Символьные вычисления
Содержание
О курсе
Курс читается для студентов 4-го курса в 3 модуле. Описание курса
Лектор — Аржанцев Иван Владимирович
Семинарист — Зайцева Юлия Ивановна
Лекции
Проходят по четвергам 16:20 – 17:40.
Лекция 1 (14.01.2021): Кольца и идеалы. Конечно порожденные идеалы и нётеровы кольца. Факторкольца. Конечно порожденные модули и подмодули. Теорема Гильберта о базисе. Мономиальный порядок на множестве мономов. Лемма Гордана. Старший член многочлена от многих переменных. Лемма о старшем члене.
Лекция 2 (21.01.2021): Алгоритм деления. Оператор редукции. Нормальная форма многочлена. Базис Грёбнера идеала. Критерий Бухбергера и алгоритм Бухбергера. Минимальный базис Грёбнера и его единственность.
Лекция 3 (28.01.2021): Универсальный базис Грёбнера и его существование. Алгебраическое подмножество. Алгебра регулярных функций. Аффинное алгебраическое многообразие.
Лекция 4 (04.02.2021): Радикал идеала. Радикальный идеал. Теорема Гильберта о нулях. Максимальный идеал. Слабая версия теоремы Гильберта о нулях. Доказательства и обобщение.
Лекция 5 (11.02.2021): Cooтветствие между максимальными идеалами и точками многообразия. Кольца Джекобсона. Морфизмы алгебраических многообразий. Изоморфизмы. Аффинные алгебры. Спектр алгебры.
Лекция 6 (18.02.2021): Топологическое пространство. База топологии. Топология Зарисского. Главные открытые подмножества. Непрерывность морфизмов. Плотные подмножества и неприводимые пространства. Нетеровы топологические пространства. Неприводимые компоненты. Открытые, замкнутые и доминантные морфизмы. Замкнутые вложения.
Лекция 7 (25.02.2021): Двенадцать задач на применение базисов Грёбнера в теории систем полиномиальной уравнений, аффинной алгебраической геометрии и коммутативной алгебре.
Лекция 8 (04.03.2021): Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырех элементов. Цикличность мультипликативной группы. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.
Лекция 9 (11.03.2021): Неприводимые многочлены над конечными полями. Функция Мёбиуса и ее свойства. Аддитивная формула Мебиуса и явная формула для числа неприводмых многочленов данной степени над конечным полем. Примеры. Существование не менее одного неприводимого многочлена данной степени. Мультипликативная формула Мёбиуса и произведение неприводимых многочленов данной степени.
Лекция 10 (18.03.2021): Задача о разложении многочлена на неприводимые множители. Избавление от кратных множителей. f-разлагающие многочлены. Сведение к системе линейных уравнений: алгоритм Берлекэмпа.
Лекция 11 (25.03.2021): Основная задача теории кодирования. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие ошибки. Характеристики кода. Неравенство Синглтона. Совершенные коды. Линейные коды. Вес Хэмминга. Код Хэмминга [7,4,3]_2. Коды Рида-Соломона. Циклические коды и главные идеалы. Коды Голея и БЧХ-коды. Алгоритм декодирования по лидеру смежного класса.
Семинары
Проходят по субботам 16:20 – 17:40.
Чат в телеграм: https://t.me/joinchat/Gmd6rwAy23c7knoe
Семинар 1 (16.01.2021): Многочлены от одной переменной: алгоритм деления, идеалы, наибольший общий делитель, проверка принадлежности идеалу. Примеры для случая многих переменных.
Семинар 2 (23.01.2021): Лемма Гордана. Алгоритм деления многочленов от нескольких переменных. Идеал старших членов идеала. Доказательство теоремы Гильберта о базисе через лемму Гордана.
Семинар 3 (30.01.2021): Критерий Бухбергера. Алгоритм Бухбергера, построение базиса Грёбнера и редуцированного базиса Грёбнера. Равенство идеалов. Связь с методом Гаусса. Простые вычисления в системе компьютерной алгебры Sage.
Семинар 4 (06.02.2021): Алгебраические и неалгебраические подмножества. Алгебра регулярных функций. Множество нулей идеала, радикал идеала, теорема Гильберта о нулях.
Семинар 5 (13.02.2021): Изоморфизмы алгебраических подмножеств. Морфизмы многообразий и соответствующие им гомоморфизмы колец функций.
Семинар 6 (20.02.2021): Неизоморфность прямой и кривой {x²=y³}. Топология Зарисского, отличие топологии на A² и топологии на прямом произведении A¹×A¹.
Семинар 7 (27.02.2021): Примеры применения базисов Грёбнера для решения систем полиномиальных уравнений и поиска замыкания образа морфизмов.
Семинар 8 (06.03.2021): Вычисления в факторкольцах и конечных полях, разные задачи.
Семинар 9 (13.03.2021): Неприводимость над Q и Z, признак Эйзенштейна, признак Дюма. Неприводимость x^p-x-a над Z_p.
Семинар 10 (20.03.2021): Алгоритм Берлекэмпа. Разные задачи про приводимость и неприводимость.
Контрольные мероприятия
Домашние задания
Домашнее задание 1 доступно по ссылке, сдавать до 23:59 4 марта 2021 года.
Домашнее задание 2 доступно по ссылке, сдавать до 23:59 25 марта 2021 года.
Контрольная работа
Состоится 27 марта в 16:20 в Zoom.
Экзамен
Экзамен проводится в устной форме. Программа экзамена
Правила выставления оценок
Итоговая оценка вычисляется по формуле
- Округление(0.15*ДЗ1 + 0.15*ДЗ2 + 0.3*КР + 0.4*ЭК),
где ДЗ1 – оценка за домашнее задание № 1, ДЗ2 – оценка за домашнее задание № 2, КР – оценка за контрольную работу и ЭК – оценка за устный экзамен.
Округление арифметическое.
Блокирующих элементов контроля в курсе нет. Автоматы не выставляются.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература:
[1] Дж.Дэвенпорт, И.Сирэ и Э.Турнье. Компьютерная алгебра. Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. М.: Мир, 1991
[2] Д.Кокс, Дж.Литтл, Д.О’Ши. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. М.: Мир, 2000
[3] V.Ene and J.Herzog. Groebner Bases in Commutative Algebra. Graduated Studies in Mathematics 130, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011
Рекомендуемая дополнительная литература:
[1] А.Акритас. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.: Мир, 1994
[2] Введение в криптографию. Под редакцией В.В.Ященко. М.: МЦНМО, 2012
[3] Э.Б. Винберг. Курс алгебры (4-е издание). М.: МЦНМО, 2019
[4] С.Г.Влэдуц, Д.Ю.Ногин и М.А.Цфасман. Алгеброгеометрические коды. М.: МЦНМО, 2003
[5] Н.Коблиц. Курс теории чисел и криптографии. М.; ТВП, 2001
[6] А.Ромащенко, А.Руменцев и А.Шень. Заметки по теории кодирования (2-е издание). М.: МЦНМО, 2017
[7] Сборник задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
[8] T.Becker, H.Kredel, V.Weispfenning. Groebner Bases: A Computational Approach to Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1993
[9] D.Cox, J.Little, D.O'Shea. Using Algebraic Geometry. 2nd Edition. Graduate Texts in Mathematics, vol. 185, Springer, 2005
[10] B.Sturmfels. Groebner Bases and Convex Polytopes. University Lecture Series, vol. 8, American Mathematical Society, Providence, RI, 1996
