Текущая версия на 09:50, 26 июня 2023

Преподаватели и учебные ассистенты

Расписание консультаций

Порядок формирования оценок

Итоговая оценка выражается следующим образом:

O_{итоговая} = 0,3 * О_дз + 0,2 * О_к/р + 0,5 * О_экз.

Округление производится для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

Краткое содержание лекций

В этом разделе выложены конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.

• Лекция 1 (04.04.2022) Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы матриц и группы подстановок. Подгруппы. Классификация подгрупп в группе (Z,+).

• Лекция 2 (07.04.2023) Циклические подгруппы и порядок элемента. Циклические группы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия. Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

• Лекция 3 (11.04.2023) Гомоморфизмы и изоморфизмы. Классификация циклических групп. Теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.

• Лекция 4 (18.04.2023) Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Характеризация базисов. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах (формулировка).

• Лекция 5 (21.04.2023) Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду. Теорема о согласованных базисах. Инвариантные множители. Строение конечно порождённых абелевых групп (без доказательства единственности). Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности.

• Лекция 6 (25.04.2023) Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Изоморфизм действий. Теорема Кэли.

• Лекция 7 (11.05.2023) Основные понятия криптографии с открытым ключем. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи-Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль-Гамаля. Протоколы с нулевым разглашением: три примера. Задача разделения секрета: метод Шамира и метод Блейкли.

• Лекция 8 (16.05.2023) Кольца. Примеры колец. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы.

• Лекция 9 (23.05.2023) Главные идеалы. Факторкольца и теорема о гомоморфизме для колец. Многочлены от одной переменной над полем: наибольший общий делитель, неприводимые многочлены, однозначность разложения на множители и описание идеалов. Центр алгебры матриц над полем. Простота алгебры матриц над полем.

• Лекция 10 (26.05.2023) Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Лемма о старшем члене. Теорема Виета. Дискриминант многочлена.

• Лекция 11 (30.05.2023) Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальные многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность.

• Лекция 12 (06.06.2023) Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырех элементов. Цикличность мультипликативной группы. Реализация конечного поля как факторкольца. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.

• Лекция 13 (09.06.2023) Вопросы о существовании решения и о конечности числа решений произвольной системы полиномиальных уравнений. Случай систем линейных уравнений. Формулировка теоремы Гильберта о базисе. Нетеровы кольца и условие обрыва возрастающих цепочек идеалов. Задача о принадлежности многочлена идеалу. Алгоритм деления в случае главного идеала.

• Лекция 14 (13.06.2023) Алгоритм деления. Оператор редукции. Нормальная форма многочлена. Идеал старших членов и определение базис Грёбнера идеала. S-многочлены и критерий Бухбергера.

• Лекция 15 (20.06.2023) Алгоритм Бухбергера. Минимальный базис Грёбнера, его существование и единственность. Задачи о принадлежности идеалу и совпадении двух идеалов. Радикал идеала. Теорема Гильберта о нулях. Задачи о наличии решения, принадлежности радикалу, эквивалентности систем и конечности числа решений.

Листки с задачами

Листок с задачами к лекции N содержит в себе N-е домашнее задание. Дедлайн по N-му домашнему заданию: начало постоянного (не мигающего) семинара на N+1-й неделе.

• Листок 1

• Листок 2

• Листок 3

• Листок 4 Дедлайны: 221 - 12 мая, 222 - 15 мая, 223 - 16 мая, 224 - 10 мая.

• Листок 5

• Листок 6

• Листок 7

• Листок 8

• Листок 9

• Листок про базисы Грёбнера

Контрольная работа

Контрольная работа состоится 19.06 с 18:10 до 20:10. Ауд. R401: 221, 222 группы; ауд. R404: 223, 224 группы.

Работа проводится письменно и включает в себя 6 задач. На решение задач отводится 120 минут. Во время контрольной запрещено использование средств связи и материалов.

Экзамен

Экзамен состоится 26 июня.

Регламент экзамена (обновляется).

Программа курса

Вопросы

Расписание экзамена (может изменяться в течение дня)

Ведомости текущего контроля

Куда сдавать домашние задания

Номер группы определяется ведомостью (см. выше).

• 221: classroom
• 222: код google classroom для сдачи работ: ojmzumw
• 223: код google classroom для сдачи работ: 26r3o7k
• 224: classroom

Литература

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.