Алгебра на ПМИ 2022/2023 (основной поток)
Telegram-канал: https://t.me/Alg_AMI_22_23_osn
Содержание
Преподаватели и учебные ассистенты
| Группа | БПМИ225 | БПМИ226 | БПМИ227 | БПМИ228 | БПМИ229 | БПМИ2210 | БПМИ2211 | БПМИ2212 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Лектор | Роман Авдеев | |||||||
| Семинарист | Роман Авдеев | Артём Максаев | Антон Шафаревич | Виктор Лопаткин | Михаил Хрыстик | Сергей Гайфуллин | ||
| Ассистент | Алина Августёнок | Тагир Хамитов | Тимур Лиджиев | Георгий Тарасов | Мария Марченко | Демушкин Игорь | Амина Каракотова | Родион Черномордин |
Порядок формирования оценок
Итоговая оценка вычисляется следующим образом:
Oитоговая = 0,3 * Одз + 0,2*Ок/р + 0,5*Оэкз.
Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.
Краткое содержание лекций
Лекция 1 (5.04.2023) [видеозапись]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы. Циклические группы.
Лекция 2 (7.04.2023) [видеозапись]. Левые (правые) смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые (правые) смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе.
Лекция 3 (12.04.2023) [видеозапись]. Гомоморфизмы групп, примеры, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Отношение изоморфности на множестве всех групп. Ядро и образ гомоморфизма групп, их свойства. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры.
Лекция 4 (19.04.2023) [видеозапись]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Начало доказательства единственности.
Лекция 5 (21.04.2023) [видеозапись]. Завершение доказательства единственности в теореме о разложении конечной абелевой группы. Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем.
Конспект, включающий в себя материал лекций про группы
Лекция 6 (26.04.2023) [видеозапись]. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем.
Лекция 7 (10.05.2023). Деление с остатком в кольце K[x]. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов.
Лекция 8 (12.05.2023). Факторкольцо K[x]/(h), его базис как векторного пространства над полем K. Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем. Присоединение корня неприводимого многочлена. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене.
Конспект, включающий в себя материал лекций про кольца
Листки с задачами
Домашние задания
Контрольная работа
Экзамен
Формат экзамена: устный
Ведомости текущего контроля
| 225 | 226 | 227 | 228 | 229 | 2210 | 2211 | 2212 |
|---|
Литература
- Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
- Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
- Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988.
- И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003.
