Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2023/2024 (основной поток) — различия между версиями
Ravdeev (обсуждение | вклад) (→2-й модуль) |
Ravdeev (обсуждение | вклад) (→2-й модуль) |
||
Строка 145: | Строка 145: | ||
'''Материалы для подготовки:''' | '''Материалы для подготовки:''' | ||
− | [https://drive.google.com/file/d/1HxJQW8u5479a-_fKupxIPTxfcLe1xiRl/view?usp=sharing ''' | + | [https://drive.google.com/file/d/1HxJQW8u5479a-_fKupxIPTxfcLe1xiRl/view?usp=sharing '''Список определений и формулировок'''] |
− | [https://drive.google.com/file/d/1Fira5lRyalISjgvXuznr_eyTHJAUKj0X/view?usp=sharing ''' | + | [https://drive.google.com/file/d/1Fira5lRyalISjgvXuznr_eyTHJAUKj0X/view?usp=sharing '''Список вопросов на доказательство'''] |
'''Формат проведения:''' | '''Формат проведения:''' | ||
Строка 153: | Строка 153: | ||
Этап 1 (2 балла). Студенту выдаются 5 определений из списка, на написание которых даётся 10 минут, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений. | Этап 1 (2 балла). Студенту выдаются 5 определений из списка, на написание которых даётся 10 минут, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений. | ||
− | Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4 | + | Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4 вопросами на доказательство. На написание первых двух вопросов даётся 25 минут, после чего начинается опрос. Остальные вопросы обсуждаются с принимающим по мере готовности. |
= Экзамены = | = Экзамены = |
Версия 11:02, 1 декабря 2023
Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных"
Telegram-канал: https://t.me/LA_AMI_23_osn
Содержание
- 1 Преподаватели и учебные ассистенты
- 2 Расписание консультаций
- 3 Формы контроля знаний студентов
- 4 Порядок формирования итоговой оценки
- 5 Краткое содержание лекций
- 6 Листки с задачами
- 7 Индивидуальные домашние задания
- 8 Лабораторные работы
- 9 Контрольные работы
- 10 Коллоквиумы
- 11 Экзамены
- 12 Ведомости текущего контроля
- 13 Ссылки
- 14 Литература
Преподаватели и учебные ассистенты
Группа | БПМИ235 | БПМИ236 | БПМИ237 | БПМИ238 | БПМИ239 | БПМИ2310 | БПМИ2311 | БПМИ2312 | БЭАД231 | БЭАД232 | БЭАД233 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Лектор | Роман Авдеев | ||||||||||
Семинарист | Роман Авдеев | Юлия Зайцева | Роман Стасенко | Михаил Игнатьев | Кирилл Шахматов | Роман Стасенко | Антон Медведев | Виктор Лопаткин | Илья Болдырев | Алёна Зароднюк | Кирилл Шахматов |
Ассистент1 | Наталья Тяжова | Ирина Скворцова | Мария Прохорова | Никита Волянский | Анастасия Буркова | Анна Зыкова-Мызина | Артём Абросимов | Аделя Гараева | Никита Бахишев | Анастасия Сотникова | Анастасия Федорова |
Ассистент2 | Полина Рыльцева | Амелия Алаева | Екатерина Владимирова | Владимир Васенев | Максим Игнатов | Александр Сидоров | Арина Зайцева | Кирилл Павлов | Хетаг Дудиев | Алина Мирзоева | Никита Степанов |
Ассистент курса | Рита Арунова |
Расписание консультаций
Формы контроля знаний студентов
- Коллоквиум
- Контрольная работа
- Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
- Активность и работа на семинарах
- Экзамен
Бонус:
- Устная сдача задач из листков
Порядок формирования итоговой оценки
2-й модуль
Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле
Oитоговая = min(10; 0,4*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,16*Oк/р + 0,16*Oд/з + 0,08*Oсем + 0,08*Oл),
где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.
Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.
4-й модуль
Краткое содержание лекций
Лекция 1 (5.09.2023) [слайды]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.
Лекция 2 (11.09.2023) [слайды]. Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы.
Лекция 3 (18.09.2023) [слайды]. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений.
Лекция 4 (25.09.2023) [слайды]. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Определение обратной матрицы. Обратная матрица как решение уравнения AX=E (пока без доказательства). Перестановки на множестве {1,2,...,n}. Инверсии в перестановке. Знак и чётность перестановки.
Лекция 5 (2.10.2023) [слайды]. Произведение перестановок. Ассоциативность произведения перестановок. Теорема о знаке произведения перестановок. Тождественная перестановка. Обратная перестановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3.
Лекция 6 (9.10.2023). Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители.
Лекция 7 (16.10.2023). Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости квадратной матрицы.
Лекция 8 (23.10.2023) [слайды]. Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра.
Лекция 9 (6.11.2023) [слайды]. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей. Векторные пространства, примеры. Простейшие следствия из аксиом векторного пространства.
Лекция 10 (13.11.2023) [слайды]. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства. Утверждение о том, что линейная оболочка системы векторов является подпространством объемлющего векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
Лекция 11 (20.11.2023) [слайды]. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Характеризация базисов в терминах единственности линейного выражения векторов. Утверждение о возможности выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.
Лекция 12 (27.11.2023). Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый.
Листки с задачами
Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.
Правила сдачи и оценивания задач из листков:
- каждый пункт в листке считается отдельной задачей
- сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
- результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1
Листок 1. Матричные алгебры Ли
Сроки сдачи листка 1:
задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 октября включительно
в период с 15 по 21 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач
Листок 2. Разложения матриц
Сроки сдачи листка 2:
задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 16 декабря включительно
в период с 10 по 16 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач
Индивидуальные домашние задания
Лабораторные работы
Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.
Контрольные работы
2-й модуль
Дата-время: 18 ноября, 18:10
Продолжительность работы: 120 минут
Организационная информация по проведению контрольной будет позже
Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".
Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.
- Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
- Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8–18.11
- Перестановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
- Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
- Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
- Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316
Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.
Коллоквиумы
2-й модуль
Даты: 8-9 декабря, точное распределение групп по дням будет позже
Организационная информация по проведению коллоквиума будет позже
Материалы для подготовки:
Список определений и формулировок
Список вопросов на доказательство
Формат проведения:
Этап 1 (2 балла). Студенту выдаются 5 определений из списка, на написание которых даётся 10 минут, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.
Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4 вопросами на доказательство. На написание первых двух вопросов даётся 25 минут, после чего начинается опрос. Остальные вопросы обсуждаются с принимающим по мере готовности.
Экзамены
Формат проведения: письменная работа
Ведомости текущего контроля
1-2 модули
Результаты проверки больших домашних заданий
235 | 236 | 237 | 238 | 239 | 2310 | 2311 | 2312 | Э231 | Э232 |
---|
Результаты сдачи задач из листков
235 | 236 | 237 | 238 | 239 | 2310 | 2311 | 2312 | Э231 | Э232 |
---|
Результаты 1-й контрольной работы
235 | 236 | 237 | 238 | 239 | 2310 | 2311 | 2312 | Э231 | Э232 | Э233 |
---|
Ссылки
Литература
Учебники
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
- Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
- А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005
Сборники задач
- И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
- Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
- Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007