Алгебра на ПМИ 2016/2017
Содержание
Преподаватели и учебные ассистенты
| Группа | БПМИ161 | БПМИ162 | БПМИ163 | БПМИ164 | БПМИ165 | БПМИ166 | БПМИ167 | БПМИ168 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Лектор | Иван Владимирович Аржанцев | Роман Сергеевич Авдеев | |||||||
| Семинарист | Иван Владимирович Аржанцев | Сергей Александрович Гайфуллин | Полина Юрьевна Котенкова | Роман Сергеевич Авдеев | Полина Юрьевна Котенкова | Сергей Александрович Гайфуллин | Станислав Николаевич Федотов | ||
| Ассистент | Данила Кутенин | Дарья Мусаткина | Максим Каледин | Вадим Гринберг | Софья Иволгина | Наталья Богданова | Дмитрий Сморчков | Дина Акимова | |
Расписание консультаций
| Преподаватель/ассистент | понедельник | вторник | среда | четверг | пятница | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| |
Иван Владимирович Аржанцев | 15:00–16:30, каб. 603 | ||||
| |
Роман Сергеевич Авдеев | 15:40–17:40, ауд. 623 | 15:40–17:40, ауд. 623 (с 17 мая) | |||
| |
Полина Юрьевна Котенкова | |||||
| |
Сергей Александрович Гайфуллин | 13:40–15:00, ауд. 607; по запросу на почту | 15:00–17:00, ауд. 607 | |||
| |
Станислав Николаевич Федотов | |||||
| |
Данила Кутенин | 15:10–16:30, ауд. 501 | ||||
| |
Дарья Мусаткина | 13:30–15:00, ауд. 306 | ||||
| |
Максим Каледин | 12:10–13:40, ауд.618 | ||||
| |
Вадим Гринберг | 15:10–16:30, ауд. 322 | ||||
| |
Софья Иволгина | 16:40–18:00, ауд. 618 | ||||
| |
Наталья Богданова | 15:10–16:30 ауд. 219 | ||||
| |
Дмитрий Сморчков | 16:40–18:00, ауд. ?? | ||||
| |
Дина Акимова | 16:40–17:40, ауд. 501 |
Информация для пилотного потока
Порядок формирования оценок
Содержание лекций
В этом разделе даются ссылки на конспекты лекций аналогичного курса 2015 года.
Лекция 1 (4.04.2017). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия.
Лекция 2 (11.04.2017). Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.
Лекция 3 (18.04.2017). Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.
Лекция 4 (25.04.2017). Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль–Гамаля.
Лекция 5 (16.05.2017). Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Теорема Кэли.
Лекция 6 (23.05.2017). Кольца. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Простота алгебры матриц над полем.
Лекция 7 (30.05.2017). Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Теорема Виета. Дискриминант многочлена
Лекция 8 (6.06.2017). Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность
Лекция 9 (13.06.2017). Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырёх элементов. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.
Листки с задачами
Контрольная работа
Дата-время-место: 14 июня, 12:10, аудитория 509
Экзамен
Формат экзамена: устный
Дата-время-место: 22 июня, 10:30, аудитория 509
Информация для основного потока
Порядок формирования оценок
Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:
Oнакопленная = 0,6 * Oдз + 0,4 * Oк/р,
где Oдз1 — оценка за домашние задания, Oк/р — оценка за контрольную работу.
Итоговая оценка выражается через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:
Oитоговая = 0,5 * Oнакопленная + 0,5 * Оэкз.
Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.
Краткое содержание лекций
Лекция 1 (3.04.2017). Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы.
Лекция 2 (10.04.2017). Циклические группы. Левые и правые смежные классы группы по подгруппе. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа и пять следствий из неё. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма.
Лекция 3 (17.04.2017). Ядро и образ гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме для групп. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп, доказательство единственности числа и порядков примарных циклических множителей.
Лекция 4 (24.04.2017). Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности. Действия групп на множествах: определение и задание при помощи гомоморфизма в группу преобразований множества. Орбита точки. Разбиение множества в объединение попарно непересекающихся орбит. Стабилизатор точки. Связь между числом элементов в орбите и порядком стабилизатора для действия конечной группы. Три действия группы на себе: умножениями слева, умножениями справа и сопряжениями. Классы сопряжённости. Теорема Кэли.
Лекция 5 (28.04.2017). Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Алгебры над полем, размерность алгебры. Подкольца, подполя, подалгебры, гомоморфизмы, изоморфизмы. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождённые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец.
Лекция 6 (15.05.2017). Делимость в коммутативных кольцах без делителей нуля. Ассоциированные элементы. Евклидовы кольца. Кольца главных идеалов. Теорема о том, что всякое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов. Наибольший общий делитель двух элементов. Существование наибольшего общего делителя для двух элементов a и b евклидова кольца и его линейная выразимость через a и b. Простые элементы. Факториальные кольца. Факториальность евклидовых колец.
Лекция 7 (22.05.2017). Симметрические многочлены. Примеры. Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Старший член симметрического многочлена. Лемма об одночлене от элементарных симметрических многочленов, имеющем заданный старший член. Доказательство основной теоремы о симметрических многочленах. Теорема Виета. Дискриминант многочлена от одной переменной.
Лекция 8 (29.05.2017). Поля. Примеры. Характеристика поля. Простое подполе. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождённое алгебраическим элементом. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен имеет корень.
Лекция 9 (5.06.2017). Поле разложения многочлена. Конечные поля. Порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Существование и единственность конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Поле из четырёх элементов. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над полем вычетов. Описание подполей конечного поля.
Домашние задания
Контрольная работа
Дата-время-место: 13 июня, 16:40, аудитории 622 (группы 163–166) и 205 (группы 167, 168)
На контрольной можно пользоваться любыми материалами на бумажных носителях. Использование электронных устройств (кроме тех, у которых единственная функция — калькулятор) запрещено.
Типы задач на контрольной работе
- Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45]
- Орбиты и стабилизаторы для действий групп на множествах [57.1, 57.2, 57.3, 57.9]
- Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R и C [27.1, 27.2]
- Симметрические многочлены и теорема Виета [31.2, 31.3. 31.4, 31.9, 31.10, 31.25, 31.26]
- Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, 67.13]
- Системы линейных уравнений с коэффициентами в конечном поле [примеры]
Для каждого типа в скобках указаны номера задач из Сборника задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина (М.: МЦНМО, 2009), рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки.
Экзамен
Формат экзамена: устный
Ведомости текущего контроля
| 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 |
|---|
Литература
- Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
- Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
