Математическое моделирование — различия между версиями
Emaevskiy (обсуждение | вклад) (→План курса) |
Emaevskiy (обсуждение | вклад) (→План курса) |
||
Строка 39: | Строка 39: | ||
2. Устойчивость решения по Ляпунову. Первый метод Ляпунова. Функция Ляпунова и второй метод Ляпунова. Полная механическая энергия как функция Ляпунова. | 2. Устойчивость решения по Ляпунову. Первый метод Ляпунова. Функция Ляпунова и второй метод Ляпунова. Полная механическая энергия как функция Ляпунова. | ||
− | 3. Применение многоугольника Ньютона. Укорочение уравнения. | + | 3. Применение многоугольника Ньютона. Укорочение уравнения. Примеры применения. |
4. Сведение к интегральному уравнению. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений. | 4. Сведение к интегральному уравнению. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений. |
Версия 08:13, 18 января 2021
О курсе
Данный курс Математическое моделирование читается в 2020/2021 учебном году на Факультете компьютерных наук НИУ ВШЭ.
Курс состоит из следующих перемежающихся друг с другом разделов:
- методы построения моделей (в основном из физики),
- точные методы исследования моделей (алгебраические, аналитические),
- приближенные методы исследования моделей (численные).
Рассчитан на 1 семестр (2 модуля).
Область знаний, которую можно было бы назвать математическим моделированием, изучает как сами математические модели, так и общие закономерности их построения и методы анализа.
Как известно, любая наука в процессе своего становления проходит путь от классификации изучаемых объектов (примеры таких классификаций мы можем видеть в астрономии, биологии, химии) к их математическому описанию. По мнению А.Н. Уайтхеда: всякая наука по мере развития и совершенствования ее методов становится математической в своих основных понятиях.
Наиболее долгий и плодотворный путь в этом направлении прошла физика, влиянием которой проникнуты многие разделы математики. Можно даже сказать, что математика и физика развивались параллельно, взаимно обогащая друг друга идеями и методами. Поэтому выбор физики как плацдарма для курса математического моделирования вполне закономерен. С другой стороны, конечно, математическое моделирование не есть физика. Мы берем из физики лишь сами модели, оставляя физикам мотивировки и интерпретации.
План курса
I. Введение в математическое моделирование
1. Этапы построения математической модели. Математическая модель как система уравнений. Корректность модели по Адамару. Обзор математического моделирования в естественных и социально-экономических науках. Структура курса. Примеры математических моделей.
II. Алгебраические уравнения
1. Алгебраический подход в исследовании полиномиальных уравнений. Кольцо многочленов. Идеал кольца многочленов и система уравнений. Упорядочение мономов. Алгоритм множественного деления многочленов. Понятие базиса Гребнера. Алгоритм Бухбергера. Вычисление базиса Гребнера в системах Maxima и Singular.
2. Алгебраические уравнения в роботике. Алгебраические уравнения и автоматическое доказательство геометрических теорем. Результант многочленов и исключение неизвестных.
3. Аналитический подход в исследовании алгебраических (в широком смысле) уравнений. Асимптотическое разложение. Формула Бюрмана - Лагранжа. Многоугольник Ньютона. Разложение в ряд Пюизо.
4. Пример: методы приближенного решения уравнения Кеплера.
5. Численный подход в исследовании алгебраических (в широком смысле) уравнений. Методы численного решения СЛАУ. Методы численного решения системы нелинейных уравнений.
III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Пример: законы Кеплера как следствие закона всемирного тяготения.
2. Устойчивость решения по Ляпунову. Первый метод Ляпунова. Функция Ляпунова и второй метод Ляпунова. Полная механическая энергия как функция Ляпунова.
3. Применение многоугольника Ньютона. Укорочение уравнения. Примеры применения.
4. Сведение к интегральному уравнению. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений.
5. Поиск решения в виде ряда. Разложение в окрестности простой точки. Регулярные и иррегулярные особые точки. Разложение в окрестности особой точки.
6. Метод малого параметра. Регулярно возмущенное уравнение. Сингулярно возмущенное уравнение. Пограничный слой.
7. Численные методы решения ОДУ.
IV. Элементы классической механики
1. Кинетическая и потенциальная энергия механической системы. Функция Лагранжа.
2. Функционал действия. Принцип наименьшего действия. Уравнение Лагранжа.
3. Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона.
V. Основы дифференциальной геометрии
VI. Дифференциальные уравнения в частных производных
VII. Элементы гидродинамики и теории упругости
VIII. Элементы электродинамики
IX. Элементы квантовой теории