалось решать для тренировки.
Экзамен
Экзамен был устный.
Ведомости текущего контроля
| 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 |
|---|
Литература
- Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
- Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
