Алгебра на ПМИ 2019/2020 (основной поток)

Telegram-канал: ссылка

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ193	БПМИ195	БПМИ196	БПМИ197	БПМИ198	БПМИ199	БПМИ1910	БПМИ1911	БПМИ1912
Лектор	Роман Авдеев
Семинарист	Дима Трушин	Роман Авдеев	Сергей Гайфуллин	Александра Гаража	Антон Шафаревич	Роман Авдеев	Артём Максаев	Дарья Алексеева	Михаил Хрыстик
Ассистент	Александр Залялов	Аспандияр Токкожин	Наталья Михненко	Виктор Гришанин	Володя Кузнецов	Игорь Амашукели	Диана Сусла	Алексей Лямзин	Дарья Барановская

Расписание консультаций

	Преподаватель/ассистент	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница
1	Роман Авдеев		16:00–19:00, ссылка		16:00–19:00, ссылка
2	Дима Трушин
3	Сергей Гайфуллин					15:10–16:30
4	Александра Гаража
5	Антон Шафаревич
6	Артём Максаев
7	Дарья Алексеева
8	Михаил Хрыстик
9	Александр Залялов
10	Аспандияр Токкожин
11	Наталья Михненко
12	Виктор Гришанин
13	Володя Кузнецов
14	Игорь Амашукели
15	Диана Сусла
16	Алексей Лямзин
17	Дарья Барановская

Порядок формирования оценок

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

O_{итоговая} = 0,3 * О_дз + 0,2*О_к/р + 0,5*О_экз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (7.04.2020) [Снимок доски после лекции; слайды к лекции, видеозапись лекции]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы. Циклические группы. Левые смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые смежные классы.

Лекция 2 (14.04.2020) [Снимок доски после лекции; слайды к лекции, видеозапись лекции]. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры.

Лекция 3 (21.04.2020) [Снимок доски после лекции, видеозапись лекции]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль–Гамаля.

Конспект, включающий в себя содержание лекций 1–3

Лекция 4 (25.04.2020) [Снимок доски после лекции; слайды к лекции, видеозапись лекции]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя, гомоморфизмы, изоморфизмы. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождённые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец.

Лекция 5 (28.04.2020) [Снимок доски после лекции; слайды к лекции, видеозапись лекции]. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем. Базис факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K.

Лекция 6 (12.05.2020) [Снимок доски после лекции; слайды к лекции, видеозапись лекции]. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов. Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера (формулировка).

Лекция 7 (19.05.2020) [Снимок доски после лекции; слайды к лекции, видеозапись лекции]. Доказательство критерия Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях. Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами.

Лекция 8 (26.05.2020) [Снимок доски после лекции; слайды к лекции, видеозапись лекции]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Присоединение корня неприводимого многочлена. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождённое алгебраическим элементом. Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов.

Лекция 9 (2.06.2020) [Снимок доски после лекции; слайды к лекции, видеозапись лекции]. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над полем вычетов. Описание подполей конечного поля (формулировка). Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять (формулировка). Линейные коды. Проверочная матрица. Связь минимального расстояния линейного кода с его проверочной матрицей (формулировка).

Листки с задачами

Листок с задачами к лекции N содержит в себе N-е домашнее задание.

Задачи к лекции 1

Задачи к лекции 2

Задачи к лекции 3

Задачи к лекции 4

Задачи к лекции 5

Задачи к лекции 6

Задачи к лекции 7

Задачи к лекции 8

Задачи к лекции 9

Контрольная работа

Дата-время: 8 июня во временном интервале с 16:40 до 19:40

Ссылка на файл с организационной информацией о проведении контрольной

Условия задач с контрольной

Темы задач на контрольной работе

• Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45]
• Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, ещё задачи]
• Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, ещё примеры]
• Базисы Грёбнера и их приложения [примеры, задачи 5,6,8 из листка 7 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
• Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 6,7 из листка 5, задача 3 из ДЗ-5, задачи 4,5 из листка 8 и задача 1 из ДЗ-8]
• Вычисления в конечных полях [примеры]

Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина).

Экзамен

Формат экзамена: устный, по билетам

Список вопросов к экзамену

Ведомости текущего контроля

193	195	196	197	198	199	1910	1911	1912

Литература

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
• Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988.
• И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003.