Алгебра на ПМИ 2023/2024 (пилотный поток)
Содержание
Преподаватели и учебные ассистенты
| Группа | БПМИ231 | БПМИ232 | БПМИ233 | БПМИ234 |
|---|---|---|---|---|
| Лектор | Аржанцев Иван Владимирович | |||
| Семинарист | Зайцева Юлия Ивановна | Перепечко Александр Юрьевич | Максаев Артем Максимович | Калеева Галина Анатольевна |
| Ассистент | Потарусов Артём | Парфенов Артём | Рогожкин Егор | Воротников Игорь |
| Ассистент по лабораторным | Гундарин Роман | |||
Расписание консультаций
Если хотите прийти на консультацию, надо обязательно предварительно связаться с соответствующим преподавателем / ассистентом.
| Преподаватель/ассистент | понедельник | вторник | среда | четверг | пятница | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| |
Аржанцев Иван Владимирович | 17:40-19:00 | 17:40-19:00 | |||
| |
Зайцева Юлия Ивановна | 16:20-17:40, S828 | 18:10-19:30, S828 | |||
| |
Калеева Галина Анатольевна | 18.00, zoom (ссылка в чате) | ||||
| |
Максаев Артем Максимович | 14:40-16:00, T909 | ||||
| |
Перепечко Александр Юрьевич | 16:10 до 17:30, S812 или TG | ||||
| |
Воротников Игорь | 15:00-16:00 | ||||
| |
Гундарин Роман | 14:40-16:00 | ||||
| |
Парфенов Артём TG | 14:40-16:00 S832 или zoom | ||||
| |
Потарусов Артём | 14:40-16:00 | ||||
| |
Рогожкин Егор | 19:00-20:00 |
Порядок формирования оценок
Итоговая оценка выражается следующим образом:
Oитоговая = 0,25 * Одз + 0,1 * Олаб + 0,25 * Ок/р + 0,4 * Оэкз.
Округление производится для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.
Краткое содержание лекций
В этом разделе выложены конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.
- Лекция 1 (03.04.2024) Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы матриц и группы подстановок. Подгруппы. Классификация подгрупп в группе (Z,+). Циклические подгруппы и порядок элемента.
- Лекция 2 (05.04.2024) Циклические группы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия. Нормальные подгруппы. Факторгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы. Классификация циклических групп.
- Лекция 3 (09.04.2024) Гомоморфизмы и изоморфизмы. Классификация циклических групп. Теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы. Конечно порождённые и свободные абелевы группы.
- Лекция 4 (16.04.2024) Свободные абелевы группы и их ранги. Характеризация базисов. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.
- Лекция 5 (19.04.2024) Факторгруппа решетки по подрешетке. Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности. Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы.
- Лекция 6 (23.04.2024) Транзитивные, свободные и эффективные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Изоморфизм действий. Теорема Кэли. Основные понятия криптографии с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи-Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль-Гамаля.
- Лекция 7 (30.04.2024) Протоколы с нулевым разглашением: три примера. Задача разделения секрета: метод Шамира и метод Блейкли. Кольца. Примеры колец.
- Лекция 8 (14.05.2024) Кольца: обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы. Главные идеалы. Факторкольца и теорема о гомоморфизме для колец. Дополнительный материал: многочлены от одной переменной над полем, наибольший общий делитель, неприводимые многочлены, однозначность разложения на множители и описание идеалов.
- Лекция 9 (17.05.2024) Центр алгебры матриц над полем. Простота алгебры матриц над полем. Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Лемма о старшем члене.
- Лекция 10 (21.05.2024) Доказательство основной теоремы о симметрических многочленах. Теорема Виета. Дискриминант многочлена. Вопросы о существовании решения и о конечности числа решений произвольной системы полиномиальных уравнений. Случай систем линейных уравнений. Формулировка теоремы Гильберта о базисе. Нётеровы кольца и условие обрыва возрастающих цепочек идеалов.
- Лекция 11 (24.05.2024) Доказательство теоремы Гильберта о базисе. Лемма Диксона. Идеал старших членов. Идеал полиномиальной системы. Эквивалентные системы. Радикал идеала. Формулировка теоремы Гильберта о нулях. Дополнительный материал: кольцо многочленов над нётеревым кольцом нётерово.
- Лекция 12 (04.06.2024) Задача о принадлежности многочлена идеалу. Алгоритм деления. Оператор редукции. Нормальная форма многочлена. Базис Грёбнера идеала. S-многочлены и формулировка критерия Бухбергера.
Листки с задачами
Листок с задачами содержит в себе домашнее задание. Дедлайн по домашнему заданию номер N: начало постоянного (не мигающего) семинара на неделе N+1.
Лабораторные
Планируется две лабораторные работы: в конце апреля и в начале июня.
Первая лабораторная — на абелевы группы. Дедлайн — 23:59 22 мая. Задание по ссылке, сама лабораторная доступна в классруме для лабораторных работ. Оценка за первую лабораторную работу равна сумме баллов за каждое задание, делённой на 1,6 (максимальная возможная оценка — 10).
Вторая лабораторная — на базисы Грёбнера. Дедлайн — 23:59 19 июня. Задание доступно в классруме для лабораторных работ.
Итоговая оценка за лабораторные равна среднему арифметическому оценок за две лабораторные.
Контрольная работа
Контрольная работа состоится 5 июня, начало в 9:00.
Работа проводится письменно и включает в себя 6 задач. На решение задач отводится 120 минут. Во время контрольной запрещено использование средств связи и материалов.
Экзамен
Экзамен проводится в устном формате.
Регламент экзамена (обновляется).
Ведомости текущего контроля
| 231 | 232 | 233 | 234 |
|---|
Куда сдавать домашние задания
Номер группы определяется ведомостью (см. выше).
Литература
- Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
- Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
