Эллиптические функции 23/24 — различия между версиями

Версия 22:09, 6 октября 2023

О курсе

Цель курса — познакомить слушателей с эллиптическим функциями. С одной стороны, они представляю собой аналитический инструмент для изучения эллиптических кривых. С другой стороны, как и другие представители мира специальных функций, они оказываются средством решения прикладных задач. Простейший пример — задача об описании движения математического маятника, точное решение которой описывается именно в терминал эллиптических функций. Ну, а если смотреть шире, то эллиптические функции — это один из важных шагов в глубины аналитической теории чисел: в теорию модулярных форм, в теорию представлений чисел квадратичными формами, ...

Предварительная программа

1. Поле эллиптических функций. (Двоякопериодические функции. P-функция Вейерштрасса. Эллиптические кривые в форме Вейерштрасса. Закон сложения точек на эллиптической кривой. Точки конечного порядка на эллиптических кривых.
2. Функции Вейерштрасса. (Сигма- и дзета-функции Вейерштрасса. Выражение произвольной эллиптической функции посредством сигма- и дзета-функций Вейерштрасса. Теоремы сложения для функций-Вейерштрасса.)
3. Модулярные формы. (Ряды Эйзенштейна. Размерность пространства модулярных форм данного веса. Связь с эллиптическим функциями.
4. Функции Якоби. (Тэта-функции. Эллиптические интегралы. Римановы поверхности иррациональных функций. Функции Якоби и их свойства. Теоремы сложения.)
5. Приложения эллиптических функций в механике, математической физике и теории чисел.

Полезные ссылки

Приглашение в Гугл-классрум

Правила выставления оценок

Лекции

Лекция 1 (29.09.2023) Периодические функции. Теорема Якоби о периодах. Поле эллиптических функций. Теоремы Лиувилля (формулировки). [A, стр. 7-11, 14-16]

Лекция 2 (06.10.2023) P-функция Вейерштрасса. Теорема о сходимости определяющего ряда. Периодичность P-функции Вейерштрасса. Двукратные точки P-функции. [К, стр. 23-28]

Домашние задания

• ДЗ №1 (выдача: 06.10.2023, дедлайн: 13.10.2023)

Контрольная работа

Экзамен

Оценка

Книги

Основная литература

1. [A] Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. Изд-во "Наука", Москва, 1970
2. [К] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. М., "Мир", 1988
3. [WW] E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge University Press, 1927

Дополнительная литература

1. [Ch] Chandrasekharan K. Elliptic functions, 1985
2. [AE] Armitage J. V., Eberlein W. F. Elliptic functions, 2006