Стохастический анализ (весна 2024)
Содержание
О курсе
Случайные процессы возникают в тот момент, когда одних случайных величин становится недостаточно. Цены на бирже, процентные ставки, как и некоторые физические явления: диффузия, взаимодействие огромного числа частиц -- демонстрируют, что нужен более общий взгляд, учитывающий также изменения случайных величин во времени. С другой стороны, можно попробовать внести случайность и обыкновенные дифференциальные уравнения станут стохастическими. На таких уравнениях строится почти вся финансовая математика, но особенный новый интерес стохастические дифференциальные уравнения приобрели несколько лет назад, положив начало диффузионным моделям, известным многим под вывеской Midjourney и StableDiffusion. Этот курс для тех, кто знаком с теорией вероятности и базовыми математическими дисциплинами и хотел бы пойти дальше, не забывая о практической стороне. Первая половина курса будет посвящена теории случайных процессов и центральными примерами для нас будут гауссовские процессы, цепи Маркова, Винеровский, Пуассоновский и связанные с ними процессы. Вторая часть представит стохастические интегралы и стохастические дифференциальные уравнения в контексте нескольких практических задач.
Контакты
Основные информационные ресурсы курса -- вики-страница, группа в Телеграм TBD и Телеграм-канал TBD.
Максим Каледин, T920. Email: maxkaledin@gmail.com.
Дарья Демидова, T926. Email: demidova.math@gmail.com
Учебный план
Предусмотрены лекционные, семинарские занятия, 4 домашних задания. Все материалы курса можно найти здесь и в других инфоресурсах:
- Telegram: чат(непубличная ссылка) и канал
- Youtube: плейлист с лекциями и семинарами
- YaDisk: все конспекты в одном месте
Итоговая оценка для всех: Оитог = 0.6Одз + 0.4Оэкз, где Одз -- средняя оценка за ДЗ и Оэкз -- оценка за экзамен. Округляется только Оитог, округление арифметическое.
Важно: 4й курс проходит только 3й модуль, поэтому для них предусмотрены только первое и второе ДЗ и финальный экзамен.
Пререквизиты
- Математический анализ 1-2
- Линейная алгебра
- Теория вероятностей
- Программирование на Python, научные пакеты (numpy, sklearn,..) в плюс
- Обыкновенные дифференциальные уравнения (самые основы и общее представление)
План по времени
С прошлого года есть частично программа экзамена и конспект, однако в этом году мы так же будем публиковать всё по частям, так как, вероятно, местами будем вносить какие-то существенные изменения.
Лекция 0. Напоминание теории вероятностей. конспект
Лекция 1. Определение случайного процесса, его задание через конечномерные распределения, основные понятия (матожидание и моменты, стационарность в узком и широком смысле, ковариационная функция процесса), первые примеры. Гауссовские процессы. конспект семинар(ноутбук)...
Лекция 2. Винеровский процесс. конспект ... ...
Домашние задания
ДЗ 2023 года не актуальны, будут другие.
В этом году теоретические и компьютерные задачи выдаются по ходу, засчитываются как дз вместе с дедлайном кодовой части.
Вес кодовой части в оценке за ДЗ равен 0.5 .
По умолчанию срок выполнения -- две недели от выдачи кодовой домашки. Можно просрочить (граница -- 2359 крайнего дня) не более, чем на 1 неделю(тогда штраф -30%), далее работы не принимаются.
Дедлайн 1: ??
Теоретические задачи
ДЗ1
Ноутбуки
ДЗ1
...
Экзамен
Экзамен устный: вопрос, задача, доп. вопросы. Программу опубликуем позже.
Литература
1. Коралов Л.Б., Синай Я.Г. Теория вероятностей и случайные процессы, МЦНМО, 2014.
2. Øksendal B. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer, 2004, 10.1007/978-3-662-03185-8.
3. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики (в двух томах), МЦНМО, 2016.
4. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов, М: Физматлит, 2005.
5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения, М:Высшая школа, 2000.
