Математическое моделирование 2022

О курсе

Данный курс Математическое моделирование читается в 1-ом семестре 2022/2023 учебного года на Факультете компьютерных наук НИУ ВШЭ для специализации Математическая инженерия.

Курс состоит из следующих перемежающихся друг с другом разделов:

• собственно модели (дифференциальная геометрия, физика),
• точные методы исследования моделей (алгебраические, аналитические)

Рассчитан на 1 семестр (2 модуля).

Область знаний, которую можно было бы назвать математическим моделированием, изучает как сами математические модели, так и общие закономерности их построения и методы анализа.

Как известно, любая наука в процессе своего становления проходит путь от классификации изучаемых объектов (примеры таких классификаций мы можем видеть в астрономии, биологии, химии) к их математическому описанию. По мнению А.Н. Уайтхеда: всякая наука по мере развития и совершенствования ее методов становится математической в своих основных понятиях.

Наиболее долгий и плодотворный путь в этом направлении прошла физика, влиянием которой проникнуты многие разделы математики. Можно даже сказать, что математика и физика развивались параллельно, взаимно обогащая друг друга идеями и методами. Поэтому выбор физики как плацдарма для курса математического моделирования вполне закономерен. С другой стороны, конечно, математическое моделирование не есть физика. Мы берем из физики лишь сами модели, оставляя физикам мотивировки и интерпретации.

План курса

В рамках семестрового курса мы вряд ли имеем возможность вникать в изучаемые темы слишком глубоко. Многие из представленных ниже тем в отдельности могли бы претендовать на семестровый курс, или даже более. Наш курс следует рассматривать как не более, чем знакомство с некоторыми задачами и методами математического моделирования. Приведенные в каждой теме литературные ссылки могут быть полезны для более детального изучения (эти книги рекомендуется по крайней мере бегло просматривать, чтобы составить себе общее представление).

1. Введение в математическое моделирование

1.1 Общее представление о математической модели.

1.2 Корректность по Адамару.

Литература (вообще по предмету математическое моделирование):

1. Самарский А.А., Михайлов А.П. - Математическое моделирование. М.: Физматлит, 2001

2. Зарубин В.С. - Математическое моделирование в технике. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2003

3. Амелькин В.В., Садовский А.П. - Математические модели и дифференциальные уравнения. Минск: Выш. школа, 1982

2. Дифференциальная геометрия

2.1 Кривая, ее кривизны и уравнения Френе

2.2 Поверхность и ее основные квадратичные формы

2.3 Нормальная кривизна, главные кривизны, полная и средняя кривизна

2.4 Уравнения Гаусса - Вейнгартена. Символы Кристоффеля

2.5 Уравнения Гаусса и Петерсона - Кодацци

2.6 Ковариантная производная, параллельный перенос и геодезические линии

Литература:

1. Шилов Г.Е. - Математический анализ. Функции одного переменного. Часть 3. М.: 1970. Глава 16

2. Шилов Г.Е. - Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. Части 1-2. М.: 1972. Глава 5.

3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. - Современная геометрия. М.: URSS, 2013. Том 1. Главы 1, 2

4. Алексеевский Д.В., Виноградов А.М., Лычагин В.В. - Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии // Итоги науки и техн. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, том 28, Геометрия-1. М.: ВИНИТИ, 1988. Главы 1,2

3. Механика системы точек и твердого тела

3.1 Основные постулаты и принципы механики

3.2 Механика системы свободных точек

3.3 Механика твердого тела

3.4 Уравнение Лагранжа и вариационный принцип

3.5 Уравнения Гамильтона и скобка Пуассона

3.6 Уравнение Гамильтона - Якоби

Литература:

1. Маркеев А.П. - Теоретическая механика

2. Арнольд В.И. - Математические методы классической механики

3. Ландау, Лифшиц - Курс теоретической физики. Том 1. Механика

4. Векторный анализ и теория потенциала

4.1 Градиент, дивергенция и ротор

4.2 Ньютоново поле и потенциал вне тела

4.3 Ньютоново поле внутри притягивающей среды

4.4 Поле Био - Саварра и векторный потенциал

Литература:

1. Шилов Г.Е. - Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. Части 1-2. М.: 1972. Главы 4,7

2. Кондратьев Б.П. - Теория потенциала. Новые методы и задачи с решениями. М.: Мир, 2007

3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. - Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999

Занятия

Занятия проводятся в смешанном формате, без разделения материала на теорию / практику.

Записи занятий выкладываются в [ плейлист]

Формы контроля

По каждой теме (кроме Введения) выдается домашняя контрольная, выполнение которой оценивается.

Текущие оценки за домашние контрольные выставляются в гугл-таблицу. Все домашние контрольные учитываются с одинаковым весом и складываются в среднюю оценку (Д).

В конце семестра предусмотрен экзамен (Э), имеющий формат большой контрольной работы по всему материалу курса.

Итоговая оценка = 0.7 Д + 0.3 Э