Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2023/2024 (пилотный поток)

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ231	БПМИ232	БПМИ233	БПМИ234
Лектор	Дима Трушин
Семинарист	Дима Трушин	Юля Зайцева	Дима Трушин	Антон Трушин
Ассистент	Аскар Цыганов	Денис Видяев	Санан Корняков	Женя Катасонов
Ассистент курса	Игорь Маркелов

Расписание консультаций

	Преподаватель/ассистент	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница	суббота	воскресенье
1	Дима Трушин			17:00-20:00 S812
2	Юля Зайцева		16:20-17:40 S828*			14:40-16:00 S828*
3	Михаил Игнатьев	18:10 S812	16:20 по нечетным S812		19:40 по нечетным S812

* Просьба предупреждать, если планируете прийти, возможны изменения

Формы контроля знаний студентов

• Коллоквиум
• Контрольная работа
• Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
• Активность и работа на семинарах
• Экзамен

Бонус к накопленной оценке:

• Устная сдача задач из листков

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Формула для накопленной оценки:

O_{накопленная} = 0,36 * О_колл + 0,25 * O_к/р + 0,25 * O_д/з + 0,14 * O_сем + 0,1 * O_л,

где О_колл — оценка за коллоквиум, O_к/р — оценка за контрольную работу, O_д/з — оценка за большие домашние задания, O_сем — оценка за работу на семинарах и O_л — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

O_{итоговая} = 0,7 * O_{накопленная} + 0,3 * О_экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

4-й модуль

Формула для накопленной оценки:

O_{накопленная} = 0,36 * О_колл + 0,25 * O_к/р + 0,25 * O_д/з + 0,14 * O_сем + 0,1 * O_л,

где О_колл — оценка за коллоквиум, O_к/р — оценка за контрольную работу, O_д/з — оценка за большие домашние задания, O_сем — оценка за работу на семинарах и O_л — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

O_{итоговая} = 0,7 * O_{накопленная} + 0,3 * О_экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

Итоговая оценка за курс -- оценка за 4-ый модуль.

Краткое содержание лекций

1-2 модули

Лекция 1 (06.09.2023). Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса.

Лекция 2 (13.09.2023). Матрицы, матричные операции и их свойства. Связь с линейными уравнениями. Обратимость матриц. Матрицы элементарных преобразований. Невырожденность матриц: 6 эквивалентных определений.

Лекция 3 (20.09.2023). Доказательство эквивалентности 6 определений невырожденности. Следствия 6 эквивалентных определений. Массовое решение систем. Поиск обратной матрицы Гауссом. Блочные формулы умножения матриц. Метод восстановления главных переменных через множество решений. Единственность улучшенного ступенчатого вида матрицы. Классификация систем с одинаковым множеством решений.

Лекция 4 (27.09.2023). Доказательство классификации систем с одинаковым множеством решений. Полиномиальное исчисление от матриц. Существование многочлена зануляющего матрицу. Спектр матрицы. Минимальный многочлен и его связь со спектром. Наивная оценка на степень минимального многочлена. Матричные нормы (обзор).

Лекция 5 (04.10.2023). Перестановки. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки. Существование знака перестановки.

Лекция 6 (11.10.2023). Единственность знака перестановки. Возведение циклов в степень. Декремент. Три подхода к определителям: (I) явная формула с помощью перестановок, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) согласованность с умножением. Вычисление по явной формуле для верхнетреугольных матриц и в случае размерностей 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы.

Лекция 7 (18.10.2023). Полилинейность определителя (импликация (I)=>(II)). Определитель элементарных матриц. Доказательство импликации (II)=>(I). Мультипликативность определителя (импликация (II)=>(III)), определитель с углом нулей и определитель блочно верхнетреугольной матрицы.

Лекция 8 (01.11.2023). Импликация (III)=>(I). Миноры и алгебраические дополнения, присоединенная матрица. Разложение определителя по строке или столбцу. Явная формула для обратной матрицы. Формулы Крамера.

Лекция 9 (08.11.2023). Характеристический многочлен. Связь характеристического многочлена со спектром. Явные формулы для коэффициентов характеристического многочлена. Теорема Гамильтона-Кэли.

Лекция 10 (15.11.2023). Определение поля. Определение подполя и изоморфизма полей, изоморфизм над подполем. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Различные операции на комплексных числах, геометрическая модель. План доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

Лекция 11 (22.11.2023). Доказательство алгебраической замкнутости поля комплексных чисел: вспомогательные утверждения (1), (2) и (3), сведение доказательства теоремы к (2) и (3), вывод (2) из (1), доказательство (1) и (3). Определение векторного пространства.

Лекция 12 (29.11.2023). Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость. Порождающая система, линейная оболочка. Три эквивалентных определения базиса. Понятие размерности. Конечномерные векторные пространства. Базисы, матрица перехода, смена координат.

Лекция 13 (06.12.2023). Описание всех базисов в терминах одного. Ранг конечной системы векторов, его связь с размерностью линейной оболочки системы. Пять определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Неизменность первых четырех рангов при домножении на обратимую матрицу слева и справа и их совпадение. Совпадение минорного ранга с остальными.

Лекция 14 (13.12.2023). Линейные отображения, примеры. Изоморфизмы. Операции на линейных отображениях, структура векторного пространства. Критерий существования линейного отображения в терминах базиса, критерий изоморфности векторных пространств. Матрица линейного отображения и ее связь с операциями на линейных отображениях. Замена матрицы линейного отображения при смене базисов.

Лекция 15 (20.12.2023). Образ и ядро. Критерий инъективности и сюръективности в их терминах. Оценка ранга произведения матриц. Связь размерности ядра и образа линейного отображения. Классификация линейных отображений. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей.

3-4 модули

Лекция 16 (10.01.2024). Линейная независимость подрпостранств. Внешние и внутренние прямые суммы (6 эквивалентных определений). Линейные операторы, определения и примеры, проекторы. Матрица линейного оператора, смена матрицы при замене базиса.

Лекция 17 (17.01.2024). Характеристики линейного оператора: след, определитель, характеристический многочлен, минимальный многочлен, спектр, ранг. Критерии обратимости линейного оператора. Инвариантные подпространства и связь с углом нулей. Инвариантность ядра и образа относительно коммутирующего оператора. Собственные подпространства. Связь собственных значений со спектором. Корневые подпространства. Лемма о стабилизации образа и ядра степени линейного оператора.

Лекция 18 (24.01.2024). Кратность собственных значений. Существование ненулевого собственного вектора над алгебраически замкнутым полем. Линейная независимость собственных и корневых подпространств. Критерий диагонализуемости линейного оператора.

Лекция 19 (31.01.2024). Свойства ограничения оператора. Приведение к верхнетреугольному виду матрицы оператора. Идеальный спектр и его описание в терминах минимального многочлена, в терминах хар многочлена (БД). Обобщение корневых и собственных подпространств на идеальный спектр. Утверждение о подстановке оператора во взаимно простые многочлены. Теорема о разложении через зануляющий многочлен. Разложение пространства в прямую сумму корневых. Описание инвариантных подпространств.

Лекция 20 (07.02.2024). Геометрический смысл кратности корня минимального и характеристического многочленов. Минимальные инвариантные в собственном подпространстве для идеального спектра. Отношение равенства по модулю подпространства. Линейная независимость, порождающие и базис по модулю подпространства (определения и критерии). Определение жорданова базиса и жордановой нормальной формы (ЖНФ).

Лекция 21 (14.02.2024). Теорема о ЖНФ для нильпотентных операторов: единственность и формула для количества клеток. Теорема о ЖНФ для произвольного оператора: существование и едниственность.

Лекция 22 (21.02.2024). Классификация линейных операторов. Функционалы: двойственное (сопряженное) пространство с примерами. Понятие о двойственном базисе. Связь размерности пространства и его двойственного. Наличие функционала не равного нулю на заданном векторе.

Лекция 23 (28.02.2024). Векторы -- это функции на функциях, изоморфизм векторного пространства на свое двойное сопряженное. Конструкция сопряженного линейного отображения. Матрица сопряженного линейного отображения в двойственном базисе. Согласованность изоморфизма векторного пространства с двойным сопряженным и конструкции сопряженного линейного отображения. Билинейные формы, примеры, естественная билинейная форма между пространством и сопряженным. Матрица билинейной формы. Конструирование билинейных форм по значениям на паре базисов.

Лекция 24 (06.03.2024). Смена матрицы билинейной формы. Билинейные формы и матричный формализм. Ранг билинейной формы. Левые и правые ортогональные дополнения, ядра формы, невырожденность в терминах ядра. Связь ранга с размерностями ядер. Двойственность для подпространств относительно невырожденной билинейной формы.

Лекция 25 (13.03.2024). Двойственность для линейных отображений (альтернатива Фредгольма). Характеристики оператора и сопряженного оператора. ЖНФ сопряженного оператора. Классификационное утверждение о том, что две матрицы задают одну и ту же билинейную форму на паре разных пространств тогда и только тогда, когда их ранги совпадают. Структура векторного пространства на билинейных формах, изоморфизм на матрицы. Билинейные формы на одном пространстве. Обсуждение того, какие матричные характеристики являются инвариантами формы: (1) ранг, (2) след не является, (3) определитель по модулю квадратов ненулевых чисел, (4) невырожденность матрицы. Симметричность и кососимметричность формы. Замечание про поле характеристики 2.

Лекция 26 (20.03.2024). Разложение любой билинейной формы (на одном пространстве при обратимости двойки в поле) в сумму симметрической и кососимметрической. Ограничение билинейной формы на подпространство. Невырожденность ограничения. Диагонализуемость симметрических форм (замечание про характеристику 2). Симметричный Гаусс. Метод Якоби. Алгоритм диагонализации на основе метода Якоби.

Лекция 27 (03.04.2024). Квадратичные формы. Связь квадратичных и билинейных форм. Классификация симметрических билинейных форм над алгебраически замкнутым полем. Классификация симметричных билинейных форм над полем вещественных чисел и сигнатура. Геометрический смысл сигнатуры.

Лекция 28 (10.04.2024). Графики квадратичных форм. Анализ поверхности. Положительная и отрицательная определенность формы над полем вещественных чисел. Критерий Сильвестра. Евклидовы пространства и скалярные произведения. Ортогональные и ортонормированные базисы. Задание скалярных произведений в базисах. Ортогональные матрицы. Классификация ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса. Классификация евклидовых пространств. Замечание о сведении к школьной геометрии. Понятие длины вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла в евклидовом пространстве. Теорема Пифагора. Ортогонализация Грама-Шмидта.

Лекция 29 (12.04.2024). Проекции и ортопроекции. Формула БАБА для проектора. Формула Атата для ортопроектора. Расстояние между двумя векторами, между вектором и подпространством, угол между вектором и подпространством. Метод наименьших квадратов. Матрица Грама и ее свойства. k-мерные объемы через матрицу Грама и рекурентная формула. Расстояние от вектора до подпространства через объемы.

Лекция 30 (17.04.2024). Изменение объема под действием линейного отображения и при смене образующих параллелепипеда. Понятие ориентированного n-мерного объема. Изменение ориентированного объема при смене образующих параллелепипеда. Связь ориентированного объема с определителем. Смена ориентированного объема под действием оператора. Комплексные векторные пространства. Полуторалинейные формы, матрица полуторалинейной формы, изменение матрицы при смене базиса. Эрмитово сопряжение матрицы. Сведение к билинейным формам. Ортогональные дополнения и двойственность. Квадратичные формы для полуторалинейных форм. Поляризационная формула. Соответствие между полуторалинейными формами и квадратичными формами.

Лекция 31 (24.04.2024). Эрмитовы и косоэрмитовы формы, выражение этих свойств в терминах матриц. Вещественность значений квадратичной формы для эрмитовой полуторалинейной формы. Диагонализация эрмитовых и косоэрмитовых форм. Классификация эрмитовых форм. Понятие сигнатуры, положительная и отрицательная определенность. Метод Якоби. Критерий Сильвестра. Эрмитово векторное пространство и эрмитово скалярное произведение. Далее обзорно: Ортонормированность и ортогональность. Классификация эрмитовых пространств. Понятие длины вектора, неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла между векторами и поляризации угла. Замечание про угол и его поляризацию. Унитарные матрицы. Классификация ортонормированных базисов в терминах одного базиса в эрмитовом пространстве. Обзор геометрических понятий в эрмитовом пространстве: ортогональные проекции, углы и расстояния, метод наименьших квадратов, матрица грама и формальный объем.

Лекция 32 (22.05.2024). Комплексификация векторного пространства, его базис и размерность. Комплексификация линейного отображения и билинейной формы, их матрицы. Операторы в еклидовом и эрмитовом пространствах. Движения, различные определения, описание движений с помощью матриц. Ключевые свойства движений: спектр на окружности, собственные подпространства ортогональны, ортогональное дополнение к инвариантному инвариантно. Классификация движений в эрмитовом случае (диагонализуемость плюс спектр на окружности). Когда существует скалярное произведение, чтобы данный оператор стал унитарным.

Лекция 33 (29.05.2024). Классификация движений в евклидовом случае (блочная диагонализуемость специального вида). Когда существует скалярное произведение, чтобы данный оператор стал ортогональным. Сопряженное линейное отображение и его матрица. Связь с сопряженным отображением на двойственном пространстве. Альтернатива Фредгольма в Евклидовом и Эрмитовом случае. Нормальные операторы.

Лекция 34 (05.06.2024). Самосопряженные операторы. Матрица самосопряженного оператора. Базовые свойства самосопряженного оператора (вещественный непустой спектр, ортогональность собственных пространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному). Классификация самосопряженных операторов в эрмитовом и евклидовом пространстве. Критерий существования скалярного произведения, чтобы заданный оператор стал самосопряженным. Классификация нормальных операторов. Билинейные формы и операторы: изоморфизм между операторами и билинейными (полуторалинейными формами) в евклидовом (эрмитовом) пространстве. Приведение к главным осям. Вычисление сигнатуры симметричной билинейной (полуторалинейной) формы через спектр ее матрицы. Классификация линейных отображений между евклидовыми пространствами.

Лекция 35 (19.06.2024). SVD или сингулярное разложение. Задача о низкоранговом приближении. Сжатие данных с потерей информации.

Листки с задачами

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с основного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

• каждый пункт в листке считается отдельной задачей
• сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
• результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 октября включительно

в период с 15 по 21 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 2. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 16 декабря включительно

в период с 10 по 16 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 3. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 16 марта включительно

в период с 10 по 16 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Контрольные работы

2-й модуль

Контрольная пройдет 2-го декабря с 16:40 до 19:40. Вся информация содержится в файле с правилами.

• Правила offline

• Правила online

• Условия прошедшей контрольной работы.

4-й модуль

• Условия прошедшей контрольной работы.

Коллоквиумы

2-й модуль

Коллоквиум пройдет 16 декабря. Правила будут вывешены несколько позже.

• Список вопросов на определения и формулировки.

• Список вопросов на доказательства.

Регламент:

Коллоквиум состоит из двух этапов:

1) Определения (этап БЛОКИРУЮЩИЙ). Суммарно 2 балла. Вы тянете билет с 5 вопросами на определения и формулировки (список 1). Оценка за этап = (количество отвеченных определений - 3) или 0 если на определениях оценка строго меньше 1. Если у вас оценка не ноль, то вы проходите на второй этап. Иначе вы уходите с коллоквиума с нулем.

2) Доказательства. Суммарно 8 баллов. Вы тянете билет с вопросами из списка 2.

• Документа с правилами и полезными ссылками.

Экзамен

2-й модуль

• Условия прошедшего экзамена.

4-й модуль

• Условия прошедшего экзамена.

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

231	232	233	234

Результаты сдачи задач из листков

231	232	233	234

Результаты 1-й контрольной работы

231	232	233	234

Сводные таблицы с оценками

231	232	233	234

3-4 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

231	232	233	234

Результаты сдачи задач из листков

231	232	233	234

Результаты 2-й контрольной работы

231	232	233	234

Сводные таблицы с оценками

231	232	233	234

Ссылки

• Общие

1. Канал в Telegram
2. Лекции на github.
3. Алгоритмы на github.

• Группа 231

1. Группа в Telegram
2. Материалы семинаров и домашние задания

• Группа 233

1. Группа в Telegram
2. Материалы семинаров и домашние задания

Литература

Учебники

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
• S. Axler. Linear Algebra Done Right, Second Edition, Springer, 1997 (или любое последующее издание)

Сборники задач

• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.