Алгебра на ПМИ 2016/2017 — различия между версиями

Версия 23:39, 25 апреля 2017

Преподаватели и учебные ассистенты

Расписание консультаций

Информация для пилотного потока

Порядок формирования оценок

Содержание лекций

В этом разделе даются ссылки на конспекты лекций аналогичного курса 2015 года.

Лекция 1 (4.04.2017). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия.

Лекция 2 (11.04.2017). Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.

Лекция 3 (18.04.2017). Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.

Листки с задачами

Задачи к лекции 1

Задачи к лекции 2

Задачи к лекции 3

Информация для основного потока

Порядок формирования оценок

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

O_{накопленная} = 0,6 * O_дз + 0,4 * O_к/р,

где O_дз1 — оценка за домашние задания, O_к/р — оценка за контрольную работу.

Итоговая оценка выражается через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:

O_{итоговая} = 0,5 * O_{накопленная} + 0,5 * О_экз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (3.04.2017). Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы.

Лекция 2 (10.04.2017). Циклические группы. Левые и правые смежные классы группы по подгруппе. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа и пять следствий из неё. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма.

Лекция 3 (17.04.2017). Ядро и образ гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме для групп. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп, доказательство единственности числа и порядков примарных циклических множителей.

Лекция 4 (24.04.2017). Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности. Действия групп на множествах: определение и задание при помощи гомоморфизма в группу преобразований множества. Орбита точки. Разбиение множества в объединение попарно непересекающихся орбит. Стабилизатор точки. Связь между числом элементов в орбите и порядком стабилизатора для действия конечной группы. Три действия группы на себе: умножениями слева, умножениями справа и сопряжениями. Классы сопряжённости. Теорема Кэли.

Домашние задания

Домашнее задание 1

Домашнее задание 2

Домашнее задание 3

Домашнее задание 4

Ведомости текущего контроля

Литература

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.