Версия 09:55, 10 июня 2024

Преподаватели и учебные ассистенты

Расписание консультаций

Если хотите прийти на консультацию, надо обязательно предварительно связаться с соответствующим преподавателем / ассистентом.

Порядок формирования оценок

Итоговая оценка выражается следующим образом:

O_{итоговая} = 0,25 * О_дз + 0,1 * О_лаб + 0,25 * О_к/р + 0,4 * О_экз.

Округление производится для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

Краткое содержание лекций

В этом разделе выложены конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.

• Лекция 1 (03.04.2024) Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы матриц и группы подстановок. Подгруппы. Классификация подгрупп в группе (Z,+). Циклические подгруппы и порядок элемента.

• Лекция 2 (05.04.2024) Циклические группы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия. Нормальные подгруппы. Факторгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы. Классификация циклических групп.

• Лекция 3 (09.04.2024) Гомоморфизмы и изоморфизмы. Классификация циклических групп. Теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы. Конечно порождённые и свободные абелевы группы.

• Лекция 4 (16.04.2024) Свободные абелевы группы и их ранги. Характеризация базисов. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.

• Лекция 5 (19.04.2024) Факторгруппа решетки по подрешетке. Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности. Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы.

• Лекция 6 (23.04.2024) Транзитивные, свободные и эффективные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Изоморфизм действий. Теорема Кэли. Основные понятия криптографии с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи-Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль-Гамаля.

• Лекция 7 (30.04.2024) Протоколы с нулевым разглашением: три примера. Задача разделения секрета: метод Шамира и метод Блейкли. Кольца. Примеры колец.

• Лекция 8 (14.05.2024) Кольца: обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы. Главные идеалы. Факторкольца и теорема о гомоморфизме для колец. Дополнительный материал: многочлены от одной переменной над полем, наибольший общий делитель, неприводимые многочлены, однозначность разложения на множители и описание идеалов.

• Лекция 9 (17.05.2024) Центр алгебры матриц над полем. Простота алгебры матриц над полем. Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Лемма о старшем члене.

• Лекция 10 (21.05.2024) Доказательство основной теоремы о симметрических многочленах. Теорема Виета. Дискриминант многочлена. Вопросы о существовании решения и о конечности числа решений произвольной системы полиномиальных уравнений. Случай систем линейных уравнений. Формулировка теоремы Гильберта о базисе. Нётеровы кольца и условие обрыва возрастающих цепочек идеалов.

• Лекция 11 (24.05.2024) Доказательство теоремы Гильберта о базисе. Лемма Диксона. Идеал старших членов. Идеал полиномиальной системы. Эквивалентные системы. Радикал идеала. Формулировка теоремы Гильберта о нулях. Дополнительный материал: кольцо многочленов над нётеревым кольцом нётерово.

• Лекция 12 (04.06.2024) Задача о принадлежности многочлена идеалу. Алгоритм деления. Оператор редукции. Нормальная форма многочлена. Базис Грёбнера идеала. S-многочлены и формулировка критерия Бухбергера.

• Лекция 13 (07.06.2024) Доказательство критерия Бухбергера. Алгоритм Бухбергера. Минимальный базис Грёбнера, его существование и единственность. Задачи о принадлежности идеалу и совпадении двух идеалов. Задачи о наличии решения, принадлежности радикалу, эквивалентности систем и конечности числа решений.

Листки с задачами

Листок с задачами содержит в себе домашнее задание. Дедлайн по домашнему заданию номер N: начало постоянного (не мигающего) семинара на неделе N+1.

• Листок 1

• Листок 2

• Листок 3

• Листок 4

• Листок 5

• Листок 6

• Листок 7

• Листок 8

Лабораторные

Планируется две лабораторные работы: в конце апреля и в начале июня.

Первая лабораторная — на абелевы группы. Дедлайн — 23:59 22 мая. Задание по ссылке, сама лабораторная доступна в классруме для лабораторных работ. Оценка за первую лабораторную работу равна сумме баллов за каждое задание, делённой на 1,6 (максимальная возможная оценка — 10).

Вторая лабораторная — на базисы Грёбнера. Дедлайн — 23:59 19 июня. Задание доступно в классруме для лабораторных работ.

Итоговая оценка за лабораторные равна среднему арифметическому оценок за две лабораторные.

Контрольная работа

Контрольная работа состоялась 5 июня, начало в 9:00.

Работа проводится письменно и включает в себя 6 задач. На решение задач отводится 120 минут. Во время контрольной запрещено использование средств связи и материалов.

Экзамен

Экзамен состоится 24 июня, распределение студентов по времени будет опубликовано позже.

Регламент экзамена (обновляется).

Ведомости текущего контроля

Куда сдавать домашние задания

Номер группы определяется ведомостью (см. выше).

• 231: Classroom
• 232: Classroom
• 233: Classroom
• 234: Classroom
• Лабораторные: Classroom

Литература

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.