Дополнительные главы дискретной математики 2017/18 — различия между версиями

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 42 промежуточные версии этого же участника)
Строка 4: Строка 4:
  
 
== Дедлайны ==
 
== Дедлайны ==
−
'''Домашнее задание 1''' дедлайн: 16 марта, 23:59 AoE
+
'''Домашнее задание 1''' дедлайн: 16 марта, 23:59 AoE <br>
 +
'''Домашнее задание 2''' дедлайн: 11 мая, 13:40 <br>
 +
'''Домашнее задание 3''' дедлайн: 5 июня, 15:10 <br>
 +
Задание сдается письменно. <br>
 +
Из каждого дз достаточно решить две задачи. <br>
 +
'''Экзамен''': 15 июня, 13:40, ауд. 300 <br>
  
 
== Материалы курса ==
 
== Материалы курса ==
Строка 10: Строка 15:
 
{| class="wikitable"
 
{| class="wikitable"
 
|-
 
|-
−
! Summary !! Домашнее задание
+
! Дата !! Summary !! Домашнее задание
 
|-
 
|-
−
  || Сумма игр, функция Шпрага-Гранди, функция Шпрага-Гранди суммы игр. || [http://www.mi.ras.ru/~podolskii/files/extra_dm/cw01_dop.pdf Листок 1]  
+
  || 16.01.18 || Сумма игр, функция Шпрага-Гранди, функция Шпрага-Гранди суммы игр. || [http://www.mi.ras.ru/~podolskii/files/extra_dm/cw01_dop.pdf Листок 1]  
 
|-
 
|-
−
  || Разрешающие деревья, сертификатная сложность, примеры. Соотношения между сертификатной сложностью и сложностью в модели разрешающих деревьев; пример квадратичного разрыва. Чувствительность и блочная чувствительность. [https://homepages.cwi.nl/~rdewolf/publ/qc/dectree.pdf Обзор по теме].  ||  [http://www.mi.ras.ru/~podolskii/files/extra_dm/cw02_dop.pdf Листок 2]  
+
  || 23.01.18 || Разрешающие деревья, сертификатная сложность, примеры. Соотношения между сертификатной сложностью и сложностью в модели разрешающих деревьев; пример квадратичного разрыва. Чувствительность и блочная чувствительность. [https://homepages.cwi.nl/~rdewolf/publ/qc/dectree.pdf Обзор по теме].  ||  [http://www.mi.ras.ru/~podolskii/files/extra_dm/cw02_dop.pdf Листок 2]  
 
|-
 
|-
−
  || Чувствительность и блочная чувствительность: квадратичный разрыв. Сертификатная сложность не больше квадрата блочной чувствительности. Степень булевой функции. Степень не больше сложности в модели деревьев разрешения. Пример: степень квадратично больше сертификатной сложности. Пример: чувствительность больше степени. ||   
+
  || 30.01.18 || Чувствительность и блочная чувствительность: квадратичный разрыв. Сертификатная сложность не больше квадрата блочной чувствительности. Степень булевой функции. Степень не больше сложности в модели деревьев разрешения. Пример: степень квадратично больше сертификатной сложности. Пример: чувствительность больше степени. ||   
 +
[http://www.mi.ras.ru/~podolskii/files/extra_dm/cw03_dop.pdf Листок 3] <br> <span style="color:red">Updated: 05.02.18</span>
 +
|-
 +
|| 06.02.18 || Схемная сложность функции "четность" от n переменных не меньше 3n-3. Глубина булевой схемы. Булева формула. Эквивалентность схем и формул с точки зрения глубины. Теорема о балансировке булевой формулы. Эквивалентность глубины булевой схемы и размера булевой формулы.|| 
 +
[http://www.mi.ras.ru/~podolskii/files/extra_dm/cw04_dop.pdf Листок 4]
 +
|-
 +
|| 13.02.18 || Классы функций AC^i, NC^i, иерархия. PARITY не лежит в NC^0. Сложение чисел в AC^0. PARITY не лежит в AC^0, полиномиальный метод: схемы приближаемы многочленами.||  Листка на этой неделе не было
 +
|-
 +
|| 20.02.18 || PARITY не лежит в AC^0, полиномиальный метод: многочлены не приближают PARITY. PARITY вычисляется AC^0 схемой глубины d и размера $2^{n^{O(1/d)}}$. Теорема Роджерса о главных универсальных функциях, начало доказательства. || 
 +
[http://www.mi.ras.ru/~podolskii/files/extra_dm/cw05_dop.pdf Листок 5]
 +
|-
 +
|| 27.02.18 || Теорема о существовании перечислимых неотделимых множеств. Перечислимое бесконечное множество номеров вычислимой функции. Теорема Роджерса об изоморфизме главных универсальных функциях. Конструкция Поста перечислимого неразрешимого множества. || 
 +
[http://www.mi.ras.ru/~podolskii/files/extra_dm/cw06_dop.pdf Листок 6]
 +
|-
 +
|| 06.03.18 || Теорема об иерархии по времени. Квадратичный разрыв между временем вычисления на одноленточных и многоленточных машинах. || 
 +
[http://www.mi.ras.ru/~podolskii/files/extra_dm/cw07_dop.pdf Листок 7]
 +
|-
 +
|| 13.03.18 || Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами, однородный случай. || 
 +
Листка на этой неделе нет
 +
|-
 +
|| 20.03.18 ||  Разбор задач домашнего задания. || 
 +
|-
 +
|| 03.04.18 ||  Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами, неоднородный случай. Бином Ньютона, комбинаторные следствия из него. Производящие функции, начало. Число разложений числа в сумму различных слагаемых равно числу разложений числа в сумму нечетных слагаемых. Разбор задач домашнего задания. ||  [http://www.mi.ras.ru/~podolskii/files/extra_dm/cw08_dop.pdf Листок 8]
 +
|-
 +
|| 10.04.18 ||  Производящие функции, операции над ними: сложение, умножение на число, умножение, взятие обратных, подстановка, сдвиг вправо, производная. Переход от производящей функции последовательности к производящей функции ее частичных сумм. Нахождение коэффициентов производящих функций. Пример: формула для суммы квадратов. Нахождение коэффициентов в общем виде. Решение рекуррентных соотношений с помощью производящих функций. ||  [http://www.mi.ras.ru/~podolskii/files/extra_dm/cw09_dop.pdf Листок 9]
 +
|-
 +
|| 17.04.18 ||  Теорема Холла, в терминах двудольных графов и в терминах множеств. Следствие для регулярных семейств множеств. Разложение дважды стохастических матриц. Расширение k-элементных подмножеств до различных (k+1)-элементных подмножеств. Паросочетания и вершинные покрытия в двудольных графах. Максимальные паросочетания в двудольных графах. ||  [http://www.mi.ras.ru/~podolskii/files/extra_dm/cw10_dop.pdf Листок 10] <br> <span style="color:red">Updated: 10.05.18</span>
 +
|-
 +
|| 11.05.18 ||  Цепи и антицепи. Разбиения на цепи и антицепи, связь с максимальными размерами цепей и антицепей. Разбиение на симметричные цепи в булевом кубе. Теорема Шпернера, LYM неравенство. Слово со всеми подмножествами в качестве подслов. ||  [http://www.mi.ras.ru/~podolskii/files/extra_dm/cw11_dop.pdf Листок 11]
 +
|-
 +
|| 15.05.18 ||  Миноры и топологические миноры графов. k-связность графов. Плоские и планарные графы. Свойство плоских лесов. Свойство плоских циклов. Свойство плоских 2-связных графов. Теорема Эйлера. Непланарность K_5 и K_{3,3}. Критерий планарности графов. ||  [http://www.mi.ras.ru/~podolskii/files/extra_dm/cw12_dop.pdf Листок 12]
 +
|-
 +
|| 22.05.18 ||  Коды, исправляющие ошибки. Граница Хэмминга. Граница Гилберта. Оценки объема шара. Линейные коды. Граница Варшамова-Гилберта. || 
 +
[http://www.mi.ras.ru/~podolskii/files/extra_dm/cw13_dop.pdf Листок 13] <br> <span style="color:red">Updated: 29.05.18</span>
 +
|-
 +
|| 29.05.18 ||  Код Хэмминга. Граница Синглтона. Код Рида—Соломона, его декодирование. Оценка Плоткина. Усиление оценки Синглтона над бинарным алфавитом. || 
 +
|-
 +
|| 05.06.18 ||  Неравенство Фишера. Разбиение полного графа на полные двудольные. || 
 
|}
 
|}
 +
 +
== Материалы ==
 +
 +
Игры: [http://rubtsov.su/public/hse/2017/DM-HSE-Draft.pdf  Черновик учебника по дискретной математике] <br>
 +
Разрешающие деревья: [https://homepages.cwi.nl/~rdewolf/publ/qc/dectree.pdf  H. Buhrman and R. de Wolf. Complexity Measures and Decision Tree Complexity: A Survey] <br>
 +
Булевы схемы: [http://www.thi.informatik.uni-frankfurt.de/~jukna/boolean/index.html  Stasys Jukna, Boolean Function Complexity: Advances and Frontiers] <br>
 +
Вычислимость: [https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf  Н. К. Верещагин, А. Шень. Вычислимые функции]<br>
 +
Рекурренты и производящие функции: [https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-042j-mathematics-for-computer-science-fall-2010/readings/MIT6_042JF10_notes.pdf MIT lecture notes] <br>
 +
Теорема Холла, цепи и антицепи, алгебраические методы в комбинаторике: [http://www.thi.informatik.uni-frankfurt.de/~jukna/EC_Book_2nd/  Stasys Jukna, Extremal Combinatorics] <br>
 +
Графы: Р. Дистель, Теория графов <br>
 +
Коды: [https://www.mccme.ru/~anromash/courses/coding-theory-2017.pdf А. Ромащенко, А. Румянцев, А. Шень, Заметки по теории кодирования] <br>
 +
 +
== Результаты ==
 +
 +
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/14NqsVMOV8xH1trJdJbnVUZnWbUnPMufK3C6yBqBkCjE/edit?usp=sharing Таблица результатов]

Текущая версия на 00:16, 6 июня 2018

Общая информация

Правила выставления оценок

Дедлайны

Домашнее задание 1 дедлайн: 16 марта, 23:59 AoE
Домашнее задание 2 дедлайн: 11 мая, 13:40
Домашнее задание 3 дедлайн: 5 июня, 15:10
Задание сдается письменно.
Из каждого дз достаточно решить две задачи.
Экзамен: 15 июня, 13:40, ауд. 300

Материалы курса

Дата Summary Домашнее задание
16.01.18 Сумма игр, функция Шпрага-Гранди, функция Шпрага-Гранди суммы игр. Листок 1
23.01.18 Разрешающие деревья, сертификатная сложность, примеры. Соотношения между сертификатной сложностью и сложностью в модели разрешающих деревьев; пример квадратичного разрыва. Чувствительность и блочная чувствительность. Обзор по теме. Листок 2
30.01.18 Чувствительность и блочная чувствительность: квадратичный разрыв. Сертификатная сложность не больше квадрата блочной чувствительности. Степень булевой функции. Степень не больше сложности в модели деревьев разрешения. Пример: степень квадратично больше сертификатной сложности. Пример: чувствительность больше степени.

Листок 3
Updated: 05.02.18

06.02.18 Схемная сложность функции "четность" от n переменных не меньше 3n-3. Глубина булевой схемы. Булева формула. Эквивалентность схем и формул с точки зрения глубины. Теорема о балансировке булевой формулы. Эквивалентность глубины булевой схемы и размера булевой формулы.

Листок 4

13.02.18 Классы функций AC^i, NC^i, иерархия. PARITY не лежит в NC^0. Сложение чисел в AC^0. PARITY не лежит в AC^0, полиномиальный метод: схемы приближаемы многочленами. Листка на этой неделе не было
20.02.18 PARITY не лежит в AC^0, полиномиальный метод: многочлены не приближают PARITY. PARITY вычисляется AC^0 схемой глубины d и размера $2^{n^{O(1/d)}}$. Теорема Роджерса о главных универсальных функциях, начало доказательства.

Листок 5

27.02.18 Теорема о существовании перечислимых неотделимых множеств. Перечислимое бесконечное множество номеров вычислимой функции. Теорема Роджерса об изоморфизме главных универсальных функциях. Конструкция Поста перечислимого неразрешимого множества.

Листок 6

06.03.18 Теорема об иерархии по времени. Квадратичный разрыв между временем вычисления на одноленточных и многоленточных машинах.

Листок 7

13.03.18 Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами, однородный случай.

Листка на этой неделе нет

20.03.18 Разбор задач домашнего задания.
03.04.18 Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами, неоднородный случай. Бином Ньютона, комбинаторные следствия из него. Производящие функции, начало. Число разложений числа в сумму различных слагаемых равно числу разложений числа в сумму нечетных слагаемых. Разбор задач домашнего задания. Листок 8
10.04.18 Производящие функции, операции над ними: сложение, умножение на число, умножение, взятие обратных, подстановка, сдвиг вправо, производная. Переход от производящей функции последовательности к производящей функции ее частичных сумм. Нахождение коэффициентов производящих функций. Пример: формула для суммы квадратов. Нахождение коэффициентов в общем виде. Решение рекуррентных соотношений с помощью производящих функций. Листок 9
17.04.18 Теорема Холла, в терминах двудольных графов и в терминах множеств. Следствие для регулярных семейств множеств. Разложение дважды стохастических матриц. Расширение k-элементных подмножеств до различных (k+1)-элементных подмножеств. Паросочетания и вершинные покрытия в двудольных графах. Максимальные паросочетания в двудольных графах. Листок 10
Updated: 10.05.18
11.05.18 Цепи и антицепи. Разбиения на цепи и антицепи, связь с максимальными размерами цепей и антицепей. Разбиение на симметричные цепи в булевом кубе. Теорема Шпернера, LYM неравенство. Слово со всеми подмножествами в качестве подслов. Листок 11
15.05.18 Миноры и топологические миноры графов. k-связность графов. Плоские и планарные графы. Свойство плоских лесов. Свойство плоских циклов. Свойство плоских 2-связных графов. Теорема Эйлера. Непланарность K_5 и K_{3,3}. Критерий планарности графов. Листок 12
22.05.18 Коды, исправляющие ошибки. Граница Хэмминга. Граница Гилберта. Оценки объема шара. Линейные коды. Граница Варшамова-Гилберта.

Листок 13
Updated: 29.05.18

29.05.18 Код Хэмминга. Граница Синглтона. Код Рида—Соломона, его декодирование. Оценка Плоткина. Усиление оценки Синглтона над бинарным алфавитом.
05.06.18 Неравенство Фишера. Разбиение полного графа на полные двудольные.

Материалы

Игры: Черновик учебника по дискретной математике
Разрешающие деревья: H. Buhrman and R. de Wolf. Complexity Measures and Decision Tree Complexity: A Survey
Булевы схемы: Stasys Jukna, Boolean Function Complexity: Advances and Frontiers
Вычислимость: Н. К. Верещагин, А. Шень. Вычислимые функции
Рекурренты и производящие функции: MIT lecture notes
Теорема Холла, цепи и антицепи, алгебраические методы в комбинаторике: Stasys Jukna, Extremal Combinatorics
Графы: Р. Дистель, Теория графов
Коды: А. Ромащенко, А. Румянцев, А. Шень, Заметки по теории кодирования

Результаты

Таблица результатов

Источник — «http://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=Дополнительные_главы_дискретной_математики_2017/18&oldid=28119»