Математическое моделирование — различия между версиями
Emaevskiy (обсуждение | вклад) |
Emaevskiy (обсуждение | вклад) (→План курса) |
||
Строка 17: | Строка 17: | ||
== План курса == | == План курса == | ||
− | + | ===I. Введение в математическое моделирование=== | |
1. Этапы построения математической модели. Математическая модель как система уравнений. Корректность модели по Адамару. Обзор математического моделирования в естественных и социально-экономических науках. Структура курса. Примеры математических моделей. | 1. Этапы построения математической модели. Математическая модель как система уравнений. Корректность модели по Адамару. Обзор математического моделирования в естественных и социально-экономических науках. Структура курса. Примеры математических моделей. | ||
− | + | ===II. Алгебраические уравнения=== | |
1. Алгебраический подход в исследовании полиномиальных уравнений. Кольцо многочленов. Идеал кольца многочленов и система уравнений. Упорядочение мономов. Алгоритм множественного деления многочленов. Понятие базиса Гребнера. Алгоритм Бухбергера. Вычисление базиса Гребнера в системах Maxima и Singular. | 1. Алгебраический подход в исследовании полиномиальных уравнений. Кольцо многочленов. Идеал кольца многочленов и система уравнений. Упорядочение мономов. Алгоритм множественного деления многочленов. Понятие базиса Гребнера. Алгоритм Бухбергера. Вычисление базиса Гребнера в системах Maxima и Singular. | ||
Строка 35: | Строка 35: | ||
6. Окрестность точки ветвления. Диаграмма Ньютона. Разложение в ряд Пюизо. | 6. Окрестность точки ветвления. Диаграмма Ньютона. Разложение в ряд Пюизо. | ||
− | 7 | + | 7. Методы численного решения СЛАУ. Метод Гаусса (обычный и с выбором главного элемента). Итерационные методы Якоби и Зейделя. Решение переопределенной системы. Псевдорешение (и метод наименьших квадратов). |
− | + | 8. Методы численного решения системы нелинейных уравнений. | |
− | '''III. Обыкновенные дифференциальные уравнения | + | '''Минимальные знания и навыки'''. Алгоритм множественного деления многочленов. Базис Гребнера и алгоритм Бухбергера. Результант многочленов от одной переменной. Исключение неизвестных из системы полиномиальных уравнений (любой метод). Разложение неявной функции в окрестности простой точки (любой метод). Диаграмма Ньютона для многочлена. Разложение неявной функции в окрестности точки ветвления. Алгоритмы метода Гаусса с выбором главного элемента и итерационных методов Якоби и Зейделя. Алгоритм метода Ньютона (касательных). |
+ | |||
+ | ===III. Обыкновенные дифференциальные уравнения=== | ||
1. Примеры. Модель радиоактивного распада и методы датировки (радиоуглеродный анализ). Законы Кеплера как следствие закона всемирного тяготения. | 1. Примеры. Модель радиоактивного распада и методы датировки (радиоуглеродный анализ). Законы Кеплера как следствие закона всемирного тяготения. | ||
Строка 63: | Строка 65: | ||
11. Численные методы решения ОДУ. | 11. Численные методы решения ОДУ. | ||
− | + | ===IV. Элементы классической механики=== | |
1. Кинетическая и потенциальная энергия механической системы. Функция Лагранжа. | 1. Кинетическая и потенциальная энергия механической системы. Функция Лагранжа. | ||
Строка 71: | Строка 73: | ||
3. Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона. | 3. Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона. | ||
− | + | ===V. Основы дифференциальной геометрии=== | |
− | + | ===VI. Дифференциальные уравнения в частных производных=== | |
− | + | ===VII. Элементы гидродинамики и теории упругости=== | |
− | + | ===VIII. Элементы электродинамики=== | |
− | + | ===IX. Элементы квантовой теории=== | |
== Занятия == | == Занятия == |
Версия 17:57, 25 января 2021
Содержание
- 1 О курсе
- 2 План курса
- 2.1 I. Введение в математическое моделирование
- 2.2 II. Алгебраические уравнения
- 2.3 III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- 2.4 IV. Элементы классической механики
- 2.5 V. Основы дифференциальной геометрии
- 2.6 VI. Дифференциальные уравнения в частных производных
- 2.7 VII. Элементы гидродинамики и теории упругости
- 2.8 VIII. Элементы электродинамики
- 2.9 IX. Элементы квантовой теории
- 3 Занятия
- 4 Экзамен
О курсе
Данный курс Математическое моделирование читается в 2020/2021 учебном году на Факультете компьютерных наук НИУ ВШЭ.
Курс состоит из следующих перемежающихся друг с другом разделов:
- методы построения моделей (в основном из физики),
- точные методы исследования моделей (алгебраические, аналитические),
- численные методы исследования моделей.
Рассчитан на 1 семестр (2 модуля).
Область знаний, которую можно было бы назвать математическим моделированием, изучает как сами математические модели, так и общие закономерности их построения и методы анализа.
Как известно, любая наука в процессе своего становления проходит путь от классификации изучаемых объектов (примеры таких классификаций мы можем видеть в астрономии, биологии, химии) к их математическому описанию. По мнению А.Н. Уайтхеда: всякая наука по мере развития и совершенствования ее методов становится математической в своих основных понятиях.
Наиболее долгий и плодотворный путь в этом направлении прошла физика, влиянием которой проникнуты многие разделы математики. Можно даже сказать, что математика и физика развивались параллельно, взаимно обогащая друг друга идеями и методами. Поэтому выбор физики как плацдарма для курса математического моделирования вполне закономерен. С другой стороны, конечно, математическое моделирование не есть физика. Мы берем из физики лишь сами модели, оставляя физикам мотивировки и интерпретации.
План курса
I. Введение в математическое моделирование
1. Этапы построения математической модели. Математическая модель как система уравнений. Корректность модели по Адамару. Обзор математического моделирования в естественных и социально-экономических науках. Структура курса. Примеры математических моделей.
II. Алгебраические уравнения
1. Алгебраический подход в исследовании полиномиальных уравнений. Кольцо многочленов. Идеал кольца многочленов и система уравнений. Упорядочение мономов. Алгоритм множественного деления многочленов. Понятие базиса Гребнера. Алгоритм Бухбергера. Вычисление базиса Гребнера в системах Maxima и Singular.
2. Результант многочленов и исключение неизвестных.
3. Алгебраические уравнения в роботике. Алгебраические уравнения и автоматическое доказательство геометрических теорем.
4. Аналитический подход в исследовании алгебраических (в широком смысле) уравнений. Окрестность простой точки. Поиск решения в виде формального степенного ряда. Получение асимптотического разложения методом последовательных приближений. Обратная функция и формула Лагранжа.
5. Пример: методы приближенного решения уравнения Кеплера.
6. Окрестность точки ветвления. Диаграмма Ньютона. Разложение в ряд Пюизо.
7. Методы численного решения СЛАУ. Метод Гаусса (обычный и с выбором главного элемента). Итерационные методы Якоби и Зейделя. Решение переопределенной системы. Псевдорешение (и метод наименьших квадратов).
8. Методы численного решения системы нелинейных уравнений.
Минимальные знания и навыки. Алгоритм множественного деления многочленов. Базис Гребнера и алгоритм Бухбергера. Результант многочленов от одной переменной. Исключение неизвестных из системы полиномиальных уравнений (любой метод). Разложение неявной функции в окрестности простой точки (любой метод). Диаграмма Ньютона для многочлена. Разложение неявной функции в окрестности точки ветвления. Алгоритмы метода Гаусса с выбором главного элемента и итерационных методов Якоби и Зейделя. Алгоритм метода Ньютона (касательных).
III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Примеры. Модель радиоактивного распада и методы датировки (радиоуглеродный анализ). Законы Кеплера как следствие закона всемирного тяготения.
2. Устойчивость решения по Ляпунову. Устойчивость по первому приближению. Показатели Ляпунова.
3. Пример: модель хищник-жертва (уравнения Лотки - Вольтерры).
4. Функция Ляпунова и второй метод Ляпунова. Полная механическая энергия как функция Ляпунова.
5. Многоугольник Ньютона для ОДУ и асимптотика решений. Примеры применения.
6. Сведение к интегральному уравнению. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений.
7. Поиск решения в виде ряда. Разложение в окрестности простой точки.
8. Регулярные и иррегулярные особые точки. Разложение в окрестности особой точки.
9. Метод малого параметра. Регулярно возмущенное уравнение.
10. Сингулярно возмущенное уравнение. Пограничный слой. Теорема Тихонова.
11. Численные методы решения ОДУ.
IV. Элементы классической механики
1. Кинетическая и потенциальная энергия механической системы. Функция Лагранжа.
2. Функционал действия. Принцип наименьшего действия. Уравнение Лагранжа.
3. Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона.
V. Основы дифференциальной геометрии
VI. Дифференциальные уравнения в частных производных
VII. Элементы гидродинамики и теории упругости
VIII. Элементы электродинамики
IX. Элементы квантовой теории
Занятия
Записи лекций и семинаров выкладываются в плейлист
Экзамен
На экзамен выносится материал курса в рамках минимальных знаний и навыков - смотрите выше.