Версия 20:03, 1 февраля 2024

Преподаватели и учебные ассистенты

Консультации

Расписание консультаций

Вы можете посещать как консультации, организованные для вашей группы, так и консультации других групп, если не удаётся посещать свои.

Аттестация и оценки

2023/2024 учебный год 2 модуль

О1=0,22∙О_(Кр-1мод)+0,14∙О_(Дз-1 и 2 мод)+0,08∙О_(Сем)+0,56∙О_(Экз1)

Здесь О_(Сем) — оценка от 0 до 10 баллов, учитывающая регулярность посещения семинаров, активность на семинарах, в том числе решение задач у доски, и выполнение текущих домашних работ в 1-2 модулях. Оценки за домашние задания в 1 и 2 модулях, а также в 3 и 4 модулях вычисляются как среднее арифметическое О_(Дз-мод1(3)) и О_(Дз-мод2(4)). В конце второго и четвертого модуля проводятся письменные экзамены.

2023/2024 учебный год 4 модуль

О2=0,245∙О_(Кр-3мод)+0,245∙О_(Коллоквиум-4мод)+0,11∙О_(Сем)+0,1∙О_(Дз-3 и 4 мод)+0,3∙О_(Экз2)

Здесь О_(Сем) – оценка от 0 до 10 баллов, учитывающая посещение семинаров, активность на семинарах, в том числе решение задач у доски, и выполнение текущих домашних работ в 3-м и 4-м модулях. Оценки за домашние задания в 1 и 2 модулях, а также в 3 и 4 модулях вычисляются как среднее арифметическое О_(Дз-мод1(3)) и О_(Дз-мод2(4)). В конце второго и четвертого модуля проводятся письменные экзамены.

Прошедшие лекции

Лекция 1 (06.09.2023): Операции над матрицами: сложение, умножение на число, умножение. Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, умножения. Единичная матрица. Доказательство ассоциативности умножения матриц.

Лекция 2 (13.09.2023): Транспонирование и его свойства. Доказательство связи умножения и транспонирования. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид матрицы и канонический (улучшенный ступенчатый) вид матрицы. Теорема о методе Гаусса с доказательством.

Лекция 3 (20.09.2023): Системы линейных алгебраических уравнений и их связь с методом Гаусса. Перестановки и подстановки. Инверсии. Транспозиции. Знак и чётность перестановки и подстановки. Циклическая запись. Умножение подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Общая формула для определителя произвольного порядка. Вычисление определителя матрицы порядков 2 и 3. Свойства определителя, в частности: 1. определитель транспонированной матрицы с доказательством.

Лекция 4 (27.09.2023): Свойства определителя: 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точностью до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Разложение по строке. Дополняющий минор, алгебраическое дополнение.

Лекция 5 (04.10.2023): Свойства определителя: 9. Фальшивое разложение. 10. Определитель верхнетреугольной матрицы. 11. Определитель блочной матрицы. 12. Определитель произведения с доказательством. Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований и рекуррентных соотношений. Доказательство правила Крамера. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы с доказательством. Союзная матрица. Формула для вычисления обратной матрицы.

Лекция 6 (11.10.2023): Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Матричные уравнения двух типов двумя способами. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей, как частный случай. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы (с доказательством) и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки.

Лекция 7 (18.10.2023): Критерий линейной зависимости с доказательством. Теорема о базисном миноре с доказательством. Следствия теоремы о базисном миноре: теорема о ранге матрицы с доказательством (эквивалентность определений ранга), критерий невырожденности квадратной матрицы с доказательством.

Лекция 8 (01.11.2023): Вычисление ранга матрицы (элементарные преобразования и метод окаймляющих миноров). СЛАУ, свойства решений СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли с доказательством. Однородные СЛАУ, ФСР. Теорема о существовании ФСР, начало еë доказательства.

Лекция 9 (08.11.2023): Доказательство теоремы о существовании ФСР. Пример на нахождение ФСР. Критерий существования ненулевого решения у однородной квадратной системы линейных алгебраических уравнений. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений. Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Пример на решение неоднородной СЛАУ.

Лекция 10 (15.11.2023): Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической записи. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Изображение корней n-ой степени на комплексной плоскости.

Лекция 11 (22.11.2023): Формула Эйлера и её следствия. Формулировка "основной" теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени. Векторы в трехмерном пространстве. Коллинеарность, компланарность. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства).

Лекция 12 (29.11.2023): Базис в трехмерном пространстве. Ортонормированный базис. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость.

Лекция 13 (06.12.2023): Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Каноническое, векторные и параметрические уравнения плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости. Угол между прямыми. Презентация с лекции.

Лекция 14 (13.12.2023): Напоминание: пересечение, объединение и разность множеств, их декартово произведение. Отображения множеств: cюръективность и инъективность. Биекция. Образ и полный прообраз. Бинарное отношение на множестве. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Фактормножество. Бинарные операции. Ассоциативные и коммутативные бинарные операции. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа.

Лекция 15 (10.01.2024): Эквивалентное определение группы. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа. Абелева группа. Подгруппа. Собственная подгруппа. Пример: специальная линейная подгруппа. Критерий подгруппы с доказательством. Гомоморфизм. Примеры гомоморфизма: детерминант, логарифм. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента. Примеры. Циклическая группа. Примеры циклических групп: целые числа по сложению и группа вычетов по модулю n. Таблица Кэли для вычетов по модулю 4.

Лекция 16 (17.01.2024): Примеры циклических групп: комплексные корни n-й степени из единицы. Порядок группы. Утверждение о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Проверка неизоморфности группе Z_4.

Лекция 17 (24.01.2024): Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Примеры. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие 3 теоремы Лагранжа. Правый смежный класс. Определение нормальной подгруппы. Примеры групп: группа диэдра. Построение изоморфизма D_3 и S_3. Формулировка теоремы Кэли.

Лекция 18 (31.01.2024): Теорема Кэли. Нормальная подгруппа. Пример. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов по нормальной подгруппе. Пример факторгруппы. Утверждение, что ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой (пока без доказательства). Утверждение, что образ гомоморфизма является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.

Литература

Учебники

• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000

Сборники задач

• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007