Введение в дифференциальную геометрию 23/24 — различия между версиями
(→Краткое содержание лекций) |
(→ДЗ) |
||
Строка 44: | Строка 44: | ||
|- | |- | ||
| ДЗ-8 || [https://disk.yandex.ru/i/aYYrKi8-dFUpHQ ссылка] | | ДЗ-8 || [https://disk.yandex.ru/i/aYYrKi8-dFUpHQ ссылка] | ||
+ | |- | ||
+ | | ДЗ-9 || [https://disk.yandex.ru/i/zi3WIu3hqobTJA ссылка] | ||
|} | |} | ||
Версия 14:51, 15 марта 2024
Преподаватели
Расписание занятий
Занятия по вторникам с 11:10 до 14:20 очно.
Записи лекций доступны по ссылке.
Краткое содержание лекций
Лекция 1 (16.01.2024). Топологические пространства, открытые и замкнутые множества. Классификация открытых на прямой. Тополоические пространства из 2 элементов. Хаусдорфовость. База топологии, база окрестностей точки. Минимальная топология порожденная семейством. Метрические пространства и порожденная метрикой топология, база из шаров. Непрерывные отображения (локальная непрерывность и глобальная непрерывность). Свойства линейной связности. Свойство связности. Связность отрезка. Гомеоморфизм. Примеры гомеоморфных и негомеоморфных пространств. Подпространство и фактор пространство топологического пространства. Дизъюнктное объединение и произведение топологических пространств.
Лекция 2 (23.01.2024). Определение топологического многообразия.
Лекция 3 (30.01.2024). Структура многообразия на матрицах фиксированного ранга. Примеры нехаусдорфовой склейки. Пример отсутствия счетной базы. Гладкое многообразие, понятие карты и атласа. Разные степени гладкости. Стандартный атлас в R^n. Пример нестандартной гладкой структуры в R. Примеры гладких структур на S^n, матрицах, невырожденных матрицах, матрицах фиксированного ранга. Гладкие отображения, независимость гладкости в точке от выбора координатных окрестностей. Понятие диффеоморфизма (изоморфизм для гладких многообразий). Ранг гладкого отображения в точке и его корректность (независимость от выбора координат).
Лекция 4 (06.02.2024). Теорема о неявной функции. Классификация отображений постоянного ранга. Погружения и вложения. Примеры: неинъективное погружение, инъективное погружение, но не вложение, вложение. Понятие подмногообразия. Локальное продолжение функций с подмногообразия. Единственность гладкой структуры на подмногообразии.
Лекция 5 (13.02.2024). Разбор ДЗ.
Лекция 6 (20.02.2024). Касательное пространство, три конструкции: в координатах, через скорости кривых и через дифференцирования в точке (последнее в бесконечно гладком и аналитическом случае). Дифференциал отображения (на всех трех языках). Дифференциал функции, базисы в косательном и кокосательном пространстве индуцированные системой координат. Гладкие векторные поля и их связь с дифференцированиями функций (в бесконечно гладком и аналитическом случае).
Лекция 7 (27.02.2024). Объяснение необходимости тензорных полей. Определение тензорного поля и его примеры. Гладкость тензорнонго поля. Поточечные операции над тензорными полями: структура векторного простанства, тензорное умножение, свертка. Примеры операций.
Лекция 8 (05.03.2024). Связаность (ковариантная производная). Аксиоматическое определение связности (в смысле дифференциала). Описание связности в карте, символы Кристофеля. Условие согласованности символов Кристофеля между картами. Аналоги частных производных и производная по направлению. Пример символов Кристофеля для полярной системы координат (при условии, что в исходной системе символы Кристофеля нулевые). Римановы многообразия и их отображения. Примеры. Понятие длины пути. Задание метрики: 1) Вложение в R^n, 2) Склейка метрик через разбиение единицы.
ДЗ
Дедлайны по ДЗ через неделю после выдачи, перед началом следующей лекции. На лекции проводится разбор ДЗ.
ДЗ-1 | ссылка |
ДЗ-2 | ссылка |
ДЗ-3 | ссылка |
ДЗ-4 | ссылка |
ДЗ-6 | ссылка |
ДЗ-8 | ссылка |
ДЗ-9 | ссылка |
Решённые задачи надо отметить в табличке.
Ссылки
Группа в Telegram
Лекции с воркшопа в Линце по теории гравитации и света. Тут очень хорошие лекции по дифгему, которые очень близки к содержанию курса, но будут и отличия.