Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2022/2023 (пилотный поток)

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Перейти к: навигация, поиск

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа БПМИ221-1 БПМИ221-2 БПМИ222 БПМИ223-1 БПМИ223-2 БПМИ224
Лектор Дима Трушин
Семинарист Дима Трушин Юля Зайцева Дима Трушин Сергей Смирнов
Ассистент Полина Шайдурова Игорь Маркелов Денис Башарин Полина Шайдурова Игорь Маркелов Юра Кулев

Расписание консультаций

Преподаватель/ассистент понедельник вторник среда четверг пятница суббота воскресенье
1
 Дима Трушин 17:00 S812
2
 Юля Зайцева 16:20-18:00 очно 19:00-20:00 онлайн
3
 Сергей Смирнов

Формы контроля знаний студентов

  • Коллоквиум
  • Контрольная работа
  • Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
  • Активность и работа на семинарах
  • Экзамен

Бонус к накопленной оценке:

  • Устная сдача задач из листков

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,36 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,14 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

4-й модуль

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,36 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,14 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

Итоговая оценка за курс -- оценка за 4-ый модуль.


Краткое содержание лекций

1-2 модули

Лекция 1 (07.09.2022). Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса.

Лекция 2 (14.09.2022). Матрицы, матричные операции и их свойства. Связь с линейными уравнениями. Обратимость матриц. Матрицы элементарных преобразований. Невырожденность матриц: 6 эквивалентных определений.

Лекция 3 (21.09.2022). Следствия 6 эквивалентных определений. Массовое решение систем. Поиск обратной матрицы Гауссом. Блочные формулы умножения матриц. Блочные элементарные преобразования. Лемма об изменении множества решений при выкидывании уравнения в ступенчатом виде. Единственность улучшенного ступенчатого вида матрицы. Классификация систем с одинаковым множеством решений.

Лекция 4 (28.09.2022). Полиномиальное исчисление от матриц. Существование многочлена зануляющего матрицу. Спектр матрицы. Минимальный многочлен и его связь со спектром. Наивная оценка на степень минимального многочлена. Матричные нормы.

Лекция 5 (05.10.2022). Перестановки. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки. Существование и единственность знака перестановки. Декремент.

Лекция 6 (12.10.2022). Три подхода к определителям: (I) явная формула с помощью перестановок, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) согласованность с умножением. Вычисление по явной формуле для верхнетреугольных матриц и в случае размерностей 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Полилинейность определителя (импликация (I)=>(II)). Определитель элементарных матриц. Доказательство импликации (II)=>(I).

Лекция 7 (19.10.2022). Мультипликативность определителя (импликация (II)=>(III)), определитель блочно верхнетреугольной матрицы. Импликация (III)=>(I). Миноры и алгебраические дополнения, присоединенная матрица. Разложение определителя по строке или столбцу. Явная формула для обратной матрицы.

Лекция 8 (02.11.2022). Формулы Крамера. Характеристический многочлен. Связь характеристического многочлена со спектром. Явные формулы для коэффициентов характеристического многочлена. Теорема Гамильтона-Кэли.

Лекция 9 (09.11.2022). Определение поля. Определение подполя и изоморфизма полей, изоморфизм над подполем. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Различные операции на комплексных числах, геометрическая модель.

Лекция 10 (16.11.2022). Доказательство алгебраической замкнутости поля комплексных чисел: вспомогательные утверждения (1), (2) и (3), сведение доказательства теоремы к (2) и (3), вывод (2) из (1), доказательство (1) и (3). Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость.

Лекция 11 (23.11.2022). Порождающая система, линейная оболочка. Три эквивалентных определения базиса. Понятие размерности. Конечномерные векторные пространства. Базисы, матрица перехода, смена координат.

Лекция 12 (30.11.2022). Ранг конечной системы векторов, его связь с размерностью линейной оболочки системы. Пять определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Неизменность первых четырех рангов при домножении на обратимую матрицу слева и справа и их совпадение. Совпадение минорного ранга с остальными.

Лекция 13 (07.12.2022). Линейные отображения, примеры. Изоморфизмы. Операции на линейных отображениях, структура векторного пространства. Критерий существования линейного отображения в терминах базиса, критерий изоморфности векторных пространств. Матрица линейного отображения и ее связь с операциями на линейных отображениях. Замена матрицы линейного отображения при смене базисов. Образ и ядро. Критерий инъективности и сюръективности в их терминах.

Лекция 14 (14.12.2022). Оценка ранга произведения матриц. Связь размерности ядра и образа линейного отображения. Классификация линейных отображений. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей. Линейная независимость подрпостранств. Внешние и внутренние прямые суммы (6 эквивалентных определений).

3-4 модули

Лекция 15 (11.01.2023). Линейные операторы, определения и примеры, проекторы. Матрица линейного оператора, смена матрицы при замене базиса. Характеристики линейного оператора: след, определитель, характеристический многочлен, минимальный многочлен, спектр, ранг. Критерии обратимости линейного оператора. Инвариантные подпространства и связь с углом нулей. Инвариантность ядра и образа относительно коммутирующего оператора.

Лекция 16 (18.01.2023). Собственные подпространства. Связь собственных значений со спектором, кратность собственных значений. Существование ненулевого собственного вектора над алгебраически замкнутым полем. Корневые подпространства. Лемма о стабилизации образа и ядра степени линейного оператора. Линейная независимость собственных и корневых подпространств. Критерий диагонализуемости линейного оператора.

Лекция 17 (25.01.2023). Свойства ограничения оператора. Приведение к верхнетреугольному виду матрицы оператора. Идеальный спектр и его описание в терминах минимального многочлена, в терминах хар многочлена (БД). Обобщение корневых и собственных подпространств на идеальный спектр.

Лекция 18 (01.02.2023). Утверждение о подстановке оператора во взаимно простые многочлены. Теорема о разложении через зануляющий многочлен. Разложение пространства в прямую сумму корневых. Описание инвариантных подпространств. Геометрический смысл кратности корня минимального и характеристического многочленов. Минимальные инвариантные в собственном подпространстве для идеального спектра.

Лекция 19 (08.02.2023). Отношение равенства по модулю подпространства. Линейная независимость, порождающие и базис по модулю подпространства (определения и критерии). Определение жорданова базиса и жордановой нормальной формы (ЖНФ). Теорема о ЖНФ для нильпотентных операторов: единственность и формула для количества клеток.

Лекция 20 (15.02.2023). Теорема о ЖНФ для произвольного оператора: существование и едниственность. Классификация линейных операторов.

Лекция 21 (22.02.2023). Функционалы: двойственное (сопряженное) пространство с примерами. Понятие о двойственном базисе. Связь размерности пространства и его двойственного. Векторы -- это функции на функциях, изоморфизм векторного пространства на свое двойное сопряженное. Конструкция сопряженного линейного отображения. Матрица сопряженного линейного отображения в двойственном базисе.

Лекция 22 (01.03.2023). Согласованность изоморфизма векторного пространства с двойным сопряженным и конструкции сопряженного линейного отображения. Тензоры. Билинейные отображения и универсальная операция умножения. Примеры. Единственность универсальной операции. Достаточные условия универсальности операции умножения. Существование тензорного произведения (конструкция через базисы), независимость конструкции от базиса. Размерность тензорного произведения. Примеры: 1) тензорное произведение с полем, 2) тензорное прозиведение F^n и F^m, 3) Линейные отображения как тензорное произведение.

Лекция 23 (15.03.2023). Индуцированное линейное отображение на тензорном произведении. Линейная независимость с векторными коэффициентами. Тензорное произведение нескольких подпространств. Свертка. Примеры: 1) след как свертка, 2) композиция линейных отображений как свертка. Тензоры на пространстве V типа (p, q). Обозначения Эйнштейна. Смена базиса. Примеры: 1) тензоры типа (1,0) -- вектры, 2) тензоры типа (0, 1) -- линейные функции, 3) тензоры типа (1, 1) -- линейные операторы. Билинейные формы, примеры, естественная билинейная форма между пространством и сопряженным. Матрица билинейной формы.

Лекция 24 (22.03.2023). Билинейные формы и матричный формализм. Смена матрицы билинейной формы. Конструирование билинейных форм по значениям на паре базисов. Ранг билинейной формы. Левые и правые ортогональные дополнения, ядра формы, невырожденность в терминах ядра. Связь ранга с размерностями ядер. Двоейственность для подпространств относительно невырожденной билинейной формы. Двойственность для линейных отображений (альтернатива Фредгольма). Характеристики оператора и сопряженного оператора.

Лекция 25 (05.04.2023). ЖНФ сопряженного оператора. Классификационное утверждение о том, что две матрицы задают одну и ту же билинейную форму на паре разных пространств тогда и только тогда, когда их ранги совпадают. Структура векторного пространства на билинейных формах, изоморфизм на матрицы. Билинейные формы на одном пространстве.Обсуждение того, какие матричные характеристики являются инвариантами формы: (1) ранг, (2) след не является, (3) определитель по модулю квадратов ненулевых чисел, (4) невырожденность матрицы. Симметричность и кососимметричность формы. Замечание про поле характеристики 2. Разложение любой билинейной формы (на одном пространстве при обратимости двойки в поле) в сумму симметрической и кососимметрической. Ограничение билинейной формы на подпространство. Невырожденность ограничения. Диагонализуемость симметрических форм (замечание про характеристику 2).

Лекция 26 (12.04.2023). Симметричный Гаусс. Метод Якоби. Алгоритм диагонализации на основе метода Якоби. Квадратичные формы. Связь квадратичных и билинейных форм. Метод Лагранжа. Классификация симметрических билинейных форм над алгебраически замкнутым полем. Классификация симметричных билинейных форм над полем вещественных чисел и сигнатура.

Лекция 27 (19.04.2023). Геометрический смысл сигнатуры. Положительная и отрицательная определенность формы над полем вещественных чисел. Критерий Сильвестра. Графики квадратичных форм. Анализ поверхности. Евклидовы пространства и скалярные произведения. Ортогональные и ортонормированные базисы. Задание скалярных произведений в базисах. Ортогональные матрицы. Классификация ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса. Классификация евклидовых пространств. Замечание о сведении к школьной геометрии.

Лекция 28 (26.04.2023). Понятие длины вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла в евклидовом пространстве. Теорема Пифагора. Ортогонализация Грама-Шмидта. Проекции и ортопроекции. Формула БАБА для проектора. Формула Атата для ортопроектора. Расстояние между двумя векторами, между вектором и подпространством, угол между вектором и подпространством. Метод наименьших квадратов. Матрица Грама и ее свойства.

Лекция 29 (10.05.2023). k-мерные объемы через матрицу Грама и рекурентная формула. Расстояние от вектора до подпространства через объемы. Изменение объема под действием линейного отображения и при смене образующих параллелепипеда. Понятие ориентированного n-мерного объема. Изменение ориентированного объема при смене образующих параллелепипеда. Связь ориентированного объема с определителем. Смена ориентированного объема под действием оператора. Комплексные векторные пространства. Полуторалинейные формы, матрица полуторалинейной формы, изменение матрицы при смене базиса.

Лекция 30 (17.05.2023). Эрмитово сопряжение матрицы. Сведение к билинейным формам. Ортогональные дополнения и двойственность. Квадратичные формы для полуторалинейных форм. Поляризационная формула. Соответствие между полуторалинейными формами и квадратичными формами. Эрмитовы и косоэрмитовы формы, выражение этих свойств в терминах матриц. Вещественность значений квадратичной формы для эрмитовой полуторалинейной формы. Диагонализация эрмитовых и косоэрмитовых форм. Классификация эрмитовых форм. Понятие сигнатуры, положительная и отрицательная определенность. Метод Якоби. Критерий Сильвестра. Эрмитово векторное пространство и эрмитово скалярное произведение. Далее обзорно: Ортонормированность и ортогональность. Классификация эрмитовых пространств. Понятие длины вектора, неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла между векторами и поляризации угла. Замечание про угол и его поляризацию. Унитарные матрицы. Классификация ортонормированных базисов в терминах одного базиса в эрмитовом пространстве. Обзор геометрических понятий в эрмитовом пространстве: ортогональные проекции, углы и расстояния, метод наименьших квадратов, матрица грама и формальный объем. Комплексификация векторного пространства, его базис и размерность.

Лекция 31 (24.05.2023). Комплексификация векторного пространства, его базис и размерность. Комплексификация линейного отображения и билинейной формы, их матрицы. Операторы в еклидовом и эрмитовом пространствах. Движения, различные определения, описание движений с помощью матриц. Ключевые свойства движений: спектр на окружности, собственные подпространства ортогональны, ортогональное дополнение к инвариантному инвариантно. Классификация движений в эрмитовом случае (диагонализуемость плюс спектр на окружности). Когда существует скалярное произведение, чтобы данный оператор стал унитарным. Классификация движений в евклидовом случае (блочная диагонализуемость специального вида). Когда существует скалярное произведение, чтобы данный оператор стал ортогональным.

Лекция 32 (31.05.2023). Сопряженное линейное отображение и его матрица. Связь с сопряженным отображением на двойственном пространстве. Самосопряженные операторы. Матрица самосопряженного оператора. Базовые свойства самосопряженного оператора (вещественный непустой спектр, ортогональность собственных пространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному). Классификация самосопряженных операторов в эрмитовом и евклидовом пространстве. Критерий существования скалярного произведения, чтобы заданный оператор стал самосопряженным. Билинейные формы и операторы: изоморфизм между операторами и билинейными (полуторалинейными формами) в евклидовом (эрмитовом) пространстве. Приведение к главным осям. Вычисление сигнатуры симметричной билинейной (полуторалинейной) формы через спектр ее матрицы.

Лекция 33 (07.06.2023). Классификация линейных отображений между евклидовыми пространствами. SVD или сингулярное разложение. Задача о низкоранговом приближении. Сжатие данных с потерей информации.

Листки с задачами

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с основного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

  • каждый пункт в листке считается отдельной задачей
  • сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
  • результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 22 октября включительно

в период с 16 по 22 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 2. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 17 декабря включительно

в период с 11 по 17 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 3. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 18 марта включительно

в период с 12 по 18 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 4. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 3 июня включительно

в период с 28 мая по 3 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Индивидуальные домашние задания

ИДЗ-1

Условия с заданиями

Дедлайн -- 23:00 19-го октября.

ИДЗ-2

Условия с заданиями

Дедлайн -- 23:00 25-го ноября.

Лабораторные работы

Лабораторная работа 1 (3-й модуль)

Ссылка на описание лабораторной со всеми ссылками и инструкциями.

Лабораторную надо сдать в систему anytask. Ниже инвайты для всех групп

221 222 223 224
gZABVFW anmOY7I kXHuXNE lI3Y7Q3

Лабораторная работа 2 (4-й модуль)

Ссылка на описание лабораторной со всеми ссылками и инструкциями.

Лабораторную надо сдать в систему anytask.

Пожалуйста, ознакомьтесь с тем, как без боли строить красивые, информативные графики в ноутбуках. В этой лабораторной за некачественное оформление будут очень строго штрафовать. Вот хороший, краткий, простой гайд с примерами. Ссылка

Лабораторная работа 3 (4-й модуль)

Ссылка на описание лабораторной со всеми ссылками и инструкциями.

Лабораторную надо сдать в систему anytask.

Если вы по какой-то причине пропустили ссылку на ноутбук с графиками в предыдущей лабораторной - ознакомьтесь с ней сейчас, пожалуйста.

Контрольные работы

2-й модуль

4-й модуль

Коллоквиумы

2-й модуль

4-й модуль

Экзамен

2-й модуль

Экзамен пройдет 28-го декабря с 11:00. Очная часть будет в аудитории R401. Online часть будет проходить в Зум.

  • Файл с правилами для очной части.
  • Файл с правилами для online части.

4-й модуль

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

221 222 223 224

Результаты сдачи задач из листков

221 222 223 224

Результаты 1-й контрольной работы

221 222 223 224

Сводные таблицы с оценками

221 222 223 224

3-4 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

221 222 223 224

Результаты сдачи задач из листков

221 222 223 224

Результаты 2-й контрольной работы

221 222 223 224

Сводные таблицы с оценками

221 222 223 224

Ссылки

  • Общие
  1. Канал в Telegram
  2. Лекции на github.
  3. Алгоритмы
  • Группа 221
  1. Группа в Telegram
  2. Материалы семинаров и домашние задания
  • Группа 223
  1. Группа в Telegram
  2. Материалы семинаров и домашние задания

Литература

Учебники

  • Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
  • S. Axler. Linear Algebra Done Right, Second Edition, Springer, 1997 (или любое последующее издание)

Сборники задач

  • Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
  • И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
  • Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.
Источник — «http://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=Линейная_алгебра_и_геометрия_на_ПМИ_2022/2023_(пилотный_поток)&oldid=88061»