Символьные вычисления 24/25
Содержание
[убрать]О курсе
Курс читается для студентов 4-го курса в 3 модуле.
Лектор — Зайцева Юлия Ивановна
Семинарист — Медведь Никита Юрьевич
Ассистент — Преснова Екатерина Денисовна
Чат в телеграм: https://t.me/+nnO8I51DwX5iYzgy
Лекции
Начиная с 28 февраля лекции будут по пятницам в 16:20 (онлайн).
Лекция 1 (09.01.2025) О курсе в целом. Кольца и идеалы. Конечно порожденные идеалы и нётеровы кольца. Факторкольца. Конечно порожденные модули и подмодули.
Лекция 2 (16.01.2025) Теорема Гильберта о базисе. Мономиальный порядок на множестве мономов. Лемма Гордана.
Лекция 3 (23.01.2025) Старший член многочлена от многих переменных. Лемма о старшем члене. Алгоритм деления. Оператор редукции. Нормальная форма многочлена. Базис Грёбнера идеала. Формулировка критерия Бухбергера.
Лекция 4 (30.01.2025) Алгоритм Бухбергера. Редуцируемость S-многочлена многочленов с взаимно простыми старшими членами. Минимальный базис Грёбнера и его единственность. Три задачи на применение базисов Грёбнера. Алгебраическое подмножество.
Лекция 5 (06.02.2025) Алгебраическое подмножество. Алгебра регулярных функций. Аффинное алгебраическое многообразие. Радикал идеала. Радикальный идеал. Теорема Гильберта о нулях (формулировка).
Лекция 6 (13.02.2025) Слабая версия теоремы Гильберта о нулях. Теорема Гильберта о нулях (доказательство). Соответствие между максимальными идеалами и точками многообразия (формулировка). Морфизмы и изоморфизмы многообразий.
Лекция 7 (20.02.2025) Топологическое пространство. Топология Зарисского. Непрерывность морфизмов. Плотные подмножества. Неприводимые подмножества топологического пространства. Нетеровы топологические пространства. Неприводимые компоненты алгебраического многообразия. Задачи на применение базисов Грёбнера в теории систем полиномиальной уравнений, аффинной алгебраической геометрии и коммутативной алгебре.
Лекция 8 (28.02.2025) Характеристика поля. Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема о степени башни расширений. Теорема существования и единственности для конечных полей, конструкция через поле разложения и факторкольцо (формулировка). Неприводимые многочлены над конечным полем. Функция Мёбиуса и ее свойства. Аддитивная формула Мёбиуса и формула для числа неприводимых многочленов данной степени над конечным полем. Существование не менее одного неприводимого многочлена данной степени.
Лекция 9 (14.03.2024) Задача о разложении многочлена на неприводимые множители. Избавление от кратных множителей. f-разлагающие многочлены. Сведение к системе линейных уравнений: алгоритм Берлекэмпа.
Семинары
Семинары проходят онлайн по субботам в 9:30 начиная с 11 января.
Контрольные мероприятия
Домашние задания
Домашнее задание 1 доступно по ссылке, дедлайн 16.03.2025 (23:59).
Домашнее задание 2 будет выдано в конце марта.
Контрольная работа
Контрольная работа запланирована на конец модуля.
Экзамен
Проходит в сессию в устной форме, в каждом билете 2 вопроса по материалам лекций.
Правила выставления оценок
Итоговая оценка вычисляется по формуле
- Округление(0.15*ДЗ1 + 0.15*ДЗ2 + 0.3*КР + 0.4*ЭК),
где ДЗ1 – оценка за домашнее задание №1, ДЗ2 – оценка за домашнее задание №2, КР – оценка за контрольную работу и ЭК – оценка за устный экзамен.
Округление арифметическое.
Блокирующих элементов контроля в курсе нет. Автоматы не выставляются.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература:
[1] Дж.Дэвенпорт, И.Сирэ и Э.Турнье. Компьютерная алгебра. Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. М.: Мир, 1991
[2] Д.Кокс, Дж.Литтл, Д.О’Ши. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. М.: Мир, 2000
[3] Р.Лидл, Г.Нидеррайтер. Конечные поля, в 2-х т. М.: Мир, 1988
[4] V.Ene and J.Herzog. Groebner Bases in Commutative Algebra. Graduate Studies in Mathematics 130, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011
Рекомендуемая дополнительная литература:
[1] А.Акритас. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.: Мир, 1994
[2] Э.Б. Винберг. Курс алгебры (4-е издание). М.: МЦНМО, 2019
[3] С.Г.Влэдуц, Д.Ю.Ногин и М.А.Цфасман. Алгеброгеометрические коды. М.: МЦНМО, 2003
[4] В.В.Прасолов. Многочлены. М.: МНЦМО, 2003
[5] А.Ромащенко, А.Румянцев и А.Шень. Заметки по теории кодирования (2-е издание). М.: МЦНМО, 2017
[6] Сборник задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
[7] T.Becker, H.Kredel, V.Weispfenning. Groebner Bases: A Computational Approach to Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1993
[9] D.Cox, J.Little, D.O'Shea. Using Algebraic Geometry. 2nd Edition. Graduate Texts in Mathematics, vol. 185, Springer, 2005
[10] B.Sturmfels. Groebner Bases and Convex Polytopes. University Lecture Series, vol. 8, American Mathematical Society, Providence, RI, 1996
