Эллиптические функции 23/24

О курсе

Цель курса — познакомить слушателей с эллиптическим функциями. С одной стороны, они представляю собой аналитический инструмент для изучения эллиптических кривых. С другой стороны, как и другие представители мира специальных функций, они оказываются средством решения прикладных задач. Простейший пример — задача об описании движения математического маятника, точное решение которой описывается именно в терминал эллиптических функций. Ну, а если смотреть шире, то эллиптические функции — это один из важных шагов в глубины аналитической теории чисел: в теорию модулярных форм, в теорию представлений чисел квадратичными формами, ...

Предварительная программа

1. Поле эллиптических функций. (Двоякопериодические функции. P-функция Вейерштрасса. Эллиптические кривые в форме Вейерштрасса. Закон сложения точек на эллиптической кривой. Точки конечного порядка на эллиптических кривых.
2. Функции Вейерштрасса. (Сигма- и дзета-функции Вейерштрасса. Выражение произвольной эллиптической функции посредством сигма- и дзета-функций Вейерштрасса. Теоремы сложения для функций-Вейерштрасса.)
3. Модулярные формы. (Ряды Эйзенштейна. Размерность пространства модулярных форм данного веса. Связь с эллиптическим функциями.
4. Функции Якоби. (Тэта-функции. Эллиптические интегралы. Римановы поверхности иррациональных функций. Функции Якоби и их свойства. Теоремы сложения.)
5. Приложения эллиптических функций в механике, математической физике и теории чисел.

Полезные ссылки

Приглашение в Гугл-классрум.

Функции Вейерштрасса и модулярные функции в цифровой библиотеке специальных функций.

Лекции

Лекция 1 (29.09.2023) Периодические функции. Теорема Якоби о периодах. Поле эллиптических функций. Теоремы Лиувилля (формулировки). [A, стр. 7-11, 14-16]

Лекция 2 (06.10.2023) P-функция Вейерштрасса. Теорема о сходимости определяющего ряда. Периодичность P-функции Вейерштрасса. Двукратные точки P-функции. [К, стр. 23-28]

Лекция 3 (13.10.2023) Принцип аргумента. Пятая теорема Лиувилля. [A, стр. 17-18] Разложение P-функции Вейерштрасса в ряд Лорана. Дифференциальное уравнение для P-функции. [К, стр. 33-35]

Лекция 4 (20.10.2023) Униформизация эллиптической кривой. Закон сложения на эллиптической кривой. Сложение точек на эллиптической кривой над полем характеристики отличной от 2. [К, стр. 41-47]

Лекция 5 (03.11.2023) Выражение произвольной эллиптической функции через Р-функцию Вейерштрасса и её производную. [К, стр. 28-32] Дзета- и сигма функции Вейерштрасса, их свойства. [A, стр. 52-56]

Лекция 6 (10.11.2023) Выражение произвольной эллиптической функции через сигма-функцию Вейерштрасса. Разложение произвольной эллиптической функции по её полюсам (разложение через дзета-функцию Вейерштрасса, Р-функцию и её производные. Теоремы сложения для функций Вейерштрасса. Результант. Наличие дифференциального уравнения и теоремы сложения для произвольной эллиптической функции. [А, стр. 56-65]

Лекция 7 (17.11.2023) Модулярная группа и её фундаментальная область. [К, стр. 122-127]

Лекция 8 (21.11.2023, перенос с 24.11) Топология пространства Н. Модулярные функции и формы. [К, стр. 128-131, 135-137]

Лекция 9 (01.12.2023) Описание пространства модулярных форм данного веса. Модулярный инвариант j и описание множества модулярных функций веса 0. [К, стр. 143-148]

Лекция 10 (08.12.2023) Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма. [Сол]

Домашние задания

• ДЗ №1 (выдача: 06.10.2023, дедлайн: 13.10.2023)
• ДЗ №2 (выдача: 14.10.2023, дедлайн: 20.10.2023)
• ДЗ №3 (выдача: 27.10.2023, дедлайн: 03.11.2023)
• ДЗ №4 (выдача: 04.11.2023, дедлайн: 10.11.2023)
• ДЗ №5 (выдача: 10.11.2023, дедлайн: 17.11.2023)
• ДЗ №6 (выдача: 18.11.2023, дедлайн: 24.11.2023)
• ДЗ №7 (выдача: 22.11.2023, дедлайн: 01.12.2023)
• ДЗ №8 (выдача: 02.12.2023, дедлайн: 08.12.2023)

Коллоквиум и экзамен

Программа коллоквиума Программа экзамена

Экзамен будет 15 декабря.

Оценка

Итог = min(10, Округление(0.45 * ДЗ + 0.3 * Кол + 0.3 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

Книги

Основная литература

1. [A] Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. Изд-во "Наука", Москва, 1970
2. [К] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. М., "Мир", 1988
3. [Сол] Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма. Соросовский Образовательный Журнал, № 2, 1998.

Дополнительная литература

1. [Серр] Серр, Ж.-П. Курс арифметики 1972.
2. [AE] Armitage J. V., Eberlein W. F. Elliptic functions, 2006
3. [Ap] Apostol T. M. Modular functions and Dirichlet series in number theory, 1990
4. [Ch] Chandrasekharan K. Elliptic functions, 1985
5. [L] Lawden D. F. Elliptic functions and applications. 1989
6. [WW] E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge University Press, 1927