Просмотр исходного текста страницы Введение в дифференциальную геометрию 23/24

= Преподаватели =

[https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин]

= Расписание занятий =

Занятия по вторникам с 11:10 до 14:20 очно.

Записи лекций доступны по [https://youtube.com/playlist?list=PLtFsvQ5wdZTLMGrhB5Q7yCdVjAkvUK0DI&si=aBXliXAv4Oh83lzY ссылке].

= Краткое содержание лекций =

'''Лекция&nbsp;1''' (16.01.2024). Топологические пространства, открытые и замкнутые множества. Классификация открытых на прямой. Тополоические пространства из 2 элементов. Хаусдорфовость. База топологии, база окрестностей точки. Минимальная топология порожденная семейством. Метрические пространства и порожденная метрикой топология, база из шаров. Непрерывные отображения (локальная непрерывность и глобальная непрерывность). Свойства линейной связности. Свойство связности. Связность отрезка. Гомеоморфизм. Примеры гомеоморфных и негомеоморфных пространств. Подпространство и фактор пространство топологического пространства. Дизъюнктное объединение и произведение топологических пространств.

'''Лекция&nbsp;2''' (23.01.2024). Определение топологического многообразия. 

'''Лекция&nbsp;3''' (30.01.2024). Структура многообразия на матрицах фиксированного ранга. Примеры нехаусдорфовой склейки. Пример отсутствия счетной базы. Гладкое многообразие, понятие карты и атласа. Разные степени гладкости. Стандартный атлас в R^n. Пример нестандартной гладкой структуры в R. Примеры гладких структур на S^n, матрицах, невырожденных матрицах, матрицах фиксированного ранга. Гладкие отображения, независимость гладкости в точке от выбора координатных окрестностей. Понятие диффеоморфизма (изоморфизм для гладких многообразий). Ранг гладкого отображения в точке и его корректность (независимость от выбора координат).

'''Лекция&nbsp;4''' (06.02.2024). Теорема о неявной функции. Классификация отображений постоянного ранга. Погружения и вложения. Примеры: неинъективное погружение, инъективное погружение, но не вложение, вложение. Понятие подмногообразия. Локальное продолжение функций с подмногообразия. Единственность гладкой структуры на подмногообразии.

'''Лекция&nbsp;5''' (13.02.2024). Разбор ДЗ.

'''Лекция&nbsp;6''' (20.02.2024). Касательное пространство, три конструкции: в координатах, через скорости кривых и через дифференцирования в точке (последнее в бесконечно гладком и аналитическом случае). Дифференциал отображения (на всех трех языках). Дифференциал функции, базисы в косательном и кокосательном пространстве индуцированные системой координат. Гладкие векторные поля и их связь с дифференцированиями функций (в бесконечно гладком и аналитическом случае).

'''Лекция&nbsp;7''' (27.02.2024). Объяснение необходимости тензорных полей. Определение тензорного поля и его примеры. Гладкость тензорнонго поля. Поточечные операции над тензорными полями: структура векторного простанства, тензорное умножение, свертка. Примеры операций.

'''Лекция&nbsp;8''' (05.03.2024). Связаность (ковариантная производная). Аксиоматическое определение связности (в смысле дифференциала). Описание связности в карте, символы Кристофеля. Условие согласованности символов Кристофеля между картами. Аналоги частных производных и производная по направлению. Пример символов Кристофеля для полярной системы координат (при условии, что в исходной системе символы Кристофеля нулевые).  Римановы многообразия и их отображения. Примеры. Понятие длины пути. Задание метрики: 1) Вложение в R^n, 2) Склейка метрик через разбиение единицы.

'''Лекция&nbsp;9''' (12.03.2024). Поднятие и опускание индексов. Свертка любых индексов.  Тензор курчени, симметрическая связность, Риманова связность. Явные формулы для Римановой связности. Евклидовы координаты (два понятия). Параллельный перенос. Понятие геодезических.

= ДЗ =

Дедлайны по ДЗ через неделю после выдачи, перед началом следующей лекции. На лекции проводится разбор ДЗ.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
| ДЗ-1 || [https://disk.yandex.ru/i/O6cZXNk6h1ehSQ ссылка]
|-
| ДЗ-2 || [https://disk.yandex.ru/i/01CFF8vKmpsmGg ссылка]
|-
| ДЗ-3 || [https://disk.yandex.ru/i/AqPaTuT7FdCqsA ссылка]
|-
| ДЗ-4 || [https://disk.yandex.ru/i/3AzuZm_51Irfpg ссылка]
|-
| ДЗ-6 || [https://disk.yandex.ru/i/KCYPnaUbnezCjw ссылка]
|-
| ДЗ-8 || [https://disk.yandex.ru/i/aYYrKi8-dFUpHQ ссылка]
|-
| ДЗ-9 || [https://disk.yandex.ru/i/zi3WIu3hqobTJA ссылка]
|}

Решённые задачи надо отметить в [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1WTTEJgonJzyqKbmPZFC_UIfyx7VtRDFtbSpEq4yri_k/edit?usp=sharing табличке].

= Ссылки =

[https://t.me/+n1AwCDcDVtE0YmJi Группа] в Telegram

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLtku678e9yj725K6hjLqKhJ854nTWWR5e Лекции] с воркшопа в Линце по теории гравитации и света. Тут очень хорошие лекции по дифгему, которые очень близки к содержанию курса, но будут и отличия.