Дополнительные главы дискретной математики 2017/18
Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Общая информация
Дедлайны
Домашнее задание 1 дедлайн: 16 марта, 23:59 AoE
Домашнее задание 2 дедлайн: 11 мая, 13:40
Домашнее задание 3 дедлайн: 5 июня, 15:10
Задание сдается письменно.
Из каждого дз достаточно решить две задачи.
Экзамен: 15 июня, 13:40, ауд. 300
Материалы курса
| Дата | Summary | Домашнее задание |
|---|---|---|
| 16.01.18 | Сумма игр, функция Шпрага-Гранди, функция Шпрага-Гранди суммы игр. | Листок 1 |
| 23.01.18 | Разрешающие деревья, сертификатная сложность, примеры. Соотношения между сертификатной сложностью и сложностью в модели разрешающих деревьев; пример квадратичного разрыва. Чувствительность и блочная чувствительность. Обзор по теме. | Листок 2 |
| 30.01.18 | Чувствительность и блочная чувствительность: квадратичный разрыв. Сертификатная сложность не больше квадрата блочной чувствительности. Степень булевой функции. Степень не больше сложности в модели деревьев разрешения. Пример: степень квадратично больше сертификатной сложности. Пример: чувствительность больше степени. |
Листок 3 |
| 06.02.18 | Схемная сложность функции "четность" от n переменных не меньше 3n-3. Глубина булевой схемы. Булева формула. Эквивалентность схем и формул с точки зрения глубины. Теорема о балансировке булевой формулы. Эквивалентность глубины булевой схемы и размера булевой формулы. | |
| 13.02.18 | Классы функций AC^i, NC^i, иерархия. PARITY не лежит в NC^0. Сложение чисел в AC^0. PARITY не лежит в AC^0, полиномиальный метод: схемы приближаемы многочленами. | Листка на этой неделе не было |
| 20.02.18 | PARITY не лежит в AC^0, полиномиальный метод: многочлены не приближают PARITY. PARITY вычисляется AC^0 схемой глубины d и размера $2^{n^{O(1/d)}}$. Теорема Роджерса о главных универсальных функциях, начало доказательства. | |
| 27.02.18 | Теорема о существовании перечислимых неотделимых множеств. Перечислимое бесконечное множество номеров вычислимой функции. Теорема Роджерса об изоморфизме главных универсальных функциях. Конструкция Поста перечислимого неразрешимого множества. | |
| 06.03.18 | Теорема об иерархии по времени. Квадратичный разрыв между временем вычисления на одноленточных и многоленточных машинах. | |
| 13.03.18 | Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами, однородный случай. |
Листка на этой неделе нет |
| 20.03.18 | Разбор задач домашнего задания. | |
| 03.04.18 | Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами, неоднородный случай. Бином Ньютона, комбинаторные следствия из него. Производящие функции, начало. Число разложений числа в сумму различных слагаемых равно числу разложений числа в сумму нечетных слагаемых. Разбор задач домашнего задания. | Листок 8 |
| 10.04.18 | Производящие функции, операции над ними: сложение, умножение на число, умножение, взятие обратных, подстановка, сдвиг вправо, производная. Переход от производящей функции последовательности к производящей функции ее частичных сумм. Нахождение коэффициентов производящих функций. Пример: формула для суммы квадратов. Нахождение коэффициентов в общем виде. Решение рекуррентных соотношений с помощью производящих функций. | Листок 9 |
| 17.04.18 | Теорема Холла, в терминах двудольных графов и в терминах множеств. Следствие для регулярных семейств множеств. Разложение дважды стохастических матриц. Расширение k-элементных подмножеств до различных (k+1)-элементных подмножеств. Паросочетания и вершинные покрытия в двудольных графах. Максимальные паросочетания в двудольных графах. | Листок 10 Updated: 10.05.18 |
| 11.05.18 | Цепи и антицепи. Разбиения на цепи и антицепи, связь с максимальными размерами цепей и антицепей. Разбиение на симметричные цепи в булевом кубе. Теорема Шпернера, LYM неравенство. Слово со всеми подмножествами в качестве подслов. | Листок 11 |
| 15.05.18 | Миноры и топологические миноры графов. k-связность графов. Плоские и планарные графы. Свойство плоских лесов. Свойство плоских циклов. Свойство плоских 2-связных графов. Теорема Эйлера. Непланарность K_5 и K_{3,3}. Критерий планарности графов. | Листок 12 |
| 22.05.18 | Коды, исправляющие ошибки. Граница Хэмминга. Граница Гилберта. Оценки объема шара. Линейные коды. Граница Варшамова-Гилберта. |
Листок 13 |
| 29.05.18 | Код Хэмминга. Граница Синглтона. Код Рида—Соломона, его декодирование. Оценка Плоткина. Усиление оценки Синглтона над бинарным алфавитом. | |
| 05.06.18 | Неравенство Фишера. Разбиение полного графа на полные двудольные. |
Материалы
Игры: Черновик учебника по дискретной математике
Разрешающие деревья: H. Buhrman and R. de Wolf. Complexity Measures and Decision Tree Complexity: A Survey
Булевы схемы: Stasys Jukna, Boolean Function Complexity: Advances and Frontiers
Вычислимость: Н. К. Верещагин, А. Шень. Вычислимые функции
Рекурренты и производящие функции: MIT lecture notes
Теорема Холла, цепи и антицепи, алгебраические методы в комбинаторике: Stasys Jukna, Extremal Combinatorics
Графы: Р. Дистель, Теория графов
Коды: А. Ромащенко, А. Румянцев, А. Шень, Заметки по теории кодирования
