Алгебра на ПМИ 2022/2023 (пилотный поток)

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Перейти к: навигация, поиск

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа БПМИ221 БПМИ222 БПМИ223 БПМИ224
Лектор Аржанцев Иван Владимирович
Семинарист Зайцева Юлия Ивановна Перепечко Александр Юрьевич Максаев Артем Максимович Калеева Галина Анатольевна
Ассистент Мырзатай Айбек Горчаков Владимир Демин Александр Романеева Нина

Расписание консультаций

Преподаватель/ассистент понедельник вторник среда четверг пятница суббота воскресенье
1
 Аржанцев Иван Владимирович 17:40 до 19:00 (обязательно по предварительной записи)
2
 Зайцева Юлия Ивановна 16:20-18:00, S828 19:00-20:00, Zoom (пишите @yzaitseva)
3
 Калеева Галина Анатольевна 18.00-19.00, zoom по предварительной записи
4
 Максаев Артем Максимович 16:00-18:00, T909, предварительно предупредите
5
 Перепечко Александр Юрьевич 19:30-20:30, Zoom (пишите заранее @aperep)
6
 Горчаков Владимир zoom: 19:00- 20:00, предварительно напишите, пожалуйста, в тг: @toway3
7
 Демин Александр zoom 19:00-20:00, предварительно пишите @sumiya21
8
 Мырзатай Айбек zoom 19:00-20:00, среди недели по договоренности @eyebaek
9
 Романеева Нина zoom: понедельник 19:00-20:00, среди недели по договорённости.

Порядок формирования оценок

Итоговая оценка выражается следующим образом:

Oитоговая = 0,3 * Одз + 0,2 * Ок/р + 0,5 * Оэкз.

Округление производится для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

Краткое содержание лекций

В этом разделе выложены конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.

  • Лекция 1 (04.04.2022) Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы матриц и группы подстановок. Подгруппы. Классификация подгрупп в группе (Z,+).
  • Лекция 2 (07.04.2023) Циклические подгруппы и порядок элемента. Циклические группы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия. Нормальные подгруппы. Факторгруппы.
  • Лекция 3 (11.04.2023) Гомоморфизмы и изоморфизмы. Классификация циклических групп. Теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.
  • Лекция 4 (18.04.2023) Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Характеризация базисов. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах (формулировка).
  • Лекция 5 (21.04.2023) Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду. Теорема о согласованных базисах. Инвариантные множители. Строение конечно порождённых абелевых групп (без доказательства единственности). Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности.
  • Лекция 6 (25.04.2023) Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Изоморфизм действий. Теорема Кэли.
  • Лекция 7 (11.05.2023) Основные понятия криптографии с открытым ключем. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи-Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль-Гамаля. Протоколы с нулевым разглашением: три примера. Задача разделения секрета: метод Шамира и метод Блейкли.
  • Лекция 8 (16.05.2023) Кольца. Примеры колец. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы.
  • Лекция 9 (23.05.2023) Главные идеалы. Факторкольца и теорема о гомоморфизме для колец. Многочлены от одной переменной над полем: наибольший общий делитель, неприводимые многочлены, однозначность разложения на множители и описание идеалов. Центр алгебры матриц над полем. Простота алгебры матриц над полем.
  • Лекция 10 (26.05.2023) Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Лемма о старшем члене. Теорема Виета. Дискриминант многочлена.
  • Лекция 11 (30.05.2023) Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальные многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность.
  • Лекция 12 (06.06.2023) Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырех элементов. Цикличность мультипликативной группы. Реализация конечного поля как факторкольца. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.
  • Лекция 13 (09.06.2023) Вопросы о существовании решения и о конечности числа решений произвольной системы полиномиальных уравнений. Случай систем линейных уравнений. Формулировка теоремы Гильберта о базисе. Нетеровы кольца и условие обрыва возрастающих цепочек идеалов. Задача о принадлежности многочлена идеалу. Алгоритм деления в случае главного идеала.
  • Лекция 14 (13.06.2023) Алгоритм деления. Оператор редукции. Нормальная форма многочлена. Идеал старших членов и определение базис Грёбнера идеала. S-многочлены и критерий Бухбергера.
  • Лекция 15 (20.06.2023) Алгоритм Бухбергера. Минимальный базис Грёбнера, его существование и единственность. Задачи о принадлежности идеалу и совпадении двух идеалов. Радикал идеала. Теорема Гильберта о нулях. Задачи о наличии решения, принадлежности радикалу, эквивалентности систем и конечности числа решений.

Листки с задачами

Листок с задачами к лекции N содержит в себе N-е домашнее задание. Дедлайн по N-му домашнему заданию: начало постоянного (не мигающего) семинара на N+1-й неделе.

  • Листок 4 Дедлайны: 221 - 12 мая, 222 - 15 мая, 223 - 16 мая, 224 - 10 мая.

Контрольная работа

Контрольная работа состоится 19.06 с 18:10 до 20:10. Ауд. R401: 221, 222 группы; ауд. R404: 223, 224 группы.

Работа проводится письменно и включает в себя 6 задач. На решение задач отводится 120 минут. Во время контрольной запрещено использование средств связи и материалов.

Экзамен

Экзамен состоится 26 июня.

Регламент экзамена (обновляется).

Программа курса

Вопросы

Расписание экзамена (может изменяться в течение дня)

Ведомости текущего контроля

221 222 223 224

Куда сдавать домашние задания

Номер группы определяется ведомостью (см. выше).

  • 221: classroom
  • 222: код google classroom для сдачи работ: ojmzumw
  • 223: код google classroom для сдачи работ: 26r3o7k
  • 224: classroom

Литература

  • Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
  • Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
Источник — «http://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=Алгебра_на_ПМИ_2022/2023_(пилотный_поток)&oldid=78587»