Алгебра на ПМИ 2016/2017 — различия между версиями

Версия 19:16, 23 мая 2017

Преподаватели и учебные ассистенты

Расписание консультаций

Информация для пилотного потока

Порядок формирования оценок

Содержание лекций

В этом разделе даются ссылки на конспекты лекций аналогичного курса 2015 года.

Лекция 1 (4.04.2017). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия.

Лекция 2 (11.04.2017). Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.

Лекция 3 (18.04.2017). Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.

Лекция 4 (25.04.2017). Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы.

Лекция 5 (16.05.2017). Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Теорема Кэли.

Листки с задачами

Задачи к лекции 1

Задачи к лекции 2

Задачи к лекции 3

Задачи к лекции 4

Задачи к лекции 5

Информация для основного потока

Порядок формирования оценок

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

O_{накопленная} = 0,6 * O_дз + 0,4 * O_к/р,

где O_дз1 — оценка за домашние задания, O_к/р — оценка за контрольную работу.

Итоговая оценка выражается через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:

O_{итоговая} = 0,5 * O_{накопленная} + 0,5 * О_экз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (3.04.2017). Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы.

Лекция 2 (10.04.2017). Циклические группы. Левые и правые смежные классы группы по подгруппе. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа и пять следствий из неё. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма.

Лекция 3 (17.04.2017). Ядро и образ гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме для групп. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп, доказательство единственности числа и порядков примарных циклических множителей.

Лекция 4 (24.04.2017). Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности. Действия групп на множествах: определение и задание при помощи гомоморфизма в группу преобразований множества. Орбита точки. Разбиение множества в объединение попарно непересекающихся орбит. Стабилизатор точки. Связь между числом элементов в орбите и порядком стабилизатора для действия конечной группы. Три действия группы на себе: умножениями слева, умножениями справа и сопряжениями. Классы сопряжённости. Теорема Кэли.

Лекция 5 (28.04.2017). Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Алгебры над полем, размерность алгебры. Подкольца, подполя, подалгебры, гомоморфизмы, изоморфизмы. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождённые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец.

Лекция 6 (15.05.2017). Делимость в коммутативных кольцах без делителей нуля. Ассоциированные элементы. Евклидовы кольца. Кольца главных идеалов. Теорема о том, что всякое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов. Наибольший общий делитель двух элементов. Существование наибольшего общего делителя для двух элементов a и b евклидова кольца и его линейная выразимость через a и b. Простые элементы. Факториальные кольца. Факториальность евклидовых колец.

Лекция 7 (22.05.2017). Симметрические многочлены. Примеры. Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Старший член симметрического многочлена. Лемма об одночлене от элементарных симметрических многочленов, имеющем заданный старший член. Доказательство основной теоремы о симметрических многочленах. Теорема Виета. Дискриминант многочлена от одной переменной.

Домашние задания

Домашнее задание 1

Домашнее задание 2

Домашнее задание 3

Домашнее задание 4

Домашнее задание 5

Домашнее задание 6

Ведомости текущего контроля

Литература

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.