Математическое моделирование
Содержание
О курсе
Данный курс Математическое моделирование читается в 2020/2021 учебном году на Факультете компьютерных наук НИУ ВШЭ.
Курс состоит из следующих перемежающихся друг с другом разделов:
- методы построения моделей (в основном из физики),
- точные методы исследования моделей (алгебраические, аналитические),
- численные методы исследования моделей.
Рассчитан на 1 семестр (2 модуля).
Область знаний, которую можно было бы назвать математическим моделированием, изучает как сами математические модели, так и общие закономерности их построения и методы анализа.
Как известно, любая наука в процессе своего становления проходит путь от классификации изучаемых объектов (примеры таких классификаций мы можем видеть в астрономии, биологии, химии) к их математическому описанию. По мнению А.Н. Уайтхеда: всякая наука по мере развития и совершенствования ее методов становится математической в своих основных понятиях.
Наиболее долгий и плодотворный путь в этом направлении прошла физика, влиянием которой проникнуты многие разделы математики. Можно даже сказать, что математика и физика развивались параллельно, взаимно обогащая друг друга идеями и методами. Поэтому выбор физики как плацдарма для курса математического моделирования вполне закономерен. С другой стороны, конечно, математическое моделирование не есть физика. Мы берем из физики лишь сами модели, оставляя физикам мотивировки и интерпретации.
План курса
I. Введение в математическое моделирование
- Этапы построения математической модели. Математическая модель как система уравнений. Корректность модели по Адамару.
- Обзор математического моделирования в естественных и социально-экономических науках. Структура курса.
- Примеры математических моделей.
II. Алгебраические уравнения
- Алгебраический подход в исследовании полиномиальных уравнений. Кольцо многочленов. Идеал кольца многочленов и система уравнений. Упорядочение мономов. Алгоритм множественного деления многочленов. Понятие базиса Гребнера. Алгоритм Бухбергера. Вычисление базиса Гребнера в системах Maxima и Singular.
- Результант многочленов и исключение неизвестных.
- Алгебраические уравнения в роботике. Алгебраические уравнения и автоматическое доказательство геометрических теорем.
- Аналитический подход в исследовании алгебраических (в широком смысле) уравнений. Окрестность простой точки. Поиск решения в виде формального степенного ряда. Получение асимптотического разложения методом последовательных приближений. Обратная функция и ряд Лагранжа.
- Пример: методы приближенного решения уравнения Кеплера.
- Окрестность точки ветвления. Диаграмма Ньютона. Разложение неявной функции в ряд Пюизо.
- Методы численного решения СЛАУ. Метод Гаусса (обычный и с выбором главного элемента). Итерационные методы Якоби и Зейделя. Решение переопределенной системы. Псевдорешение (и метод наименьших квадратов).
- Методы численного решения системы нелинейных уравнений. Деление отрезка пополам. Метод Нелдера - Мида. Метод простых итераций. Метод Ньютона (касательных) и метод одной касательной.
Минимальные знания и навыки. Алгоритм множественного деления многочленов. Базис Гребнера и алгоритм Бухбергера. Результант многочленов от одной переменной. Исключение неизвестных из системы полиномиальных уравнений (любой метод). Разложение неявной функции в окрестности простой точки (любой метод). Диаграмма Ньютона для многочлена. Разложение неявной функции в окрестности точки ветвления. Алгоритмы метода Гаусса с выбором главного элемента и итерационного метода Зейделя. Алгоритм метода Ньютона (касательных).
III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- Примеры. Модель радиоактивного распада и методы датировки (радиоуглеродный анализ). Законы Кеплера как следствие закона всемирного тяготения.
- Система уравнений 1-го порядка и уравнение n-го порядка. Задача Коши. Существование решения. Единственность решения. Непрерывная зависимость решения от начальных данных.
- Сведение к интегральному уравнению. Приближение по невязке и ломаные Эйлера. Теорема Банаха о неподвижной точке сжимающего отображения и метод последовательных приближений. Интегральное неравенство Гронуолла.
- Система линейных уравнений 1-го порядка. Линейное однородное уравнение. Фундаментальная матрица. Теорема Лиувилля об определителе. Понижение порядка в случае известных частных решений. Линейное неоднородное уравнение.
- Скалярное линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Сведение векторного линейного уравнения с постоянной матрицей к скалярному уравнению. Матричная экспонента и ее вычисление. (Другой подход: через приведение матрицы к жордановой нормальной форме.) Уравнение Эйлера и матричная степенная функция.
- Пример: модель хищник-жертва (уравнения Лотки - Вольтерры).
- Автономная система уравнений. Фазовое пространство. Точка покоя. Классификация точек покоя 2-мерной системы. Теорема о выпрямлении векторного поля в окрестности обыкновенной точки. Метод Пуанкаре приведения уравнения к нормальной форме в окрестности точки покоя.
- Устойчивость решения по Ляпунову. Характеристические показатели. Исследование устойчивости по первому приближению.
- Функция Ляпунова и второй метод Ляпунова. Теоремы об устойчивости и неустойчивости.
- Система линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Теория Флоке. Уравнение Хилла. Уравнение Матье.
- Существование периодических решений. Предельный цикл. Теория Пуанкаре - Бендиксона. Уравнение Ван дер Поля. Уравнение Дуффинга.
- Диаграмма Ньютона для ОДУ и асимптотика решений. Уравнение типа Эмдена - Фаулера.
- Асимптотика системы линейных уравнений с матрицей, близкой к постоянной. Метод Лиувилля для линейных уравнений 2-го порядка. Асимптотика функций Бесселя.
- Регулярная особая точка линейного уравнения. Разложение в окрестности регулярной особой точки. Уравнение Бесселя. Уравнение Лежандра.
- Уравнение с малым параметром. Регулярно возмущенное уравнение. Метод Пуанкаре. Уравнение Ван дер Поля.
- Сингулярно возмущенное уравнение. Пограничный слой. Теорема Тихонова.
- Численные методы решения ОДУ. Методы Рунге - Кутты. Методы Адамса. Методы интегрирования жестких задач.
Минимальные знания и навыки. Сведение скалярного уравнения n-го порядка к векторному уравнению 1-го порядка и обратно. Метод последовательных приближений для векторного уравнения 1-го порядка, асимптотика в окрестности начальной точки. Оценка нормы решения с помощью неравенства Гронуолла. Вычисление определителя фундаментальной матрицы с помощью теоремы Лиувилля. Понижение порядка скалярного линейного однородного уравнения и размерности векторного линейного однородного уравнения в случае известных решений. Решение линейного неоднородного уравнения при известном общем решении однородного. Общее решение линейного однородного уравнения (скалярного, векторного и матричного) с постоянными коэффициентами. Вычисление матричной экспоненты. Решение однородного уравнения Эйлера (скалярного, векторного и матричного) и вычисление матричной степенной функции.
IV. Дифференциальные уравнения в частных производных
1. Примеры
2. Линейное уравнение 1-го порядка
3. Задача Коши. Теорема Коши - Ковалевской. Метод мажорантного ряда
4. Классификация линейных уравнений 2-го порядка
5. Уравнения 2-го порядка эллиптического типа. Гармонические функции. Уравнение Лапласа. Принцип максимума. Задача Дирихле. Задача Неймана.
6. Уравнение Лапласа в параллелепипеде, цилиндре, шаре. Разделение переменных.
7. Уравнение Пуассона
8. Уравнение 2-го порядка параболического типа.
V. Основы вариационного исчисления и оптимального управления
Занятия
Записи лекций и семинаров выкладываются в плейлист
Текущие оценки за доклады и вопросы к ним в гугл-таблице
Экзамен
На экзамен выносится материал курса в рамках минимальных знаний и навыков - смотрите выше.