Алгебра 2015/2016 — различия между версиями
Ravdeev (обсуждение | вклад) (→Листки с задачами) |
Ravdeev (обсуждение | вклад) (→Листки с задачами) |
||
Строка 90: | Строка 90: | ||
[https://www.dropbox.com/s/70x2h8hlerwdqbx/Problems05.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 5'''] | [https://www.dropbox.com/s/70x2h8hlerwdqbx/Problems05.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 5'''] | ||
+ | |||
+ | [https://www.dropbox.com/s/dt8rnu8q3f4h5j4/Problems06.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 6'''] | ||
== Информация для основного потока == | == Информация для основного потока == |
Версия 16:49, 17 мая 2016
Цель этого небольшого курса — познакомить слушателей с основными структурами современной алгебры: группами, кольцами, полями. Мы докажем базовые факты об этих структурах и продемонстрируем их возможные приложения. Сдавшие этот курс смогут, среди прочего, перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные группы из 100 элементов, найти сумму кубов корней данного многочлена, доказать, что многочлен от многих переменных однозначно раскладывается на простые множители, и объяснить, почему не существует поля из 6 элементов.
Содержание
Преподаватели и учебные ассистенты
Группа | БПМИ151 | БПМИ152 | БПМИ153 | БПМИ154 | БПМИ155 | БПМИ156 | БПМИ157 | БПМИ158 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Лектор | Иван Владимирович Аржанцев | Роман Сергеевич Авдеев | ||||||
Семинарист | Иван Владимирович Аржанцев | Сергей Александрович Гайфуллин | Полина Юрьевна Котенкова | Роман Сергеевич Авдеев | Полина Юрьевна Котенкова | Сергей Александрович Гайфуллин | Станислав Николаевич Федотов | |
Ассистент | Максим Каледин | Андрей Волгин | Дарья Алексеева | Полина Святокум | Павел Ковалёв | Лев Хотов | Алексей Самбуров | Мария Новикова |
Расписание консультаций
Преподаватель/ассистент | понедельник | вторник | среда | четверг | пятница | |
---|---|---|---|---|---|---|
|
Иван Владимирович Аржанцев | 17:00–18:30, каб. 603 | ||||
|
Роман Сергеевич Авдеев | 15:40–17:40, ауд. 618 | ||||
|
Полина Юрьевна Котенкова | 9:00–10:20, ауд. 313 | ||||
|
Сергей Александрович Гайфуллин | 15:30–17:30, каб. 607 | ||||
|
Станислав Николаевич Федотов | 16:00–18:00 | ||||
|
Максим Каледин | 15:00, ауд. 511 | ||||
|
Андрей Волгин | 16:30–18:00, ауд. 623 | ||||
|
Дарья Алексеева | 15:10–16:30, ауд. 313 | ||||
|
Полина Святокум | 10:30–11:50, ауд. 313 | ||||
10 | Павел Ковалёв | 13:40–15:00, ауд. 310 | ||||
11 | Лев Хотов | 12:10–13:30, ауд. 313 | ||||
12 | Алексей Самбуров | 15:10–16:30, ауд. 302 | ||||
13 | Мария Новикова | 15:10–16:30, ауд. 313 |
Формы контроля знаний студентов
Порядок формирования оценок
Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:
Oнакопленная = 0,3 * Oдз1 + 0,3 * Oдз2 + 0,4 * Oк/р,
где Oдз1 — оценка за первое домашнее задание, Oдз2 — оценка за второе домашнее задание, Oк/р — оценка за контрольную работу.
Итоговая оценка выражается через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:
Oитоговая = 0,5 * Oнакопленная + 0,5 * Оэкз.
Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.
Информация для пилотного потока
Содержание лекций
В этом разделе даются ссылки на конспекты лекций аналогичного прошлогоднего курса. Отличия по содержанию минимальны.
Лекция 1 (6.04.2016). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия.
Лекция 2 (13.04.2016). Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.
Лекция 3 (20.04.2016). Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.
Лекция 4 (27.04.2016). Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы.
Лекция 5 (11.05.2016). Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Теорема Кэли
Листки с задачами
Информация для основного потока
Краткое содержание лекций
Лекция 1 (4.04.2016). Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы. Циклические группы. Левые и правые смежные классы по подгруппе. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа.
Лекция 2 (11.04.2016). Следствия из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Ядро и образ гомоморфизма. Теорема о гомоморфизме. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп.
Лекция 3 (18.04.2016). Теорема о факторизации по сомножителям. Разложение циклической группы. Конечно порождённые абелевы группы. Свободные конечно порождённые абелевы группы. Независимость ранга свободной абелевой группы от выбора базиса. Описание всех базисов свободной абелевой группы в терминах одного базиса и матриц перехода. Свободность подгрупп свободных абелевых групп.
Лекция 4 (25.04.2016). Теорема о согласованных базисах. Вычисление факторгруппы свободной абелевой группы по подгруппе. Целочисленные элементарные преобразования строк и столбцов целочисленной матрицы. Теорема о приведении целочисленной матрицы к диагональному виду при помощи целочисленных элементарных преобразований строк и столбцов. Доказательство теоремы о согласованных базисах. Примарные абелевы группы. Строение конечно порождённых абелевых групп: теорема о разложении в прямую сумму бесконечных и примарных циклических групп. Существование разложения и единственность числа бесконечных слагаемых.
Лекция 5 (29.04.2016). Единственность числа и порядков примарных циклических слагаемых в разложении конечно порождённой абелевой группы в прямую сумму бесконечных и примарных циклических групп. Экспонента абелевой группы. Критерий цикличности конечной абелевой группы. Действия групп на множествах: определение и задание при помощи гомоморфизма в группу преобразований множества. Орбита точки. Разбиение множества в объединение попарно непересекающихся орбит. Стабилизатор точки. Связь между числом элементов в орбите и порядком стабилизатора для действия конечной группы.
Листки с задачами
Ведомости текущего контроля
151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 |
---|
Литература
- Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
- Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.