Математический анализ - 2 (основной поток)

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	193	195	196	197	198	199	1910	1911
Лектор	Маевский Е.В.
Семинарист	Колесниче́нко Е.Ю.	Днестрян А.И.	Маевский Е.В.	Маевский Е.В.	Маевский Е.В.	Колесниче́нко Е.Ю.	Томашевский С.В.	Томашевский С.В.
Ассистент	Вологодский Михаил	Субхангулов Султан	Лямзин Алексей	Паузнер Илья	Сухарьков Александр	Семерова Елена	Цыганов Артем	Сухарьков Александр

Приемные часы

Преподаватель	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница
Маевский Евгений Валерьевич	почта: emaevskiy@mail.ru или телеграм: @emaevskiy
Колесниче́нко Елена Юрьевна
Днестрян Андрей Игоревич
Томашевский Сергей Владимирович

О курсе

Данный курс Математический анализ - 2 читается в 2020/2021 учебном году на основном потоке образовательной программы "Прикладная Математика и Информатика" Факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ.

Курс состоит из следующих разделов: числовые и функциональные ряды, кратные интегралы, интегралы с параметром, ряды и преобразование Фурье, криволинейные и поверхностные интегралы, элементы комплексного анализа. Рассчитан на 2 семестра (4 модуля).

Лекции и коллоквиумы

О коллоквиумах

Описанный ниже формат коллоквиума действует начиная с 3-го модуля. Информация о формате коллоквиумов 1-го и 2-го модулей удалена, т.к. перестала быть актуальной.

Коллоквиум у нас - это письменный зачет по теории. Проводится на последнем семинаре модуля. Состоит из 3 теоретических заданий на 80 минут. Теоретические задания включают в себя вопросы на формулировку определений, утверждений и доказательства. Каждое задание оценивается по системе 0-1-2-3-4 без дробных баллов. Затем баллы суммируются и сумма умножается на 5/6.

О лекциях

Размещенные по ссылкам в оглавлении лекций дополнительные материалы (обычно содержащие полные доказательства и дополнительные примеры) необязательны для изучения, но могут быть небезынтересны для отдельных интересующихся студентов.

[Ф123] - это ссылка на пункт (в данном случае - 123) в учебнике Фихтенгольца издания 1969г. Нумерация пунктов в этом учебнике сплошная.

[З11.6] - это ссылка на главу 11, параграф 6 в учебнике Зорича. Нумерация глав - сплошная.

Модуль 1

Лекция 1.1 (01.09.20) Видео

I. Числовые и функциональные ряды

1. Введение

1.1 Основные понятия [Ф362]

1.2 Необходимое условие сходимости ряда [Ф364]

1.3 Критерий Коши сходимости ряда [Ф376]

1.4 Примеры

2. Положительные ряды

2.1 Введение [Ф365]

2.2 Признаки сравнения [Ф366]

2.3 Отсутствие универсального ряда сравнения [Ф375]

Лекция 1.2 (08.09.20) Видео

2.4 Признак Лобачевского - Коши [Ф375]

2.5 Оценка частичных сумм гармонического ряда

2.6 Признак Даламбера и радикальный признак Коши [Ф368]

2.7 Радикальный признак Коши сильнее признака Даламбера

2.8 Признак Гаусса [Ф372]

2.9 Сравнение с интегралом [Ф373]

2.10 Улучшение сходимости ряда [Ф415]

Дополнение. Теорема Штольца [Ф33]

Лекция 1.3 (15.09.20) Видео

3. Знакопеременные ряды

Внимание! В учебнике Фихтенгольца другая (устаревшая) терминология (знакопеременным рядом там называется то, что теперь принято называть знакочередующимся).

3.1 Абсолютная и условная сходимость. Положительная и отрицательная части ряда

3.2 Мажорантный признак Вейерштрасса

3.3 Группировка членов ряда. Приведение знакопеременного ряда к знакочередующемуся

3.4 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

3.5 О неприменимости эквивалентности и применении асимптотики общего члена

3.6 Формула суммирования по частям. Признаки Абеля и Дирихле

3.7 Влияние перестановки членов на сумму ряда

Лекция 1.4 (22.09.20) Видео

3.8 Умножение рядов

4. Бесконечные произведения

4.1 Основные понятия

4.2 Сходимость бесконечного произведения

4.3 Абсолютная сходимость бесконечного произведения

4.4 Примеры (произведение Валлиса и тождество Эйлера для ζ-функции Римана)

5. Функциональные последовательности

5.1 Поточечная и равномерная сходимость

5.2 Равномерная норма. Критерий Коши равномерной сходимости

5.3 Сходимость последовательности непрерывных функций. Теорема Дини о монотонной сходимости

Внимание! На лекции допущена ошибка в формулировке теоремы Дини: опущено условие непрерывности предельной функции. Читайте мой комментарий к лекции на ютубе.

5.4 Неравномерная сходимость: локализация особенности

Лекция 1.5 (29.09.20) Видео

5.5 Свойства равномерно сходящейся последовательности

6. Равномерная сходимость функционального ряда

6.1 Основные понятия

6.2 Необходимое условие равномерной сходимости

6.3 Критерий Коши равномерной сходимости

6.4 Признаки Вейерштрасса и Даламбера

6.5 Признак Лейбница

6.6 Признаки Дирихле и Абеля

6.7 Свойства равномерно сходящегося ряда

Лекция 1.6 (06.10.20) Видео

7. Степенные ряды

7.1 Основные понятия

7.2 Теорема Абеля о сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Интервал сходимости

7.3 Сходимость степенного ряда в граничной точке интервала сходимости

7.4 Дифференцирование и интегрирование степенного ряда

7.5 Ряд Тейлора. Оценки для остатка ряда

7.6 Ряды Тейлора основных элементарных функций

Лекция 1.7 (13.10.20) Видео

7.7 Треугольник Бернулли - Эйлера и разложения tg и sec

7.8 Радиус сходимости и экспоненциальное убывание коэффициента

8 Степенной ряд от комплексной переменной

8.1 Признак Абеля и теорема Абеля. Радиус сходимости. Круг сходимости

8.2 Аналитическая функция. Особые точки

8.3 Основные элементарные функции комплексной переменной

8.4 Формула Эйлера для комплексной экспоненты

9. Операции над степенными рядами

9.1 Умножение степенных рядов

9.2 Деление степенных рядов

9.3 Мультиномиальная формула и перестановки с повторениями

9.4 Подстановка степенного ряда в степенной ряд

9.5 Обращение степенного ряда. Формула Лагранжа

Десерт

10. Эйлеровы разложения тригонометрических функций

10.1 Разложение sin в бесконечное произведение

10.2 Разложение cos в бесконечное произведение

10.3 Значения ζ-функции от положительного четного аргумента

10.4 Разложения tg и ctg на простейшие дроби

Коллоквиум 1

Вопросы

Коллоквиум состоится 17 октября (суббота) в 16:20 (Московское время). Материал лекции 13.10 в него не войдет. Коллоквиум пройдет в дистанционном формате для всех групп. Дополнительные инструкции смотрите на почте.

Модуль 2

Лекция 2.1 (27.10.20) Видео

II. Кратные интегралы

1. Мера Жордана

1.1 Мера на кольце подмножеств

1.2 Ограниченные полуинтервалы в R^m

1.3 Кольцо простых множеств в R^m и мера на нем

1.4 Внешняя m-мерная мера Жордана и ее свойства

1.5 Кольцо множеств в R^m, измеримых по Жордану. Внутренняя мера Жордана

1.6 Интегрируемость функции по Риману и измеримость по Жордану ее подграфика

Лекция 2.2 (03.11.20) Видео

2. Кратный интеграл Римана

2.1 Область интегрирования и ее разбиение

2.2 Произведение разбиений. Измельчение разбиения. Диаметр разбиения

2.3 Интегральная сумма. Интегрируемость функции

2.4 Критерий Коши интегрируемости функции

2.5 Интегрируемость и ограниченность

2.6 Нижняя и верхняя суммы Дарбу. Их свойства

2.7 Критерий Дарбу интегрируемости функции

2.8 Интегрируемость равномерно непрерывной функции

2.9 Критерий Дюбуа-Реймона

2.10 Критерий Лебега

Лекция 2.3 (10.11.20) Видео

3. Свойства интеграла как функционала

3.1 Линейность интеграла

3.2 Интегрируемость произведения интегрируемых функций

3.3 Интегрируемость композиции непрерывной и интегрируемой

3.4 Неравенство для модуля интеграла

3.5 Монотонность интеграла

3.6 Теорема о среднем значении

3.7 Непрерывность интеграла

4. Свойства интеграла как функции множества

4.1 Аддитивность интеграла

Лекция 2.4 (17.11.20) Видео

4.2 Заряд и его плотность

4.3 О заряде, имеющем нулевую плотность

4.4 Выражение меры через плотность

5. Сведение кратного интеграла к повторному

5.1 Произведение мер

5.2 Интеграл по декартову произведению

Лекция 2.5 (24.11.20) Видео

5.3 Интеграл по множеству с измеримыми слоями

5.4 Интеграл по цилиндрической области

6. Криволинейные координаты

6.1 Общие понятия

6.2 Полярные координаты

6.3 Цилиндрические координаты

6.4 Сферические координаты

7. Замена переменных в кратном интеграле

7.1 Образ жорданова множества

Лекция 2.6 (01.12.20) Видео

7.2 Преобразование объема при диффеоморфизме

7.3 Теорема о замене переменных

7.4 Внешнее умножение дифференциалов и преобразование элемента объема

8. Геометрические приложения кратного интеграла

8.1 Объем, ограниченный графиком

8.2 Понятие площади поверхности (начало)

Лекция 2.7 (08.12.20) Видео

8.2 Понятие площади поверхности (продолжение)

8.3 Независимость площади от параметризации

8.4 Частные случаи в малых размерностях

9. Несобственный кратный интеграл [З11.6]

9.1 Исчерпание множества

9.2 Определение несобственного интеграла

9.3 Несобственный интеграл от неотрицательной функции

9.4 Теорема об абсолютной сходимости [Ф613]

9.5 Мажорантный признак сходимости

Лекция 2.8 (15.12.20) Видео

10. Изопериметрическое неравенство

10.1 Сумма множеств по Минковскому

10.2 Неравенство Брунна - Минковского

10.3 Площадь поверхности по Минковскому

10.4 Изопериметрическое неравенство

Коллоквиум 2

Вопросы

Коллоквиум состоится 19.12 (суббота) в 11:10. Формат коллоквиума - дистанционный. Материал лекции 15.12 в него не войдет.

Модуль 3

Лекция 3.1 (12.01.21) Видео

III. Интегралы, зависящие от параметра

1. Собственный интеграл с параметром и его свойства [З17.1]

Лекция 3.2 (19.01.21) Видео

2. Равномерная сходимость семейства функций [З16.1]

3. Свойства равномерно сходящегося семейства функций [З16.3]

Лекция 3.3 (26.01.21) Видео

4. Равномерная сходимость несобственного интеграла [З17.2]

Лекция 3.4 (02.02.21) Видео

5. Свойства равномерно сходящегося несобственного интеграла [З17.2]

Лекция 3.5 (09.02.21) Видео

5. Свойства равномерно сходящегося несобственного интеграла [З17.2] (продолжение)

Лекция 3.6 (16.02.21) Видео

6. Эйлеровы бета- и гамма-функции

Лекция 3.7 (02.03.21) Видео

IV. Ряды и преобразование Фурье

1. Абстрактные ряды Фурье

Лекция 3.8 (09.03.21) Видео

1. Абстрактные ряды Фурье (продолжение)

2. Тригонометрические ряды Фурье

Лекция 3.9 (16.03.21) Видео

2. Тригонометрические ряды Фурье (продолжение)

Лекция 3.10 (23.03.21) Видео

3. Преобразование Фурье

4. Дискретное преобразование Фурье

Коллоквиум 3

Вопросы

Коллоквиум состоится на последнем семинаре модуля. Формат коллоквиума - письменный зачет по теории. Материал лекции 23.03 в него не войдет.

Модуль 4

Лекция 4.1 (06.04.21) Видео

V. Криволинейные и поверхностные интегралы

1. Криволинейный и поверхностный интеграл I-го рода [З12.1, 12.4, 13.1, 13.2]

1.1 Понятия гладкой кривой и гладкой поверхности (напоминание)

1.2 Длина гладкой кривой и площадь гладкой поверхности (напоминание)

1.3 Криволинейный интеграл I-го рода

1.4 Физические понятия, связанные с криволинейным интегралом I-го рода (масса и заряд материальной кривой, центр масс кривой)

1.5 Поверхностный интеграл I-го рода

1.6 Физические понятия, связанные с поверхностным интегралом I-го рода (масса и заряд материальной поверхности, центр масс поверхности, теоремы Гульдина)

Лекция 4.2 (13.04.21) Видео

2. Ориентация пространства, кривой и поверхности [З12.2, 12.3]

2.1 Ориентация пространства и элементарной гладкой поверхности

2.2 Понятие гладкого многообразия: карты и атлас

2.3 Гладкое многообразие с краем

2.4 Ориентируемость и ориентация гладкого многообразия (кривой и поверхности)

2.5 Согласованная ориентация края поверхности (не успели)

Лекция 4.3 (20.04.21) Видео

3. Криволинейный интеграл II-го рода и формула Грина [З12.5, 13.1, 13.2, 13.3]

3.1 Дифференциальная 1-форма в области пространства

3.2 Дифференциальная 1-форма на кривой

3.3 Криволинейный интеграл II-го рода

3.4 Выражение криволинейного интеграла II-го рода через криволинейный интеграл I-го рода

3.5 Формула Грина и ее приложение к вычислению площади

3.6 Внешний дифференциал 1-формы и краткая запись формулы Грина

Лекция 4.4 (27.04.21) Видео

4. Поверхностный интеграл II-го рода. Формулы Остроградского - Гаусса и Стокса [З12.5, 13.1, 13.2, 13.3]

Лекция 4.5 (11.05.21) Видео

VI. Элементы комплексного анализа

1. Введение в комплексный анализ

1.1 Комплексная плоскость

1.2 Сфера Римана

1.3 Функция комплексной переменной

1.4 Многозначность

1.5 Многолистность и риманова поверхность

Лекция 4.6 (18.05.21)

1.6 Предел и непрерывность

2. Голоморфные функции и формула Коши

2.1 Линейные отображения

2.2 Дифференцируемость

2.3 Голоморфность

2.4 Интеграл и теорема Коши

2.5 Интегральные формулы Коши - Грина и Коши

Лекция 4.7 (25.05.21)

3. Свойства голоморфных функций

3.1 Голоморфность композиции (в частности: суммы, произведения, частного)

3.2 Голоморфность обратной функции

3.3 Аналитичность голоморфной функции. Неравенство Коши (для коэффициентов ряда)

3.4 Бесконечная дифференцируемость и голоморфность аналитической функции

Лекция 4.8 (01.06.21)

3.5 Голоморфность и радиус сходимости

3.6 Теорема Лиувилля (о голоморфной и ограниченной на всей плоскости функции)

3.7 Теорема единственности аналитической функции

4. Однозначные особые точки и ряд Лорана

4.1 Однозначные особые точки

4.2 Устранимая особенность

4.3 Полюс

4.4 Существенная особенность

Лекция 4.9 (08.06.21)

4.5 Ряд Лорана

4.6 Единственность разложения Лорана

4.7 Главная часть ряда Лорана и классификация особых точек

5. Теория вычетов и ее приложения

5.1 Понятие вычета и теорема Коши о вычетах

5.2 Вычисление вычета

5.3 Пример применения вычетов для вычисления несобственного интеграла

Лекция 4.10 (15.06.21)

5.4 Применение вычетов к суммированию рядов

5.5 Примеры суммирования рядов

5.6 Разложение мероморфной функции в сумму простейших дробей

5.7 Разложения tg и ctg

Коллоквиум 4

Вопросы

Коллоквиум состоится на последнем семинаре модуля. Формат коллоквиума - письменный зачет по теории. Материал последней лекции модуля в него не войдет.

Семинары, домашние задания, самостоятельные работы и экзамены

О домашних заданиях

К каждому семинару выдается список задач. Некоторые задачи из этого списка рассматриваются на семинаре, остальное - ДЗ.

Задачи со звездочками предназначены для интересующихся студентов. Эти задачи не проверяются и никак не учитываются.

О самостоятельных работах

На следующем семинаре проводится самостоятельная работа по темам предыдущего семинара. Каждому студенту предлагается решить 1 задачу, аналогичную задачам из списка. Самостоятельная оценивается по системе 0-1-2.

Если студент пропустил самостоятельную по уважительной причине, то ему предлагается альтернатива. Либо он пишет работу в присутствии преподавателя в дополнительное время (и тогда работа оценивается по той же системе 0-1-2), либо он получает задание и пишет работу в свободном режиме дома (и тогда работа оценивается по системе 0-1).

Об экзаменах

На экзамен выносятся все темы, пройденные на семинарах, кроме тем последних семинаров модулей. Для подготовки рекомендуется решать задачи из соответствующих списков. Теоретический материал (в том числе теоретические задачи) в экзамены не входит.

Демонстрационные варианты экзамена показывают примерный уровень сложности заданий и их примерное распределение по темам. Не следует думать, что задания экзаменационных вариантов обязательно будут таких же типов.

Модуль 1

Семинар 1.1 Частичная сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Задачи

Семинар 1.2 Положительные ряды. Задачи

Семинар 1.3 Знакопеременные ряды. Задачи

Семинар 1.4 Бесконечные произведения. Функциональные последовательности. Задачи

Семинар 1.5 Исследование сходимости функциональных рядов. Задачи

Семинар 1.6 Степенные ряды. Ряды Тейлора. Задачи

Семинар 1.7 Итоговое повторение по темам модуля. Задачи - факультативно

Модуль 2

Семинар 2.1 Мера Жордана. Теоретические задачи

Семинар 2.2 Кратный интеграл Римана. Теоретические задачи

Семинар 2.3 Вычисление кратного интеграла. Задачи

Семинар 2.4 Вычисление кратного интеграла. Задачи

Семинар 2.5 Замена переменных в кратном интеграле. Задачи

Семинар 2.6 Геометрические приложения кратного интеграла. Задачи

Семинар 2.7 Несобственный кратный интеграл. Задачи

Семинар 2.8 Итоговое повторение по темам модуля и семестра.

Экзамен 1

Экзамен состоится 24 декабря в 14:00. Формат: 6 вычислительных задач на 90 минут. По окончании листы надо сфотографировать и выслать преподавателю, ведущему семинары, с копией лектору (тема письма: группа_Фамилия_Имя, например: 190_Маевский_Евгений). Проверка: каждое задание оценивается по системе 0-1-2. Показ работ: по согласованию с семинаристом.

Тематическое распределение заданий:

1. Исследование числового ряда на сходимость или абсолютную сходимость
2. Исследование функционального ряда на равномерную сходимость
3. Вычисление области сходимости степенного ряда
4. Замена переменных в кратном интеграле
5. Вычисление объема тела или площади поверхности
6. Исследование сходимости несобственного кратного интеграла

Демо-варианты экзамена

Модуль 3

Семинар 3.1 Собственный интеграл, зависящий от параметра. Задачи

Семинар 3.2 Равномерная сходимость системы функций. Задачи

Семинар 3.3 Равномерная сходимость несобственного интеграла. Задачи

Семинар 3.4 Предельный переход под знаком несобственного интеграла. Задачи

Семинар 3.5 Дифференцирование под знаком несобственного интеграла. Задачи

Семинар 3.6 Эйлеровы интегралы. Задачи

Семинар 3.7 Ряды Фурье. Задачи

Семинар 3.8 Ряды Фурье. Задачи

Семинар 3.9 Преобразование Фурье. Задачи

Семинар 3.10 Коллоквиум-3

Модуль 4

Семинар 4.1 Криволинейный интеграл I-го рода. Задачи

Семинар 4.2 Поверхностный интеграл I-го рода. Задачи

Семинар 4.3 Криволинейный интеграл II-го рода. Формула Грина. Задачи

Семинар 4.4 Поверхностный интеграл II-го рода. Формулы Остроградского - Гаусса и Стокса. Задачи

Семинар 4.5 Введение в комплексный анализ. Задачи

Семинар 4.6 Непрерывность и голоморфность. Задачи

Семинар 4.7 Конформные отображения. Задачи

Семинар 4.8 Однозначные особые точки и ряд Лорана. Задачи

Семинар 4.9 Теория вычетов и ее приложения. Задачи

Семинар 4.10 Коллоквиум-4

Экзамен 2

Экзамен состоится 24 июня в 15:00. Формат: 6 вычислительных задач на 180 минут. По окончании листы надо сфотографировать и выслать преподавателю, ведущему семинары, с копией лектору (тема письма: группа_Фамилия_Имя, например: 190_Маевский_Евгений). Проверка: каждое задание оценивается по системе 0-1-2 балла. Баллы за задачи суммируются и срезаются 10-ю баллами взятием min(10, summa). Показ работ: по согласованию с семинаристом.

Тематическое распределение заданий:

1. Интеграл, зависящий от параметра (вычисление интеграла с помощью перехода к пределу или дифференцирования под знаком интеграла)
2. Ряды Фурье (разложение функции в тригонометрический ряд Фурье)
3. Криволинейный интеграл (вычисление криволинейного интеграла I-го или II-го рода, без формул Грина и Стокса)
4. Поверхностный интеграл (вычисление поверхностного интеграла I-го или II-го рода, без формулы Остроградского - Гаусса)
5. Элементы комплексного анализа (уравнения Коши - Римана, дробно-линейное отображение, разложение в ряд Лорана, вычеты и их приложения)
6. Задача по материалу I-го семестра (аналогичная одной из задач Экзамена-1)

Демо-вариантов не будет, поскольку их наличие в I-м семестре было истолковано неверно.

Ведомость с оценками

193

195

196

197

198

199

1910

1911

Формы контроля и оценивание

В течение года установлены следующие формы контроля:

• 2 письменных экзамена (e₁, e₂ - 10-балльные оценки за экзамены);
• 4 коллоквиума (k₁, k₂, k₃, k₄ - 10-балльные оценки за коллоквиумы);
• некоторое число самостоятельных работ (s₁, s₂, s₃, s₄ - средние оценки за самостоятельные работы по модулям, приведенные к 10-балльной шкале).

Все оценки считаются и учитываются без округлений. Округление производится по общепринятому правилу: round(x)=floor(x+0.5) непосредственно перед выставлением оценок в официальные бумаги.

Итоговая оценка 1-го семестра:

i₁=0.125n₁+0.5e₁, где n₁=s₁+s₂+k₁+k₂

Если n₁≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом e₁=10.

Если 38>n₁≥32, то студент (по умолчанию) освобождается от экзамена и выставляется автоматом e₁=0.25n₁ (без округления). Если все же студент желает сдавать экзамен, то сообщить об этом следует не позднее, чем за 3 дня до экзамена.

Итоговая оценка 2-го семестра:

i₂=0.125n₂+0.5e₂, где n₂=s₃+s₄+k₃+k₄

Если n₂≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом e₂=10.

Если 38>n₂≥32, то студент (по умолчанию) освобождается от экзамена и выставляется автоматом e₂=0.25n₂ (без округления). Если все же студент желает сдавать экзамен, то сообщить об этом следует не позднее, чем за 3 дня до экзамена.

Итоговая оценка за курс:

i=0.5(i₁ + i₂)

(округляется непосредственно перед выставлением в итоговую ведомость)

Блокирующих форм контроля нет.

Список рекомендуемой литературы

Учебники

[Ф] Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления. 1969

Том 1 (пп. 1-262) Том 2 (пп. 263-542) Том 3 (пп. 543-762)

Классический учебник анализа, выдержавший многократные переиздания и вошедший в классику математической литературы (первое издание - 1949 г.). По широте охвата материала, количеству разобранных примеров, качеству и доступности объяснений - возможно, до сих пор непревзойден. Некоторая терминология устарела. Отсутствует современная теория интегрирования (дифференциальные формы и общая теорема Стокса).

[З] Зорич В.А. - Математический анализ. 2019

Часть 1 Часть 2

Замечательный современный учебник анализа. Теория рядов изложена, возможно, недостаточно подробно. В остальном - прекрасно дополняет учебник Фихтенгольца.

[Шл] Шилов Г.Е. - Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. 1972

[ Части 1-2]

Пользовался этой книгой при изложении теории меры Жордана и интеграла Римана. Книга в целом несколько выходит за рамки классического курса математического анализа.

[МП] Макаров Б.М., Подкорытов А.Н. - Лекции по вещественному анализу. 2011

Математический анализ, основанный на теории меры и интеграла Лебега. Эта книга не имеет непосредственного отношения к нашему курсу. Но, учитывая желательность знакомства с теорией Лебега для некоторых разделов математики (ряды и интегралы Фурье, теория вероятностей, дифференциальные уравнения, функциональный анализ), рекомендую ее для продвинутых студентов. В книге много вкусностей (например: мера и размерность по Хаусдорфу, изопериметрическое неравенство). Также рекомендую задачник тех же авторов.

[Ш] Шабат Б.В. - Введение в комплексный анализ. 1976

Часть 1

Современный учебник по комплексному анализу, написанный понятным языком и содержащий хорошие примеры. Нам понадобится только первая часть. Вторая часть - по многомерному комплексному анализу - совершенно выходит за рамки нашего курса.

Задачники

[Д] Демидович Б.П. - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Любое издание

Например, это

Классический задачник по математическому анализу. Если кто забыл о чем было в первой части курса анализа - вам сюда. Решайте задачи, повторяйте, тренируйтесь. Без уверенного владения матанализом-1 вы не освоите матанализ-2.

[С] Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. - Математический анализ в задачах и упражнениях. Т.2,3. МЦНМО, 2018

Обычно пользуюсь этим задачником при планировании семинарских занятий.