Алгебра на ПМИ 2020/2021 (основной поток)

Telegram-канал: ссылка

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ203	БПМИ205	БПМИ206	БПМИ207	БПМИ208	БПМИ209	БПМИ2010	БПМИ2011	БПМИ2012
Лектор	Роман Авдеев
Семинарист	Дима Трушин	Роман Авдеев	Михаил Федоров	Сергей Гайфуллин	Роман Авдеев	Антон Шафаревич	Юлия Зайцева	Михаил Хрыстик	Артём Максаев
Ассистент	Никита Морозов	Максимилиан Громовой	Юлия Василевская	Елизавета Руденко	Володя Кузнецов	Ира Голобородько	Владимир Смурыгин	Арина Голубицкая	Ваге Оганнисян

Расписание консультаций

	Преподаватель/ассистент	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница
1	Роман Авдеев
2	Дима Трушин
3	Михаил Федоров
4	Сергей Гайфуллин			17:30-18:30 :[1]
5	Антон Шафаревич
6	Юлия Зайцева
7	Михаил Хрыстик
8	Артём Максаев
9	Никита Морозов	По договорённости, пишите в тг
10	Максимилиан Громовой
11	Юлия Василевская	По договорённости, пишите в тг
12	Елизавета Руденко	По договорённости, пишите в тг
13	Володя Кузнецов	По договорённости, пишите в лс.
14	Ирина Голобородько
15	Владимир Смурыгин
16	Арина Голубицкая
17	Ваге Оганнисян

Порядок формирования оценок

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

O_{итоговая} = 0,3 * О_дз + 0,2*О_к/р + 0,5*О_экз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (7.04.2021) [видеозапись, снимок доски, слайды]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы. Циклические группы. Левые смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые смежные классы.

Лекция 2 (14.04.2021) [видеозапись, снимок доски, слайды]. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры.

Лекция 3 (21.04.2021) [видеозапись, снимок доски]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль–Гамаля.

Конспект, включающий в себя содержание лекций 1–3

Лекция 4 (28.04.2021) [видеозапись, снимок доски, слайды]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождённые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец.

Лекция 5 (12.05.2021) [видеозапись, снимок доски, слайды]. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем. Базис факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Присоединение корня неприводимого многочлена.

Конспект, включающий в себя содержание лекций 4 и 5

Лекция 6 (19.05.2021) [видеозапись; снимок доски, слайды]. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов. Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера (формулировка).

Конспект, включающий в себя содержание лекции 6

Лекция 7 (26.05.2021) [видеозапись; снимок доски, слайды]. Доказательство критерия Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях. Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами.

Лекция 8 (2.06.2021) [видеозапись; снимок доски, слайды]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождённое алгебраическим элементом. Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов. Автоморфизм Фробениуса.

Лекция 9 (9.06.2021) [видеозапись, снимок доски]. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов. Единственность конечного поля заданного порядка. Описание подполей конечного поля. Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок.

Лекция 10 (16.06.2021) [видеозапись, снимок доски]. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять. Линейные коды. Проверочная матрица. Связь минимального расстояния линейного кода с его проверочной матрицей. Бинарный код Хэмминга, его минимальное расстояние и число ошибок, которые он может исправлять. Неравенство Синглтона. Код Рида–Соломона. Коды БЧХ. Теорема о числе ошибок, исправляемых кодом БЧХ. Оценка на размерность кода БЧХ.

Листки с задачами

Листок с задачами к лекции N содержит в себе N-е домашнее задание.

Задачи к лекции 1

Задачи к лекции 2

Задачи к лекции 3

Задачи к лекции 4

Задачи к лекции 5

Задачи к лекции 6

Задачи к лекции 7

Задачи к лекции 8

Задачи к лекции 9

Задачи к лекции 10

Контрольная работа

Дата-время: 15 июня, ориентировочно с 16:00, продолжительность — 2 часа

Организационная информация по проведению контрольной: очный формат; дистанционный формат

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Условия задач с контрольной

Темы задач на контрольной работе

• Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45] ("прямая сумма" = "прямое произведение")
• Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, ещё задачи]
• Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, ещё примеры]
• Базисы Грёбнера и их приложения [примеры, задачи 5,6,8 из листка 7 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
• Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 6,7 из листка 5, задача 3 из ДЗ-5, задачи 4,5 из листка 8 и задача 1 из ДЗ-8]
• Вычисления в конечных полях [примеры]

Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина).

Экзамен

Формат экзамена: устный, по билетам

Список вопросов к экзамену

Ведомости текущего контроля

203	205	206	207	208	209	2010	2011	2012

Литература

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
• Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988.
• И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003.