Алгебра на ПМИ 2020/2021 (основной поток)
Telegram-канал: ссылка
Содержание
Преподаватели и учебные ассистенты
Группа | БПМИ203 | БПМИ205 | БПМИ206 | БПМИ207 | БПМИ208 | БПМИ209 | БПМИ2010 | БПМИ2011 | БПМИ2012 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Лектор | Роман Авдеев | ||||||||
Семинарист | Дима Трушин | Роман Авдеев | Михаил Федоров | Сергей Гайфуллин | Роман Авдеев | Антон Шафаревич | Юлия Зайцева | Михаил Хрыстик | Артём Максаев |
Ассистент | Никита Морозов | Максимилиан Громовой | Юлия Василевская | Елизавета Руденко | Володя Кузнецов | Ира Голобородько | Владимир Смурыгин | Арина Голубицкая | Ваге Оганнисян |
Расписание консультаций
Преподаватель/ассистент | понедельник | вторник | среда | четверг | пятница | |
---|---|---|---|---|---|---|
|
Роман Авдеев | |||||
|
Дима Трушин | |||||
|
Михаил Федоров | |||||
|
Сергей Гайфуллин | 17:30-18:30 :[1] | ||||
|
Антон Шафаревич | |||||
|
Юлия Зайцева | |||||
|
Михаил Хрыстик | |||||
|
Артём Максаев | |||||
|
Никита Морозов | По договорённости, пишите в тг | ||||
|
Максимилиан Громовой | |||||
|
Юлия Василевская | По договорённости, пишите в тг | ||||
|
Елизавета Руденко | По договорённости, пишите в тг | ||||
|
Володя Кузнецов | По договорённости, пишите в лс. | ||||
|
Ирина Голобородько | |||||
|
Владимир Смурыгин | |||||
|
Арина Голубицкая | |||||
|
Ваге Оганнисян |
Порядок формирования оценок
Итоговая оценка вычисляется следующим образом:
Oитоговая = 0,3 * Одз + 0,2*Ок/р + 0,5*Оэкз.
Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.
Краткое содержание лекций
Лекция 1 (7.04.2021) [видеозапись, снимок доски, слайды]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы. Циклические группы. Левые смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые смежные классы.
Лекция 2 (14.04.2021) [видеозапись, снимок доски, слайды]. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры.
Лекция 3 (21.04.2021) [видеозапись, снимок доски]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль–Гамаля.
Конспект, включающий в себя содержание лекций 1–3
Лекция 4 (28.04.2021) [видеозапись, снимок доски, слайды]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождённые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец.
Лекция 5 (12.05.2021) [видеозапись, снимок доски, слайды]. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем. Базис факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Присоединение корня неприводимого многочлена.
Конспект, включающий в себя содержание лекций 4 и 5
Лекция 6 (19.05.2021) [видеозапись; снимок доски, слайды]. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов. Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера (формулировка).
Листки с задачами
Листок с задачами к лекции N содержит в себе N-е домашнее задание.
Контрольная работа
Экзамен
Формат экзамена: устный, по билетам
Ведомости текущего контроля
203 | 205 | 206 | 207 | 208 | 209 | 2010 | 2011 | 2012 |
---|
Литература
- Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
- Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
- Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988.
- И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003.