|
|
(не показана одна промежуточная версия этого же участника) |
Строка 16: |
Строка 16: |
| Данный курс '''Математический анализ - 2''' читается в 2021/2022 учебном году на основном потоке образовательной программы "Прикладная Математика и Информатика" Факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ. Курс разбит на 2 части: 2.1 (первый семестр) и 2.2 (второй семестр). | | Данный курс '''Математический анализ - 2''' читается в 2021/2022 учебном году на основном потоке образовательной программы "Прикладная Математика и Информатика" Факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ. Курс разбит на 2 части: 2.1 (первый семестр) и 2.2 (второй семестр). |
| | | |
− | Курс первого семестра состоит из следующих разделов: числовые и функциональные ряды, кратные интегралы. | + | Курс второго семестра состоит из следующих разделов: интегралы с параметрами, ряды Фурье, введение в комплексный анализ. |
| | | |
− | == Лекции и зачеты по теории == | + | == Лекции == |
− | | + | |
− | === О лекциях ===
| + | |
| | | |
| Видеозаписи лекций выкладываются в [https://www.youtube.com/playlist?list=PLEwK9wdS5g0qMn4FnA9fjmA_m6u-L7n7- плейлист] | | Видеозаписи лекций выкладываются в [https://www.youtube.com/playlist?list=PLEwK9wdS5g0qMn4FnA9fjmA_m6u-L7n7- плейлист] |
| | | |
− | Ссылки в оглавлении лекций:
| + | Содержание лекций [https://docs.google.com/document/d/1f5h7YlDaj0XbCMXGiScWx3CeK2oc6g3DAaWiMlSkdKc/edit?usp=sharing тут] |
− | ['''Ф'''123] - пункт 123 в учебнике Фихтенгольца издания 1969г. Нумерация пунктов в этом учебнике сплошная.
| + | |
− | ['''З'''11.6] - глава 11, параграф 6 в учебнике Зорича. Нумерация глав - сплошная.
| + | |
| | | |
− | === О зачетах по теории === | + | == Семинары == |
| | | |
− | Письменный зачет по теории проводится на последнем семинаре модуля. Состоит из 3 теоретических заданий на 80 минут. Теоретические задания представляют собой вопросы на знание определений и свойств объектов, а также на формулировки и доказательства теорем (в рамках изложенного на лекциях). Список теоретических заданий публикуется заранее (не менее, чем за неделю до зачета).
| + | === Модуль 3 === |
| | | |
− | === Модуль 1 ===
| + | ''' Семинар 1 ''' |
− | '''I. Числовые и функциональные ряды''' | + | Собственные интегралы, зависящие от параметра. [https://drive.google.com/file/d/1dOIiv5glvOO9pD7aatjpEVYkMAz7k4aN/view?usp=sharing Задачи] |
| | | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | ''' Семинар 2 ''' |
− | ''' Лекция 1.1 ''' (06.09.21) | + | Равномерная сходимость семейства функций. [https://drive.google.com/file/d/18UYj4o1ex_zTwtMom90GedT71GALLluk/view?usp=sharing Задачи] |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | :1. Введение
| + | |
| | | |
− | ::1.1 Основные понятия ['''Ф'''362]
| + | ''' Семинар 3 ''' |
| + | Равномерная сходимость несобственного интеграла. [https://drive.google.com/file/d/12vwWZHBH_lK6LEexNqsp3ZA-K0jtS6fC/view?usp=sharing Задачи] |
| | | |
− | ::1.2 Необходимое условие сходимости ряда ['''Ф'''364]
| + | ''' Семинар 4 ''' |
| + | Непрерывность несобственного интеграла и именные интегралы. [https://drive.google.com/file/d/1o8IWWjYdylSJWUHm3Aey-uawpIA37QTS/view?usp=sharing Задачи] |
| | | |
− | ::1.3 Критерий Коши сходимости ряда ['''Ф'''376]
| + | ''' Семинар 5 ''' |
| + | Дифференцируемость и интегрируемость несобственного интеграла. [https://drive.google.com/file/d/1ISQdl1XaLlNUpWjbXMDye7ySzf5LcJV8/view?usp=sharing Задачи] |
| | | |
− | ::1.4 Примеры | + | ''' Семинар 6 ''' |
| + | Эйлеровы интегралы. [https://drive.google.com/file/d/1ZZqK1aPbfDo3M62CWnTnIQHxoyEbV8jP/view?usp=sharing Задачи] |
| | | |
− | :2. Положительные ряды | + | ''' Семинар 7 ''' |
| + | Ортонормированные системы и ряды Фурье. [https://drive.google.com/file/d/12HcGwxaBCu8n8iAg6G3G4YBtDwB3sfQ2/view?usp=sharing Задачи] |
| | | |
− | ::2.1 Введение ['''Ф'''365]
| + | ''' Семинар 8 ''' |
| + | Сходимость рядов Фурье. Равенство Парсеваля. [https://drive.google.com/file/d/15mAKEij9NmJhqyw86AAPWLs14fXdU48k/view?usp=sharing Задачи] |
| | | |
− | ::2.2 Признаки сравнения ['''Ф'''366]
| + | ''' Семинар 9 ''' |
| + | Ряды Фурье (продолжение). [https://drive.google.com/file/d/1IzQAsEUykbbstTcyGrAWX_lPWU-_E58H/view?usp=sharing Задачи] |
| | | |
− | ::2.3 Сравнение скорости сходимости (расходимости) | + | ''' Семинар 10 ''' |
| + | Преобразование Фурье. [https://drive.google.com/file/d/1hPq3yRoJNGwqo_FQoawW6hkLG53kmr4g/view?usp=sharing Задачи] |
| | | |
− | Дополнение. Теорема Штольца ['''Ф'''33]
| + | ''' Семинар 11 ''' |
− | </div></div>
| + | Дополнительные плюшки по пройденному материалу |
| | | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | === Модуль 4 === |
− | ''' Лекция 1.2 ''' (11.09.21)
| + | |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | ::2.4 Отсутствие универсального ряда сравнения ['''Ф'''375]
| + | |
| | | |
− | ::2.5 Признак Лобачевского - Коши ['''Ф'''375]
| + | '''Семинар 12 ''' |
| + | Комплексная плоскость. [https://drive.google.com/file/d/1u7kkMwEMMCWKY_f2moUUbgQiuJUAoQUU/view?usp=sharing Задачи] |
| | | |
− | ::2.6 Оценка частичных сумм гармонического ряда | + | '''Семинар 13''' |
| + | Непрерывность и дифференцируемость. [https://drive.google.com/file/d/1KhEAB-1EeFqIcbblYsihkk1cp6ZkPh8H/view?usp=sharing Задачи] |
| | | |
− | ::2.7 Признак Даламбера ['''Ф'''368]
| + | '''Семинар 14''' |
| + | Сфера Римана. Дробно-линейные отображения. [https://drive.google.com/file/d/1Lu1YIWZbovn3u7dZWkrMdz6BvpZ4UfJG/view?usp=sharing Задачи] |
| | | |
− | </div></div>
| + | '''Семинар 15''' |
| + | Интегрирование вдоль пути, формула Ньютона-Лейбница. [https://drive.google.com/file/d/1qKa_z6wtVnwPPZBeKjdwFpodVh1v-aeB/view?usp=sharing Задачи] |
| | | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | '''Семинар 16''' |
− | ''' Лекция 1.3 ''' (13.09.21) | + | Интегральная теорема Коши и интегральная формула Коши. [https://drive.google.com/file/d/1ZA1HwVyMhk7gEOPL6gEonvFiCO3T9HJm/view?usp=sharing Задачи] |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | ::2.8 Радикальный признак Коши ['''Ф'''368]
| + | |
| | | |
− | ::2.9 Радикальный признак Коши сильнее признака Даламбера | + | '''Семинар 17''' |
| + | Интегральная формула Коши для производных. [https://drive.google.com/file/d/1BrIH_S_5OsmxDi62yxtB6o38MU1Y3ZYp/view?usp=sharing Задачи] |
| | | |
− | ::2.10 Признак Гаусса ['''Ф'''372]
| + | '''Семинар 18''' |
| + | Степенные ряды. [https://drive.google.com/file/d/1tCgUij1SlcAr3rBfKDgRLj9Tm4n15ZxC/view?usp=sharing Задачи] |
| | | |
− | ::2.11 Улучшение сходимости ряда ['''Ф'''415]
| + | '''Семинар 19''' |
| + | Изолированные особые точки. Вычеты. [https://drive.google.com/file/d/1PAR8cFsI3AhpGBCJi1yEpea4wXbG0oNO/view?usp=sharing Задачи] |
| | | |
− | ::2.12 Сравнение с интегралом ['''Ф'''373]
| + | == Домашние задания == |
| | | |
− | </div></div>
| + | В листке отдельно указано ДЗ. |
| | | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | Каждая задача ДЗ оценивается по системе 0-1-2 (без дробных баллов). Баллы за ДЗ в течение семестра суммируются и сумма масштабируется в 10-балльную шкалу. |
− | ''' Лекция 1.4 ''' (18.09.21)
| + | |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | :3. Знакопеременные ряды
| + | |
| | | |
− | Внимание! В учебнике Фихтенгольца другая (устаревшая) терминология (знакопеременным рядом там называется то, что теперь принято называть знакочередующимся).
| + | == Контрольные работы == |
| | | |
− | ::3.1 Абсолютная и условная сходимость | + | По темам семинаров 1-5 пройдет КР1 21 февраля в 13:00 -- 14:30. Нулевой вариант для тренировки: [https://drive.google.com/file/d/1_kZhOMyuRcmgFmWbKdgu-Jz_9IvbCrHz/view?usp=sharing тут] |
| | | |
− | ::3.2 Мажорантный признак Вейерштрасса ['''Ф'''377] | + | По темам семинаров 6-10, 12-13 пройдет КР2 18 апреля в 13:00 -- 14:30. Нулевой вариант для тренировки: [https://drive.google.com/file/d/1xbhX54-YhIfzklGpWYL7uu7K32VoGE2E/view?usp=sharing тут] |
| | | |
− | ::3.3 Положительная и отрицательная части вещественного ряда | + | По темам семинаров 14-19 пройдет КР3 20 июня в 11:00 -- 12:30. Нулевой вариант для тренировки: [https://drive.google.com/file/d/1h0AqxvdtKLp_gDD82B50P8hIz37J9e70/view?usp=sharing тут] |
| | | |
− | ::3.4 Абсолютная и условная сходимость комплексного ряда
| + | == Коллоквиумы == |
| | | |
− | ::3.5 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница ['''Ф'''381] | + | КЛ1 пройдет 12 марта очно (для 206 группы 15 марта онлайн). Список вопросов [https://docs.google.com/document/d/1y7a-8PgMX2JpUjGXMHOBuBu4yZJ1_YK_AtjRkg7oXlo/edit?usp=sharing тут] |
| | | |
− | ::3.6 О неприменимости эквивалентности и применении асимптотики общего члена
| + | КЛ2 пройдет 4 июня очно (для 206 группы 7 июня онлайн). Список вопросов [https://docs.google.com/document/d/1UHF-0dlLDzuh-TTUb7l32sxZrKbsct8FHZWI-reb5pE/edit?usp=sharing тут] |
− | | + | |
− | </div></div>
| + | |
− | | + | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | |
− | ''' Лекция 1.5 ''' (20.09.21)
| + | |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | ::3.7 Группировка членов ряда. Приведение знакопеременного ряда к знакочередующемуся ['''Ф'''386]
| + | |
− | | + | |
− | ::3.8 Формула Абеля суммирования по частям. Признаки Абеля и Дирихле ['''Ф'''383, 384]
| + | |
− | | + | |
− | ::3.9 Независимость суммы абсолютно сходящегося ряда от перестановки его слагаемых ['''Ф'''387]
| + | |
− | </div></div>
| + | |
− | | + | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | |
− | ''' Лекция 1.6 ''' (25.09.21)
| + | |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | ::3.10 Влияние перестановки слагаемых на сумму условно сходящегося ряда. Теорема Римана ['''Ф'''388]
| + | |
− | | + | |
− | ::3.11 Умножение рядов ['''Ф'''389]
| + | |
− | | + | |
− | :4. Бесконечные произведения
| + | |
− | | + | |
− | ::4.1 Терминология ['''Ф'''399]
| + | |
− | | + | |
− | ::4.2 Сходимость бесконечного произведения ['''Ф'''401]
| + | |
− | | + | |
− | ::4.3 Абсолютная сходимость бесконечного произведения ['''Ф'''401]
| + | |
− | | + | |
− | ::4.4 Пример: разложение sin в бесконечное произведение (без доказательства) ['''Ф'''408]
| + | |
− | </div></div>
| + | |
− | | + | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | |
− | ''' Лекция 1.7 ''' (27.09.21)
| + | |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | :5. Функциональные последовательности
| + | |
− | | + | |
− | ::5.1 Поточечная и равномерная сходимость. Равномерная норма ['''З'''16.1, '''Ф'''428]
| + | |
− | | + | |
− | ::5.2 Критерий Коши равномерной сходимости ['''З'''16.1, '''Ф'''429]
| + | |
− | | + | |
− | ::5.3 Свойства равномерно сходящихся последовательностей
| + | |
− | | + | |
− | ::5.4 Сходимость последовательности непрерывных функций. Теорема Дини о монотонной сходимости ['''З'''16.3, '''Ф'''431]
| + | |
− | | + | |
− | ::5.5 Неравномерная сходимость: исследование граничной точки
| + | |
− | </div></div>
| + | |
− | | + | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | |
− | ''' Лекция 1.8 ''' (02.10.21)
| + | |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | ::5.6 Предельный переход в равномерно сходящейся последовательности ['''З'''16.3, '''Ф'''436]
| + | |
− | | + | |
− | ::5.7 Дифференцирование равномерно сходящейся последовательности ['''З'''16.3, '''Ф'''436]
| + | |
− | | + | |
− | ::5.8 Интегрирование равномерно сходящейся последовательности ['''З'''16.3, '''Ф'''436]
| + | |
− | | + | |
− | :6. Равномерная сходимость функционального ряда
| + | |
− | | + | |
− | ::6.1 Терминология ['''Ф'''428]
| + | |
− | | + | |
− | ::6.2 Необходимое условие равномерной сходимости ['''З'''16.2]
| + | |
− | | + | |
− | ::6.3 Критерий Коши равномерной сходимости ['''З'''16.2, '''Ф'''429]
| + | |
− | </div></div>
| + | |
− | | + | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | |
− | ''' Лекция 1.9 ''' (04.10.21)
| + | |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | ::6.4 Мажорантный признак Вейерштрасса абсолютной и равномерной сходимости ['''З'''16.2, '''Ф'''430]
| + | |
− | | + | |
− | ::6.5 Признаки Дирихле, Абеля и Лейбница равномерной сходимости ['''З'''16.2, '''Ф'''430]
| + | |
− | | + | |
− | ::6.6 Почленный предельный переход в равномерно сходящемся ряде ['''З'''16.3, '''Ф'''433]
| + | |
− | | + | |
− | ::6.7 Почленное дифференцирование равномерно сходящегося ряда ['''З'''16.3, '''Ф'''435]
| + | |
− | | + | |
− | ::6.8 Почленное интегрирование равномерно сходящегося ряда ['''З'''16.3, '''Ф'''434]
| + | |
− | </div></div>
| + | |
− | | + | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | |
− | ''' Лекция 1.10 ''' (11.10.21)
| + | |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | :7. Степенные ряды
| + | |
− | | + | |
− | ::7.1 Терминология
| + | |
− | | + | |
− | ::7.2 Теорема Абеля о сходимости степенного ряда. Радиус сходимости
| + | |
− | | + | |
− | ::7.3 Радиус сходимости и экспоненциальное убывание коэффициента
| + | |
− | | + | |
− | ::7.4 Сходимость степенного ряда в граничной точке интервала сходимости
| + | |
− | | + | |
− | ::7.5 Дифференцирование и интегрирование степенного ряда
| + | |
− | | + | |
− | ::7.6 Ряд Тейлора. Оценки для остатка ряда
| + | |
− | | + | |
− | ::7.7 Ряды Тейлора основных элементарных функций
| + | |
− | </div></div>
| + | |
− | | + | |
− | === Зачет 1 ===
| + | |
− | Состоится 20 ноября в 16:20.
| + | |
− | На зачет выносится практически весь лекционный материал, кроме последней лекции (степенные ряды).
| + | |
− | | + | |
− | [https://drive.google.com/file/d/1UuqPiTKMctzhO6O4cKDWJXvkU2DReTK9/view?usp=sharing Вопросы для подготовки] | + | |
− | | + | |
− | === Модуль 2 ===
| + | |
− | '''II. Кратные интегралы'''
| + | |
− | | + | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | |
− | ''' Лекция 2.1 ''' (25.10.21, [https://drive.google.com/file/d/1EY1Zy7E6DTU9sWMsxwEbiSsF2n9stprc/view?usp=sharing Доска])
| + | |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | :1. [https://drive.google.com/file/d/1vv_Blwximv805jysRZ1wJYdELTLi_xFy/view?usp=sharing Мера Жордана]
| + | |
− | | + | |
− | ::1.1 Мера на кольце подмножеств
| + | |
− | | + | |
− | ::1.2 Ограниченные полуинтервалы в R<sup>m</sup>
| + | |
− | | + | |
− | ::1.3 Кольцо простых множеств в R<sup>m</sup> и мера на нем
| + | |
− | | + | |
− | ::1.4 Внешняя m-мерная мера Жордана и ее свойства
| + | |
− | | + | |
− | ::1.5 Кольцо множеств в R<sup>m</sup>, измеримых по Жордану
| + | |
− | </div></div>
| + | |
− | | + | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | |
− | ''' Лекция 2.2 ''' (30.10.21, [https://drive.google.com/file/d/1FYh8bez-6LnXk6GjgcUp4iVj9EDQT9pu/view?usp=sharing Доска])
| + | |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | ::1.6 Мера Жордана на кольце измеримых множеств
| + | |
− | | + | |
− | ::1.7 Интегрируемость функции и измеримость ее подграфика
| + | |
− | | + | |
− | :2. [https://drive.google.com/file/d/1aaW5SMPXnJ7rA89cpMxekNuuuz1lcI9X/view?usp=sharing Кратный интеграл Римана]
| + | |
− | | + | |
− | ::2.1 Область интегрирования и ее разбиение
| + | |
− | | + | |
− | ::2.2 Произведение разбиений. Измельчение разбиения. Диаметр разбиения
| + | |
− | | + | |
− | ::2.3 Интегральная сумма. Интегрируемость функции
| + | |
− | </div></div>
| + | |
− | | + | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | |
− | ''' Лекция 2.3 ''' (01.11.21)
| + | |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | ::2.4 Критерий Коши интегрируемости функции
| + | |
− | | + | |
− | ::2.5 Интегрируемость и ограниченность
| + | |
− | | + | |
− | ::2.6 Нижняя и верхняя суммы Дарбу. Их свойства
| + | |
− | | + | |
− | ::2.7 Критерий Дарбу интегрируемости функции
| + | |
− | | + | |
− | ::2.8 Интегрируемость равномерно непрерывной функции
| + | |
− | | + | |
− | ::2.9 Критерий Дюбуа-Реймона
| + | |
− | | + | |
− | ::2.10 Критерий Лебега (без доказательства)
| + | |
− | </div></div>
| + | |
− | | + | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | |
− | ''' Лекция 2.4 ''' (08.11.21, [https://drive.google.com/file/d/16_qeylOpEkUKcLp0nwf_22zoTS5KnlKm/view?usp=sharing Доска])
| + | |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | :3. [https://drive.google.com/file/d/1vZQwsB0qmk5e0hYqGIE1NrVbnmC4W9T4/view?usp=sharing Свойства интеграла как функционала]
| + | |
− | | + | |
− | ::3.1 Линейность интеграла
| + | |
− | | + | |
− | ::3.2 Интегрируемость произведения интегрируемых функций
| + | |
− | | + | |
− | ::3.3 Интегрируемость композиции непрерывной и интегрируемой
| + | |
− | | + | |
− | ::3.4 Неравенство для модуля интеграла
| + | |
− | | + | |
− | ::3.5 Монотонность интеграла
| + | |
− | | + | |
− | ::3.6 Теорема о среднем значении
| + | |
− | | + | |
− | ::3.7 Непрерывность интеграла
| + | |
− | </div></div>
| + | |
− | | + | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | |
− | ''' Лекция 2.5 ''' (15.11.21, [https://drive.google.com/file/d/1QBj9czmzWzhPkw0WGq04Gm7x_qR55cs2/view?usp=sharing Доска])
| + | |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | :4. [https://drive.google.com/file/d/19wrlPiugnQotJWPWNj0BoSR-kAqKVBSF/view?usp=sharing Свойства интеграла как функции множества]
| + | |
− | | + | |
− | ::4.1 Аддитивность интеграла
| + | |
− | | + | |
− | ::4.2 Заряд и его плотность
| + | |
− | | + | |
− | ::4.3 Заряд множества меры нуль
| + | |
− | | + | |
− | ::4.4 Заряд, имеющий нулевую плотность
| + | |
− | | + | |
− | ::4.5 Выражение заряда через его плотность
| + | |
− | </div></div>
| + | |
− | | + | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | |
− | ''' Лекция 2.6 ''' (22.11.21, [https://drive.google.com/file/d/1z7nwAro7pikpIe7YtrXJC_oUQ8_vZVNQ/view?usp=sharing Доска])
| + | |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | :5. [https://drive.google.com/file/d/107MyoL4NhTHbof2QsbpIQp4Yof9eNijz/view?usp=sharing Сведение кратного интеграла к повторному]
| + | |
− | | + | |
− | ::5.1 Произведение мер
| + | |
− | | + | |
− | ::5.2 Интеграл по декартову произведению
| + | |
− | | + | |
− | ::5.3 Интеграл по множеству с измеримыми слоями
| + | |
− | | + | |
− | ::5.4 Интеграл по цилиндрической области
| + | |
− | | + | |
− | ::5.5 Контрпримеры
| + | |
− | </div></div>
| + | |
− | | + | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | |
− | ''' Лекция 2.7 ''' (29.11.21, [https://drive.google.com/file/d/1Dm8keXJGq8Wg0CAVA9I_5Ul1tpKgyQGV/view?usp=sharing Доска])
| + | |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | :6. [https://drive.google.com/file/d/1UorRQeBK0y0OLRg5VPaF3YgBy2-HTXYt/view?usp=sharing Криволинейные координаты]
| + | |
− | | + | |
− | ::6.1 Общие понятия
| + | |
− | | + | |
− | ::6.2 Полярные координаты
| + | |
− | | + | |
− | ::6.3 Цилиндрические координаты
| + | |
− | | + | |
− | ::6.4 Сферические координаты
| + | |
− | | + | |
− | :7. [https://drive.google.com/file/d/15TDQMKflemWgqDzZpTkT_qI81ercCYit/view?usp=sharing Замена переменных в кратном интеграле]
| + | |
− | | + | |
− | ::7.1 Образ жорданова множества
| + | |
− | | + | |
− | ::7.2 Преобразование объема при диффеоморфизме
| + | |
− | </div></div>
| + | |
− | | + | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | |
− | ''' Лекция 2.8 ''' (06.12.21, [https://drive.google.com/file/d/1Dtp2N0EEcHvhywiEZz6Bd7DMAYno4SOv/view?usp=sharing Доска])
| + | |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | ::7.3 Теорема о замене переменных
| + | |
− | | + | |
− | ::7.4 Внешнее умножение дифференциалов и преобразование элемента объема
| + | |
− | | + | |
− | :8. [https://drive.google.com/file/d/1UC4wegGedRxxkAfiAuOdJTkbuOrwfV8C/view?usp=sharing Геометрические приложения кратного интеграла]
| + | |
− | | + | |
− | ::8.1 Объем подграфика
| + | |
− | | + | |
− | ::8.2 Понятие гладкой поверхности и ее площади
| + | |
− | | + | |
− | ::8.3 Независимость площади от параметризации
| + | |
− | </div></div>
| + | |
− | | + | |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| + | |
− | ''' Лекция 2.9 ''' (13.12.21, [ Доска])
| + | |
− | <div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
| + | |
− | ::8.4 Частные случаи в малых размерностях
| + | |
− | | + | |
− | :9. [https://drive.google.com/file/d/1xF_PDUFaWQtjqseaH3DyOMbG089xWBdP/view?usp=sharing Несобственный кратный интеграл] ['''З'''11.6]
| + | |
− | | + | |
− | ::9.1 Определение несобственного интеграла
| + | |
− | | + | |
− | ::9.2 Теорема об абсолютной сходимости ['''Ф'''613]
| + | |
− | | + | |
− | ::9.3 Несобственный интеграл от неотрицательной функции
| + | |
− | | + | |
− | ::9.4 Мажорантный признак сходимости
| + | |
− | </div></div>
| + | |
− | | + | |
− | === Зачет 2 ===
| + | |
− | Состоится 18 декабря в 16:20.
| + | |
− | На зачет выносится практически весь лекционный материал, кроме последней темы (несобственный кратный интеграл).
| + | |
− | [https://drive.google.com/file/d/1zzOS3J6JUwl7ExQwI2__xth4ghxrrah6/view?usp=sharing Вопросы для подготовки]
| + | |
− | | + | |
− | == Семинары, домашние задания и экзамен ==
| + | |
− | | + | |
− | === О семинарах ===
| + | |
− | | + | |
− | К каждому семинару выдается листок со списком задач. Некоторые задачи из этого списка рассматриваются на семинаре. Остальные задачи списка - для желающих дополнительно проработать и лучше усвоить материал.
| + | |
− | | + | |
− | На последнем семинаре модуля проводится письменный зачет по теории.
| + | |
− | | + | |
− | === О домашних заданиях ===
| + | |
− | | + | |
− | В листке отдельно указано ДЗ, состоящее из 2 задач. ДЗ необходимо сдать, по согласованию, семинаристу или ассистенту в день следующего семинара (1-е ДЗ сдается в день 2-го семинара и т.д.). Формат выполнения ДЗ - письменный от руки или электронный (скан/фото или набранный в TeXe) - по согласованию с семинаристом и ассистентом. На последнем семинаре модуля ДЗ не выдается.
| + | |
− | | + | |
− | Каждая задача ДЗ оценивается по системе 0-1-2 (без дробных баллов). Таким образом, за одно ДЗ можно получить от 0 до 4 баллов. Баллы за ДЗ в течение модуля суммируются и сумма масштабируется в 10-балльную шкалу. Получаются оценки <b>d</b><sub>1</sub>, <b>d</b><sub>2</sub>.
| + | |
− | | + | |
− | === Об экзамене ===
| + | |
− | | + | |
− | На экзамен выносятся все темы, пройденные на семинарах. Для подготовки рекомендуется решать задачи из соответствующих списков. Теоретический материал (в том числе теоретические задачи) в экзамен не входит.
| + | |
− | | + | |
− | === Модуль 1 ===
| + | |
− | | + | |
− | ''' Семинар 1.1 '''
| + | |
− | Частичная сумма ряда. Необходимое условие сходимости. [https://drive.google.com/file/d/1ngAnawQuFdOxqkGSL0CbHxGKlL3roMBd/view?usp=sharing Задачи]
| + | |
− | | + | |
− | ''' Семинар 1.2 '''
| + | |
− | Положительные ряды. [https://drive.google.com/file/d/1RGsp6y3cY8LzctCvBODr5ZWE3NcZNiVQ/view?usp=sharing Задачи]
| + | |
− | | + | |
− | ''' Семинар 1.3 '''
| + | |
− | Знакопеременные ряды. [https://drive.google.com/file/d/1bzgOUgS9sgaSWel7aVRTm48m0hyi7Mhh/view?usp=sharing Задачи]
| + | |
− | | + | |
− | ''' Семинар 1.4 '''
| + | |
− | Бесконечные произведения. Функциональные последовательности. [https://drive.google.com/file/d/1VcghoggbygqDL356heAz-t4S0exitMWA/view?usp=sharing Задачи]
| + | |
− | | + | |
− | ''' Семинар 1.5 '''
| + | |
− | Исследование сходимости функциональных рядов. [https://drive.google.com/file/d/1s-STIhiRS3a7psw21NUHxkCsMH4df3P_/view?usp=sharing Задачи]
| + | |
− | | + | |
− | ''' Семинар 1.6 '''
| + | |
− | Степенные ряды. Ряды Тейлора. [https://drive.google.com/file/d/1jQhRnR0mdfmurNpzaLcy3yyg-rEVhOw-/view?usp=sharing Задачи]
| + | |
− | | + | |
− | ''' Семинар 1.7 '''
| + | |
− | Зачет-1. [https://drive.google.com/file/d/1UuqPiTKMctzhO6O4cKDWJXvkU2DReTK9/view?usp=sharing Вопросы для подготовки]
| + | |
− | | + | |
− | === Модуль 2 ===
| + | |
− | | + | |
− | ''' Семинар 2.1 '''
| + | |
− | Мера Жордана. [https://drive.google.com/file/d/1vuyd6b1mWnQH0Nj3vpEWYVhL1SBkXMky/view?usp=sharing Задачи]
| + | |
− | | + | |
− | ''' Семинар 2.2 '''
| + | |
− | Построение интеграла Римана. [https://drive.google.com/file/d/11xU4nUs0vu4PY0CskO8yjxPDgmKwOGv2/view?usp=sharing Задачи]
| + | |
− | | + | |
− | ''' Семинар 2.3 '''
| + | |
− | Вычисление интеграла Римана. [https://drive.google.com/file/d/1b52FGcMdKyMc61oRrwXZNb-9c6XeJnUo/view?usp=sharing Задачи]
| + | |
− | | + | |
− | ''' Семинар 2.4 '''
| + | |
− | Вычисление интеграла Римана. [https://drive.google.com/file/d/1flp4jp4e3q43t1NjZnj3LvavOvAzCbJ8/view?usp=sharing Задачи]
| + | |
− | | + | |
− | ''' Семинар 2.5 '''
| + | |
− | Замена переменных в кратном интеграле. [https://drive.google.com/file/d/1gOdFceRRpisaWNPk9WNZFvtMcxwoUU2Y/view?usp=sharing Задачи]
| + | |
− | | + | |
− | ''' Семинар 2.6 '''
| + | |
− | Геометрические приложения кратного интеграла. [https://drive.google.com/file/d/16uNnVxU4EElGdjWell14W25I8_3-m7eQ/view?usp=sharing Задачи]
| + | |
− | | + | |
− | ''' Семинар 2.7 '''
| + | |
− | Несобственный кратный интеграл. [https://drive.google.com/file/d/1htttYuGIr5RoLJbD93i5jDr-PZhyERDc/view?usp=sharing Задачи]
| + | |
− | | + | |
− | ''' Семинар 2.8 '''
| + | |
− | Зачет-2. [https://drive.google.com/file/d/1zzOS3J6JUwl7ExQwI2__xth4ghxrrah6/view?usp=sharing Вопросы для подготовки]
| + | |
− | | + | |
− | === Экзамен ===
| + | |
− | | + | |
− | Экзамен состоится 25 декабря в 12:00 в системе ProctorEdu. Формат: 6 вычислительных задач на 180 минут. Проверка: каждое задание оценивается по системе 0-1-2. В итоге за экзамен ставится сумма, приведенная к 10-балльной шкале (умноженная на 10/12). Показ работ: по согласованию с семинаристом.
| + | |
− | | + | |
− | Тематическое распределение заданий:
| + | |
− | # Исследование числового ряда на сходимость или абсолютную сходимость
| + | |
− | # Исследование функционального ряда на равномерную сходимость
| + | |
− | # Вычисление области сходимости степенного ряда
| + | |
− | # Замена переменных в кратном интеграле
| + | |
− | # Вычисление объема тела или площади поверхности
| + | |
− | # Исследование сходимости и вычисление несобственного кратного интеграла
| + | |
| | | |
| == Ведомость с оценками == | | == Ведомость с оценками == |
Строка 455: |
Строка 111: |
| {| class="wikitable" style="text-align:center" | | {| class="wikitable" style="text-align:center" |
| |- | | |- |
− | | [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1l62mIYssm3nJBss7hbmEkBaOsbDpABJsNKX9S3eEABM/edit?usp=sharing 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xEW-bd1Fqr7Yf4ia8cfVIn5qWWtmDOS9_H42nKZk3Nk/edit?usp=sharing 205] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1utmUL2P_dOkjaJXCk2X6jq_WIXVWwWrXRPT10im-IuA/edit?usp=sharing 206] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1khTgwPTl9Joi1BsEpy0XFZKOkvy_7okzEZeCU9nSJgk/edit?usp=sharing 207] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1l62mIYssm3nJBss7hbmEkBaOsbDpABJsNKX9S3eEABM/edit?usp=sharing 208] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YCf-xCnO7IcuHJqP-cQwJZRuSkMs_usMMeQ3xWXoh_s/edit?usp=sharing 209] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1G2ofwyf-d9DDbUPa_BlJAwMtakKNzXu0ZZulrU53p9g/edit?usp=sharing 2010] | + | | [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xeFmE4HJB8VlvfFcrYRJgGMW3yMuH04Gjelk9SjWUc8/edit?usp=sharing 203] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LejAfdQidtAlptD72eyvjItHMikTo3FZA0MeJyF635w/edit?usp=sharing 205] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14reGVsTD7apfDbh5Dv3FTshGeDv82QnGBuXESP4j8Mc/edit?usp=sharing 206] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1z_uxGDjPWhpwqhTz5pOIzup0SuCEpXRgl-Ip9HSxOpE/edit?usp=sharing 207] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1VurPnS_wbBMHocYLCjJFVlfgfNXZDqwjXR62HzVQxU4/edit?usp=sharing 208] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1g55frKHNuhx4SxggVaDfTwWnR4lC7ZcoHnyMYLT0fk4/edit?usp=sharing 209] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1HcGpPLHpOlzh3jzIKy-QWYFpV1M1aUqS-_8wy0054II/edit?usp=sharing 2010] |
| |} | | |} |
| | | |
Строка 461: |
Строка 117: |
| | | |
| В течение семестра установлены следующие формы контроля: | | В течение семестра установлены следующие формы контроля: |
− | * письменный экзамен (<b>e</b> - 10-балльная оценка за экзамен); | + | * ряд домашних заданий (ДЗ); |
− | * 2 письменных зачета по теории (<b>z</b><sub>1</sub>, <b>z</b><sub>2</sub> - 10-балльные оценки за зачеты); | + | * 2 коллоквиума (КЛ<sub>1</sub>, КЛ<sub>2</sub>); |
− | * некоторое число ДЗ (<b>d</b><sub>1</sub>, <b>d</b><sub>2</sub> - суммарные баллы за ДЗ по модулям, приведенные к 10-балльной шкале). | + | * 3 контрольных работы (КР<sub>1</sub>, КР<sub>2</sub>, КР<sub>3</sub>). |
| | | |
− | Все оценки считаются и учитываются без округлений. Округление производится по общепринятому правилу: round(<i>x</i>)=floor(<i>x</i>+0.5) непосредственно перед выставлением итоговой оценки в официальные бумаги. | + | КР<sub>3</sub> совпадает с экзаменом. |
| + | |
| + | Все оценки считаются по 10-бальной шкале и учитываются без округлений. Округление производится по арифметическому правилу непосредственно перед выставлением итоговой оценки. |
| + | |
| + | Итоговая оценка 2-го семестра: O<sub>весна</sub> = 4/30 (ДЗ + КЛ<sub>1</sub>+ КЛ<sub>2</sub> ) + 6/30 (КР<sub>1</sub> + КР<sub>2</sub>+КР<sub>3</sub>) |
| + | |
| + | |
| + | Оценка за курс: Итог = 1/2(О<sub>осень</sub>+О<sub>весна</sub>). Округление арифметическое. О<sub>осень</sub> - оценка, полученная за Математический анализ 2.1. Оценки О<sub>осень</sub> и О<sub>весна</sub> в данном формуле учитываются округленными. |
| | | |
− | Итоговая оценка 1-го семестра:
| |
− | <blockquote>
| |
− | <b>i</b> = 0.15<b>n</b>+0.4<b>e</b>,
| |
− | где <b>n</b>=<b>d</b><sub>1</sub>+<b>d</b><sub>2</sub>+<b>z</b><sub>1</sub>+<b>z</b><sub>2</sub>
| |
− | </blockquote>
| |
| | | |
| <span style="color:#8B0000">Автоматы в курсе не предусмотрены.</span> | | <span style="color:#8B0000">Автоматы в курсе не предусмотрены.</span> |
| | | |
| <span style="color:#8B0000">Блокирующих форм контроля нет.</span> | | <span style="color:#8B0000">Блокирующих форм контроля нет.</span> |
− |
| |
− | Пересдача проводится в том же формате, как и экзамен.
| |
− |
| |
− | Пересдача с комиссией (вторая пересдача) проводится также как первая, т.е. накопленные баллы учитываются и применяется та же формула.
| |
| | | |
| == Список рекомендуемой литературы == | | == Список рекомендуемой литературы == |
Строка 485: |
Строка 139: |
| === Учебники === | | === Учебники === |
| | | |
− | ['''Ф'''] Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления. 1969
| + | Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления. 1969 |
| | | |
| [https://drive.google.com/file/d/1Ozdf_LS_BSVIehkSJhTPdLR5S_9MJ7nO/view?usp=sharing Том 1] (пп. 1-262) | | [https://drive.google.com/file/d/1Ozdf_LS_BSVIehkSJhTPdLR5S_9MJ7nO/view?usp=sharing Том 1] (пп. 1-262) |
Строка 491: |
Строка 145: |
| [https://drive.google.com/file/d/1_4SU8H1Y-Jya8t-a4abNR-ba30fF_6Mn/view?usp=sharing Том 3] (пп. 543-762) | | [https://drive.google.com/file/d/1_4SU8H1Y-Jya8t-a4abNR-ba30fF_6Mn/view?usp=sharing Том 3] (пп. 543-762) |
| | | |
− | Классический учебник анализа, выдержавший многократные переиздания и вошедший в классику математической литературы (первое издание - 1949 г.). По широте охвата материала, количеству разобранных примеров, качеству и доступности объяснений - возможно, до сих пор непревзойден. Некоторая терминология устарела. Отсутствует современная теория интегрирования (дифференциальные формы и общая теорема Стокса).
| + | Зорич В.А. - Математический анализ. 2019 |
− | | + | |
− | ['''З'''] Зорич В.А. - Математический анализ. 2019
| + | |
| | | |
| [https://drive.google.com/file/d/1wBqHsVP3UpmyYQofon3Im1TQmRHHTB2R/view?usp=sharing Часть 1] | | [https://drive.google.com/file/d/1wBqHsVP3UpmyYQofon3Im1TQmRHHTB2R/view?usp=sharing Часть 1] |
| [https://drive.google.com/file/d/1FxWvJSWedEf2lZ2jY8S7vkcWpLBmSr9d/view?usp=sharing Часть 2] | | [https://drive.google.com/file/d/1FxWvJSWedEf2lZ2jY8S7vkcWpLBmSr9d/view?usp=sharing Часть 2] |
− |
| |
− | Замечательный современный учебник анализа. Теория рядов изложена, возможно, недостаточно подробно. В остальном - прекрасно дополняет учебник Фихтенгольца.
| |
− |
| |
− | ['''Ш'''] Шилов Г.Е. - Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. 1972
| |
− |
| |
− | [ Части 1-2]
| |
− |
| |
− | Пользуюсь этой книгой при изложении теории меры Жордана и интеграла Римана. Книга в целом несколько выходит за рамки классического курса математического анализа.
| |
| | | |
| === Задачники === | | === Задачники === |
| | | |
− | ['''Д'''] Демидович Б.П. - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Любое издание
| + | Демидович Б.П. - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Любое издание |
| | | |
| [https://drive.google.com/file/d/1aOWgN9OSky4WoIj6ezB7Ea5ETlzSKSMB/view?usp=sharing Например, это] | | [https://drive.google.com/file/d/1aOWgN9OSky4WoIj6ezB7Ea5ETlzSKSMB/view?usp=sharing Например, это] |
| | | |
− | Классический задачник по математическому анализу. Если кто забыл о чем было в первой части курса анализа - вам сюда. Решайте задачи, повторяйте, тренируйтесь. Без уверенного владения матанализом-1 вы не освоите матанализ-2.
| + | Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. - Математический анализ в задачах и упражнениях. Т.2,3. МЦНМО, 2018 |
− | | + | |
− | ['''С'''] Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. - Математический анализ в задачах и упражнениях. Т.2,3. МЦНМО, 2018
| + | |
− | | + | |
− | Обычно пользуюсь этим задачником при планировании семинарских занятий.
| + | |
Курс второго семестра состоит из следующих разделов: интегралы с параметрами, ряды Фурье, введение в комплексный анализ.
В листке отдельно указано ДЗ.
Каждая задача ДЗ оценивается по системе 0-1-2 (без дробных баллов). Баллы за ДЗ в течение семестра суммируются и сумма масштабируется в 10-балльную шкалу.
По темам семинаров 1-5 пройдет КР1 21 февраля в 13:00 -- 14:30. Нулевой вариант для тренировки: тут
По темам семинаров 6-10, 12-13 пройдет КР2 18 апреля в 13:00 -- 14:30. Нулевой вариант для тренировки: тут
По темам семинаров 14-19 пройдет КР3 20 июня в 11:00 -- 12:30. Нулевой вариант для тренировки: тут
Все оценки считаются по 10-бальной шкале и учитываются без округлений. Округление производится по арифметическому правилу непосредственно перед выставлением итоговой оценки.
Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления. 1969
Зорич В.А. - Математический анализ. 2019
Демидович Б.П. - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Любое издание
Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. - Математический анализ в задачах и упражнениях. Т.2,3. МЦНМО, 2018