Алгебра ПИ 2023-2024

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПИ 231	БПИ 232	БПИ 233	БПИ 234	БПИ 235	БПИ 236	БПИ 237	БПИ 238	БПИ 239	БПИ 2310	БПИ 2311
Лектор	Михайлец Екатерина Викторовна
Семинаристы	Михайлец Екатерина Викторовна	Зайцева Юлия Ивановна	Хрыстик Михаил Андреевич	Шипицына Алина Денисовна	Шахматов Кирилл Вениаминович	Зароднюк Алёна Владимировна	Бельдиев Иван Сергеевич	Максаев Артём Максимович	Преснова Екатерина Денисовна	Зайцева Юлия Ивановна	Медведь Никита Юрьевич
Ассистенты	Абрамов Александр, Дымов Андрей	Власов Николай, Пичугин Владислав	Светличный Лев, Макагонов Даниил	Кухтина Юлия, Михайлов Владислав	Шмайхель Андрей, Сергеев Дмитрий	Бесшапов Алексей, Гладких Иван	Даниелян Сергей, Соловкин Александр	Кунашев Данил, Фролов-Буканов Виктор	Альберштейн Герман, Беликов Георгий	Никифорова Алла, Карлинский Леонид	Тямин Илья, Кулишенко Макар

Консультации

Расписание консультаций

Вы можете посещать как консультации, организованные для вашей группы, так и консультации других групп, если не удаётся посещать свои.

Аттестация и оценки

2023/2024 учебный год 2 модуль

О1=0,22∙О_(Кр-1мод)+0,14∙О_(Дз-1 и 2 мод)+0,08∙О_(Сем)+0,56∙О_(Экз1)

Здесь О_(Сем) — оценка от 0 до 10 баллов, учитывающая регулярность посещения семинаров, активность на семинарах, в том числе решение задач у доски, и выполнение текущих домашних работ в 1-2 модулях. Оценки за домашние задания в 1 и 2 модулях, а также в 3 и 4 модулях вычисляются как среднее арифметическое О_(Дз-мод1(3)) и О_(Дз-мод2(4)). В конце второго и четвертого модуля проводятся письменные экзамены.

2023/2024 учебный год 4 модуль

О2=0,245∙О_(Кр-3мод)+0,245∙О_(Коллоквиум-4мод)+0,11∙О_(Сем)+0,1∙О_(Дз-3 и 4 мод)+0,3∙О_(Экз2)

Здесь О_(Сем) – оценка от 0 до 10 баллов, учитывающая посещение семинаров, активность на семинарах, в том числе решение задач у доски, и выполнение текущих домашних работ в 3-м и 4-м модулях. Оценки за домашние задания в 1 и 2 модулях, а также в 3 и 4 модулях вычисляются как среднее арифметическое О_(Дз-мод1(3)) и О_(Дз-мод2(4)). В конце второго и четвертого модуля проводятся письменные экзамены.

Прошедшие лекции

Лекция 1 (06.09.2023): Операции над матрицами: сложение, умножение на число, умножение. Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, умножения. Единичная матрица. Доказательство ассоциативности умножения матриц.

Лекция 2 (13.09.2023): Транспонирование и его свойства. Доказательство связи умножения и транспонирования. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид матрицы и канонический (улучшенный ступенчатый) вид матрицы. Теорема о методе Гаусса с доказательством.

Лекция 3 (20.09.2023): Системы линейных алгебраических уравнений и их связь с методом Гаусса. Перестановки и подстановки. Инверсии. Транспозиции. Знак и чётность перестановки и подстановки. Циклическая запись. Умножение подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Общая формула для определителя произвольного порядка. Вычисление определителя матрицы порядков 2 и 3. Свойства определителя, в частности: 1. определитель транспонированной матрицы с доказательством.

Лекция 4 (27.09.2023): Свойства определителя: 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точностью до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Разложение по строке. Дополняющий минор, алгебраическое дополнение.

Лекция 5 (04.10.2023): Свойства определителя: 9. Фальшивое разложение. 10. Определитель верхнетреугольной матрицы. 11. Определитель блочной матрицы. 12. Определитель произведения с доказательством. Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований и рекуррентных соотношений. Доказательство правила Крамера. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы с доказательством. Союзная матрица. Формула для вычисления обратной матрицы.

Лекция 6 (11.10.2023): Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Матричные уравнения двух типов двумя способами. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей, как частный случай. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы (с доказательством) и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки.

Лекция 7 (18.10.2023): Критерий линейной зависимости с доказательством. Теорема о базисном миноре с доказательством. Следствия теоремы о базисном миноре: теорема о ранге матрицы с доказательством (эквивалентность определений ранга), критерий невырожденности квадратной матрицы с доказательством.

Лекция 8 (01.11.2023): Вычисление ранга матрицы (элементарные преобразования и метод окаймляющих миноров). СЛАУ, свойства решений СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли с доказательством. Однородные СЛАУ, ФСР. Теорема о существовании ФСР, начало еë доказательства.

Лекция 9 (08.11.2023): Доказательство теоремы о существовании ФСР. Пример на нахождение ФСР. Критерий существования ненулевого решения у однородной квадратной системы линейных алгебраических уравнений. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений. Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Пример на решение неоднородной СЛАУ.

Лекция 10 (15.11.2023): Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической записи. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Изображение корней n-ой степени на комплексной плоскости.

Лекция 11 (22.11.2023): Формула Эйлера и её следствия. Формулировка "основной" теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени. Векторы в трехмерном пространстве. Коллинеарность, компланарность. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства).

Лекция 12 (29.11.2023): Базис в трехмерном пространстве. Ортонормированный базис. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость.

Лекция 13 (06.12.2023): Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Каноническое, векторные и параметрические уравнения плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости. Угол между прямыми. Презентация с лекции.

Лекция 14 (13.12.2023): Напоминание: пересечение, объединение и разность множеств, их декартово произведение. Отображения множеств: cюръективность и инъективность. Биекция. Образ и полный прообраз. Бинарное отношение на множестве. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Фактормножество. Бинарные операции. Ассоциативные и коммутативные бинарные операции. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа.

Лекция 15 (10.01.2024): Эквивалентное определение группы. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа. Абелева группа. Подгруппа. Собственная подгруппа. Пример: специальная линейная подгруппа. Критерий подгруппы с доказательством. Гомоморфизм. Примеры гомоморфизма: детерминант, логарифм. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента. Примеры. Циклическая группа. Примеры циклических групп: целые числа по сложению и группа вычетов по модулю n. Таблица Кэли для вычетов по модулю 4.

Лекция 16 (17.01.2024): Примеры циклических групп: комплексные корни n-й степени из единицы. Порядок группы. Утверждение о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Проверка неизоморфности группе Z_4.

Лекция 17 (24.01.2024): Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Примеры. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие 3 теоремы Лагранжа. Правый смежный класс. Определение нормальной подгруппы. Примеры групп: группа диэдра. Построение изоморфизма D_3 и S_3. Формулировка теоремы Кэли.

Лекция 18 (31.01.2024): Теорема Кэли. Нормальная подгруппа. Пример. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов по нормальной подгруппе. Пример факторгруппы. Утверждение, что ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой (пока без доказательства). Утверждение, что образ гомоморфизма является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.

Лекция 19 (07.02.2024): Примеры к теореме о гомоморфизме групп: С/R, Z/nZ, GLn/SLn. Естественный гомоморфизм. Связь между гомоморфизмом групп, естественным гомоморфизмом и изоморфизмом из теоремы о гомоморфизме. Сопряжённые элементы. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов, её таблица Кэли. Замечание, что группа кватернионов не абелева, но все её подгруппы нормальные. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма.

Лекция 20 (14.02.2024): Простые группы. Пример. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Примеры автоморфизмов: Z, Zn. Центр группы. Пример для Q8. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Применение теории групп в криптографии. Задача дискретного логарифмирования. Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Кольцо с единицей. Коммутативное кольцо. Примеры колец: числовые кольца (остальные примеры на следующей лекции).

Лекция 21 (21.02.2024): Примеры колец: Mn(R), R[x], Zn. Делители нуля. Утверждение о том, что 0 поглощающий элемент в кольце. Целостное кольцо. Критерий целостности для нетривиального коммутативного кольца с единицей (закон сокращения). Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Главный идеал. Примеры. Замечание, что Z — кольцо главных идеалов. Факторкольцо кольца по идеалу.

Лекция 22 (28.02.2024): Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Утверждение о том, что образ гомоморфизма является подкольцом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля. Примеры. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Замечание, что поля нулевой характеристики бесконечны. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Расширение поля. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Трансцендентные элементы. Примеры.

Лекция 24 (13.03.2024): Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Невырожденность матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Подпространства в линейном пространстве.

Лекция 25 (20.03.2024): Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств. Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса.

Лекция 26 (03.04.2024): Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейной и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса. Лемма о том, что ранг матрицы не меняется при умножении на невырожденную матрицу. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм.

Лекция 27 (10.04.2024): Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции, сигнатура. Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Утверждение о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.

Лекция 28 (17.04.2024): Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Примеры.

Лекция 30 (15.05.2024): Определение евклидова пространства и скалярного произведения. Примеры. Определение нормы вектора, угла и расстояния между векторами. Неравенства Коши—Буняковского и треугольника. Ортогональность. Ортогональная система. Ортогональный и ортонормированный базисы. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Выражение для координат вектора в ортогональном базисе через скалярные произведения. Матричная запись скалярного произведения, матрица Грама. Свойства матрицы Грама: 1) симметричность, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису (как матрицы билинейной формы), 3) положительность определителя. Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве. Свойство 4 матрицы Грама: инвариантность грамиана относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта.

Лекция 31 (22.05.2024): Критерий невырожденности матрицы Грама (5-ое свойство). Выражение для объема параллелепипеда через определитель матрицы Грама. Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Определение линейного (алгебраического) многообразия. Замечание о том, как устроено линейное многообразие. Расстояние между вектором и линейным многообразием (определение). Расстояние от точки до линейного многообразия как длина ортогональной составляющей.

Лекция 32 (29.05.2024): Формула для расстояния через определители матриц Грама. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный (симметрический) оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора. Критерий самосопряженности оператора. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Теорема о диагонализируемости самосопряжённого оператора (без доказательства). Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. Теорема о существовании для любого самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов (без доказательства). Теорема о существовании для самосопряженного оператора c попарно различными собственными значениями ортонормированного базиса из собственных векторов. Ортогональные матрицы и их четыре свойства. Ортогональные операторы. Сохранение длин и углов ортогональным оператором. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное (формулировка).

Лекция 33 (06.06.2024): Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное. Утверждение о том, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Канонический вид ортогонального оператора (без доказательства). Теорема Эйлера (как следствие теоремы о каноническом виде). Теорема о том, что для любой симметрической матрицы найдется подобная ей диагональная матрица, а подобие осуществляется с помощью ортогональной матрицы (спектральное разложение). Теорема о сингулярном разложении. Утверждение о полярном разложении.

Лекция 34 (10.06.2024): Утверждение о QR-разложении. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Алгебры: определение и примеры (комплексные числа, многочлены, матрицы, кватернионы). Кривые второго порядка. Определение эллипса, гиперболы, параболы, их параметры (в частности, эксцентриситет). Вывод уравнения эллипса. Вывод уравнения параболы. Исследование алгебраического уравнения второго порядка от двух переменных. Теорема о классификации кривых второго порядка.

Лекция 35 (19.06.2024): Поверхности второго порядка (обзор). Поверхность вращения, цилиндрическая поверхность, линейчатая поверхность, преобразование сжатия. Теорема о классификации квадрик (формулировка). Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр. Эллипсоид, однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид. Нахождение прямолинейных образующих для однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида. Линейные формы (функционалы). Формула для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису. Сопряженное пространство, ковекторы. Взаимные базисы. Утверждение о существовании и единственности взаимного базиса. Изоморфизм между евклидовым пространством и сопряженным к нему. Презентация с лекции.

Литература

Учебники

• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000

Сборники задач

• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007