Алгебра на ПМИ 2019/2020 (основной поток) — различия между версиями
Ravdeev (обсуждение | вклад) (→Краткое содержание лекций) |
Ravdeev (обсуждение | вклад) (→Контрольная работа) |
||
(не показано 27 промежуточных версии 2 участников) | |||
Строка 20: | Строка 20: | ||
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница | ! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница | ||
|- | |- | ||
− | | <center>1</center> || Роман Авдеев || || | + | | <center>1</center> || Роман Авдеев || || 16:00–19:00, [https://us04web.zoom.us/j/450736781 ссылка] || || 16:00–19:00, [https://us04web.zoom.us/j/450736781 ссылка] || |
|- | |- | ||
| <center>2</center> || Дима Трушин || || || || || | | <center>2</center> || Дима Трушин || || || || || | ||
|- | |- | ||
− | | <center>3</center> || Сергей Гайфуллин || || || || || | + | | <center>3</center> || Сергей Гайфуллин || || || || || [https://us02web.zoom.us/j/87802675625 15:10–16:30] |
|- | |- | ||
| <center>4</center> || Александра Гаража || || || || || | | <center>4</center> || Александра Гаража || || || || || | ||
Строка 65: | Строка 65: | ||
= Краткое содержание лекций = | = Краткое содержание лекций = | ||
− | '''Лекция 1''' (7.04.2020). Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы. Циклические группы. Левые смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые смежные классы. | + | '''Лекция 1''' (7.04.2020) [[https://www.dropbox.com/s/0vhqmujga1hyhea/A_19-20_osn_Lecture01.svg?dl=0 '''Снимок доски после лекции''']; [https://www.dropbox.com/s/834tlea1co8nlab/A_19-20_p1.pdf?dl=0 '''слайды к лекции'''], [https://youtu.be/SP1LaKbP3Rw '''видеозапись лекции''']]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы. Циклические группы. Левые смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые смежные классы. |
− | [https://www.dropbox.com/s/ | + | '''Лекция 2''' (14.04.2020) [[https://www.dropbox.com/s/mnv98fgoa83hi0g/A_19-20_osn_Lecture02.svg?dl=0 '''Снимок доски после лекции''']; [https://www.dropbox.com/s/g4fjofugwmqrd19/A_19-20_p2.pdf?dl=0 '''слайды к лекции'''], [https://www.youtube.com/watch?v=EiH-hAVhzis '''видеозапись лекции''']]. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры. |
− | [https://www.dropbox.com/s/ | + | '''Лекция 3''' (21.04.2020) [[https://www.dropbox.com/s/bsbnerti1ammb5s/A_19-20_osn_Lecture03.svg?dl=0 '''Снимок доски после лекции'''], [https://www.youtube.com/watch?v=KPZDFvkrsL0 '''видеозапись лекции''']]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль–Гамаля. |
− | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/9onyl9fkd8cdkcz/A_Groups.pdf?dl=0 '''Конспект, включающий в себя содержание лекций 1–3'''] |
+ | |||
+ | '''Лекция 4''' (25.04.2020) [[https://www.dropbox.com/s/tl8dz262909ejp6/A_19-20_osn_Lecture04.svg?dl=0 '''Снимок доски после лекции''']; [https://www.dropbox.com/s/4yxuuyl1nikl7xa/A_19-20_p3.pdf?dl=0 '''слайды к лекции'''], [https://www.youtube.com/watch?v=C2gbIXYKsNI '''видеозапись лекции''']]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя, гомоморфизмы, изоморфизмы. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождённые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. | ||
+ | |||
+ | '''Лекция 5''' (28.04.2020) [[https://www.dropbox.com/s/m5h7ug7xjzwqxl6/A_19-20_osn_Lecture05.svg?dl=0 '''Снимок доски после лекции''']; [https://www.dropbox.com/s/b5kamdt8hhkish1/A_19-20_p4.pdf?dl=0 '''слайды к лекции'''], [https://www.youtube.com/watch?v=lfMkvyeUeZQ '''видеозапись лекции''']]. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем. Базис факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. | ||
+ | |||
+ | '''Лекция 6''' (12.05.2020) [[https://www.dropbox.com/s/2ycs4pbv5mg2knb/A_19-20_osn_Lecture06.svg?dl=0 '''Снимок доски после лекции''']; [https://www.dropbox.com/s/4gm2b0vbubqvvve/A_19-20_p5.pdf?dl=0 '''слайды к лекции'''], [https://www.youtube.com/watch?v=jzqmxgC5L0Q '''видеозапись лекции''']]. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов. Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера (формулировка). | ||
+ | |||
+ | '''Лекция 7''' (19.05.2020) [[https://www.dropbox.com/s/lbiaqcme7cwytqd/A_19-20_osn_Lecture07.svg?dl=0 '''Снимок доски после лекции''']; [https://www.dropbox.com/s/oh58wqa67qpf7hf/A_19-20_p6.pdf?dl=0 '''слайды к лекции'''], [https://www.youtube.com/watch?v=0DLDvmYtIzA '''видеозапись лекции''']]. Доказательство критерия Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях. Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами. | ||
+ | |||
+ | '''Лекция 8''' (26.05.2020) [[https://www.dropbox.com/s/0066rnv4ehtq6hx/A_19-20_osn_Lecture08.svg?dl=0 '''Снимок доски после лекции''']; [https://www.dropbox.com/s/0066rnv4ehtq6hx/A_19-20_osn_Lecture08.svg?dl=0 '''слайды к лекции'''], [https://www.youtube.com/watch?v=wLgJ_S79YlQ '''видеозапись лекции''']]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Присоединение корня неприводимого многочлена. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождённое алгебраическим элементом. Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов. | ||
+ | |||
+ | '''Лекция 9''' (2.06.2020) [[https://www.dropbox.com/s/34c8o7btu30a9iv/A_19-20_osn_Lecture09.svg?dl=0 '''Снимок доски после лекции''']; [https://www.dropbox.com/s/jxjc83hpxvgwviu/A_19-20_p8.pdf?dl=0 '''слайды к лекции'''], [https://www.youtube.com/watch?v=u_NftvaX4bQ '''видеозапись лекции''']]. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над полем вычетов. Описание подполей конечного поля (формулировка). Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять (формулировка). Линейные коды. Проверочная матрица. Связь минимального расстояния линейного кода с его проверочной матрицей (формулировка). | ||
= Листки с задачами = | = Листки с задачами = | ||
Строка 78: | Строка 90: | ||
[https://www.dropbox.com/s/outsu8jlo4pklgt/A_19-20_Stream2_Problems01.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 1'''] | [https://www.dropbox.com/s/outsu8jlo4pklgt/A_19-20_Stream2_Problems01.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 1'''] | ||
+ | |||
+ | [https://www.dropbox.com/s/eg5e1yt49v9bs9j/A_19-20_Stream2_Problems02.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 2'''] | ||
+ | |||
+ | [https://www.dropbox.com/s/60pvb244osb67ej/A_19-20_Stream2_Problems03.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 3'''] | ||
+ | |||
+ | [https://www.dropbox.com/s/q4aevqjvld5c4bm/A_19-20_Stream2_Problems04.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 4'''] | ||
+ | |||
+ | [https://www.dropbox.com/s/mj89riekd4varty/A_19-20_Stream2_Problems05.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 5'''] | ||
+ | |||
+ | [https://www.dropbox.com/s/7r5sr5f8xuz4aji/A_19-20_Stream2_Problems06.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 6'''] | ||
+ | |||
+ | [https://www.dropbox.com/s/3jgkg5o4fcir945/A_19-20_Stream2_Problems07.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 7'''] | ||
+ | |||
+ | [https://www.dropbox.com/s/wmqkbae4su6pana/A_19-20_Stream2_Problems08.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 8'''] | ||
+ | |||
+ | [https://www.dropbox.com/s/e6kbbttqr2z1oaw/A_19-20_Stream2_Problems09.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 9'''] | ||
= Контрольная работа = | = Контрольная работа = | ||
+ | |||
+ | Дата-время: 8 июня во временном интервале с 16:40 до 19:40 | ||
+ | |||
+ | [https://yadi.sk/i/tZpXMMJZpkGfqQ '''Ссылка на файл с организационной информацией о проведении контрольной'''] | ||
+ | |||
+ | [https://www.dropbox.com/s/5528kypfdzkxdgc/A_19-20_Stream2_Test.pdf?dl=0 '''Условия задач с контрольной'''] | ||
+ | |||
+ | '''Темы задач на контрольной работе''' | ||
+ | |||
+ | * Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45] | ||
+ | * Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, [https://www.dropbox.com/s/6ugc0adjv4pv0h4/Quotients.pdf?dl=0 ещё задачи]] | ||
+ | * Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, [https://www.dropbox.com/s/hc5uz9iiiw201hl/Factorization_examples.pdf?dl=0 ещё примеры]] | ||
+ | * Базисы Грёбнера и их приложения [[https://www.dropbox.com/s/ssubw1mqn3hhqor/GB_examples.pdf?dl=0 примеры], задачи 5,6,8 из листка 7 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7] | ||
+ | * Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 6,7 из листка 5, задача 3 из ДЗ-5, задачи 4,5 из листка 8 и задача 1 из ДЗ-8] | ||
+ | * Вычисления в конечных полях [[https://www.dropbox.com/s/y8u27gr9kk5nw6b/FF_examples.pdf?dl=0 примеры]] | ||
+ | |||
+ | Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина). | ||
= Экзамен = | = Экзамен = | ||
+ | |||
+ | Формат экзамена: устный, по билетам | ||
+ | |||
+ | [https://www.dropbox.com/s/mp3o9xau44ihsd9/A_19-20_Stream2_Program.pdf?dl=0 '''Список вопросов к экзамену'''] | ||
= Ведомости текущего контроля = | = Ведомости текущего контроля = |
Текущая версия на 14:02, 5 июня 2021
Telegram-канал: ссылка
Содержание
Преподаватели и учебные ассистенты
Группа | БПМИ193 | БПМИ195 | БПМИ196 | БПМИ197 | БПМИ198 | БПМИ199 | БПМИ1910 | БПМИ1911 | БПМИ1912 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Лектор | Роман Авдеев | ||||||||
Семинарист | Дима Трушин | Роман Авдеев | Сергей Гайфуллин | Александра Гаража | Антон Шафаревич | Роман Авдеев | Артём Максаев | Дарья Алексеева | Михаил Хрыстик |
Ассистент | Александр Залялов | Аспандияр Токкожин | Наталья Михненко | Виктор Гришанин | Володя Кузнецов | Игорь Амашукели | Диана Сусла | Алексей Лямзин | Дарья Барановская |
Расписание консультаций
Преподаватель/ассистент | понедельник | вторник | среда | четверг | пятница | |
---|---|---|---|---|---|---|
|
Роман Авдеев | 16:00–19:00, ссылка | 16:00–19:00, ссылка | |||
|
Дима Трушин | |||||
|
Сергей Гайфуллин | 15:10–16:30 | ||||
|
Александра Гаража | |||||
|
Антон Шафаревич | |||||
|
Артём Максаев | |||||
|
Дарья Алексеева | |||||
|
Михаил Хрыстик | |||||
|
Александр Залялов | |||||
|
Аспандияр Токкожин | |||||
|
Наталья Михненко | |||||
|
Виктор Гришанин | |||||
|
Володя Кузнецов | |||||
|
Игорь Амашукели | |||||
|
Диана Сусла | |||||
|
Алексей Лямзин | |||||
|
Дарья Барановская |
Порядок формирования оценок
Итоговая оценка вычисляется следующим образом:
Oитоговая = 0,3 * Одз + 0,2*Ок/р + 0,5*Оэкз.
Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.
Краткое содержание лекций
Лекция 1 (7.04.2020) [Снимок доски после лекции; слайды к лекции, видеозапись лекции]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы. Циклические группы. Левые смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые смежные классы.
Лекция 2 (14.04.2020) [Снимок доски после лекции; слайды к лекции, видеозапись лекции]. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры.
Лекция 3 (21.04.2020) [Снимок доски после лекции, видеозапись лекции]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль–Гамаля.
Конспект, включающий в себя содержание лекций 1–3
Лекция 4 (25.04.2020) [Снимок доски после лекции; слайды к лекции, видеозапись лекции]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя, гомоморфизмы, изоморфизмы. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождённые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец.
Лекция 5 (28.04.2020) [Снимок доски после лекции; слайды к лекции, видеозапись лекции]. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем. Базис факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K.
Лекция 6 (12.05.2020) [Снимок доски после лекции; слайды к лекции, видеозапись лекции]. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов. Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера (формулировка).
Лекция 7 (19.05.2020) [Снимок доски после лекции; слайды к лекции, видеозапись лекции]. Доказательство критерия Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях. Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами.
Лекция 8 (26.05.2020) [Снимок доски после лекции; слайды к лекции, видеозапись лекции]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Присоединение корня неприводимого многочлена. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождённое алгебраическим элементом. Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов.
Лекция 9 (2.06.2020) [Снимок доски после лекции; слайды к лекции, видеозапись лекции]. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над полем вычетов. Описание подполей конечного поля (формулировка). Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять (формулировка). Линейные коды. Проверочная матрица. Связь минимального расстояния линейного кода с его проверочной матрицей (формулировка).
Листки с задачами
Листок с задачами к лекции N содержит в себе N-е домашнее задание.
Контрольная работа
Дата-время: 8 июня во временном интервале с 16:40 до 19:40
Ссылка на файл с организационной информацией о проведении контрольной
Темы задач на контрольной работе
- Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45]
- Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, ещё задачи]
- Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, ещё примеры]
- Базисы Грёбнера и их приложения [примеры, задачи 5,6,8 из листка 7 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
- Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 6,7 из листка 5, задача 3 из ДЗ-5, задачи 4,5 из листка 8 и задача 1 из ДЗ-8]
- Вычисления в конечных полях [примеры]
Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина).
Экзамен
Формат экзамена: устный, по билетам
Ведомости текущего контроля
193 | 195 | 196 | 197 | 198 | 199 | 1910 | 1911 | 1912 |
---|
Литература
- Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
- Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
- Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988.
- И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003.