Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2020/2021 (пилотный поток)

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ201	БПМИ202	БПМИ204
Лектор	Дима Трушин
Семинарист	Дима Трушин	Антон Шафаревич	Сергей Гайфуллин
Ассистент	Миша Катунькин (@mak_corp Telegram)	Петя Гринберг (@Blinorot Telegram)	Артем Исмагилов (@artem_ismagilov Telegram)

Расписание консультаций

	Преподаватель/ассистент	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница
1	Дима Трушин			с 17:00 в zoom
2	Антон Шафаревич
3	Сергей Гайфуллин
4	Миша Катунькин
5	Петя Гринберг
6	Артем Исмагилов

Консультации с ассистентами -- по договоренности. Пишите им в телеграм.

Формы контроля знаний студентов

• Коллоквиум
• Контрольная работа
• Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
• Активность и работа на семинарах
• Экзамен

Бонус к накопленной оценке:

• Устная сдача задач из листков

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Формула для накопленной оценки:

O_{накопленная} = 0,36 * О_колл + 0,25 * O_к/р + 0,25 * O_д/з + 0,14 * O_сем + 0,1 * O_л,

где О_колл — оценка за коллоквиум, O_к/р — оценка за контрольную работу, O_д/з — оценка за большие домашние задания, O_сем — оценка за работу на семинарах и O_л — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

O_{итоговая} = 0,7 * O_{накопленная} + 0,3 * О_экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

4-й модуль

Формула для накопленной оценки:

O_{накопленная} = 0,36 * О_колл + 0,25 * O_к/р + 0,25 * O_д/з + 0,14 * O_сем + 0,1 * O_л,

где О_колл — оценка за коллоквиум, O_к/р — оценка за контрольную работу, O_д/з — оценка за большие домашние задания, O_сем — оценка за работу на семинарах и O_л — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

O_{итоговая} = 0,7 * O_{накопленная} + 0,3 * О_экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

Итоговая оценка за курс -- оценка за 4-ый модуль.

Краткое содержание лекций

1-2 модули

Лекция 1 (09.09.2020). Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса.

Лекция 2 (16.09.2020). Матрицы, матричные операции и их свойства. Связь с линейными уравнениями. Обратимость матриц. Матрицы элементарных преобразований. Невырожденность матриц: 6 эквивалентных определений.

Лекция 3 (23.09.2020). Поиск обратной матрицы Гауссом. Единственность улучшенного ступенчатого вида матрицы. Классификация систем с одинаковым множеством решений. Блочные формулы умножения матриц. Блочные элементарные преобразования.

Лекция 4 (30.09.2020). Полиномиальное исчисление от матриц. Существование многочлена зануляющего матрицу. Спектр матрицы. Минимальный многочлен и его связь со спектром. Наивная оценка на степень минимального многочлена. Матричные нормы. Примеры матричных норм. Понятие о согласованной норме. Краткий обзор того, для чего нужны нормы: понятие расстояния между матрицами, сходимость, вычисление гладких функций от матриц.

Лекция 5 (07.10.2020). Перестановки. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки.

Лекция 6 (14.10.2020). Три подхода к определителям: (I) согласованность с умножением, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) явная формула с помощью перестановок. Доказательство эквивалентности второго и третьего подходов.

Лекция 7 (28.10.2020). Мультипликативность определителя, определитель блочно верхнетреугольной матрицы. Доказательство эквивалентности (I) и (II) для определителей.

Лекция 8 (04.11.2020). Миноры и алгебраические дополнения, присоединенная матрица. Разложение определителя по строке или столбцу. Явная формула для обратной матрицы. Формулы Крамера. Характеристический многочлен и его связь со спектром. Явные формулы для коэффициентов характеристического многочлена.

Лекция 9 (11.11.2020). Доказательство явных формул для коэффициентов характеристического многочлена. Теорема Гамильтона-Кэли. Определение поля.

Лекция 10 (18.11.2020). Определение подполя и изоморфизма полей, изоморфизм над подполем. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Различные операции на комплексных числах, геометрическая модель. Доказательство алгебраической замкнутости поля комплексных чисел: вспомогательные утверждения (1) и (2), сведение доказательства теоремы к (1) и (2), доказательство (1).

Лекция 11 (25.11.2020). Доказательство утверждения (2) для алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость, линейная оболочка.

Лекция 12 (02.12.2020). Три эквивалентных определения базиса. Понятие размерности. Конечномерные векторные пространства. Базисы, матрица перехода, смена координат.

Лекция 13 (09.12.2020). Подпространства в R^n. Фундаментальная система решений (ФСР). Ранг конечной системы векторов, его связь с размерностью линейной оболочки системы. Пять определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Неизменность первых четырех рангов при домножении на обратимую матрицу слева и справа и их совпадение. Совпадение минорного ранга с остальными.

Лекция 14 (16.12.2020). Линейные отображения, примеры. Изоморфизмы. Операции на линейных отображениях, структура векторного пространства. Критерий существования линейного отображения в терминах базиса, критерий изоморфности векторных пространств. Матрица линейного отображения и ее связь с операциями на линейных отображениях. Замена матрицы линейного отображения при смене базисов. Образ и ядро. Критерий инъективности и сюръективности в их терминах.

3-4 модули

Лекция 15 (13.01.2021). Оценка ранга произведения матриц. Связь размерности ядра и образа линейного отображения. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей. Линейная независимость подрпостранств. Внешние и внутренние прямые суммы (6 эквивалентных определений).

Лекция 16 (20.01.2021). Линейные операторы, определения и примеры, проекторы. Матрица линейного оператора, смена матрицы при замене базиса. Характеристики линейного оператора: след, определитель, характеристический многочлен, минимальный многочлен, спектр. Критерии обратимости линейного оператора. Инвариантные подпространства и связь с углом нулей. Инвариантность ядра и образа относительно коммутирующего оператора. Неболее чем одномерные инвариантные подпространства и собственные векторы, собственные значения.

Лекция 17 (27.01.2021). Собственные подпространства. Связь собственных значений со спектором, кратность собственных значений. Существование ненулевого собственного вектора над алгебраически замкнутым полем. Корневые подпространства. Лемма о стабилизации образа и ядра степени линейного оператора. Классификационный результат для линейных отображений. Объявлена цель: классификационный результат для линейных операторов. Линейная независимость собственных и корневых подпространств.

Лекция 18 (03.02.2021). Критерий диагонализуемости линейного оператора. Свойства ограничения оператора. Приведение к верхнетреугольному виду матрицы оператора. Идеальный спектр и его описание в терминах минимального многочлена, в терминах хар многочлена (БД).

Лекция 19 (10.02.2021). Обобщение корневых и собственных подпространств на идеальный спектр. Утверждение о подстановке оператора во взаимно простые многочлены. Теорема о разложении через зануляющий многочлен. Разложение пространства в прямую сумму корневых. Описание инвариантных подпространств. Геометрический смысл кратности корня минимального и характеристического многочленов.

Лекция 20 (17.02.2021). Отношение равенства по модулю подпространства. Линейная независимость, порождающие и базис по модулю подпространства (определения и критерии). Определение жорданова базиса и жордановой нормальной формы (ЖНФ). Теорема о ЖНФ для нильпотентных операторов: единственность и формула для количества клеток.

Лекция 21 (24.02.2021). Теорема о ЖНФ для произвольного оператора: существование и едниственность. Классификация линейных операторов. Функционалы: двойственное (сопряженное) пространство с примерами. Понятие о двойственном базисе. Связь размерности пространства и его двойственного.

Лекция 22 (03.03.2021). Векторы -- это функции на функциях, изоморфизм векторного пространства на свое двойное сопряженное. Конструкция сопряженного линейного отображения. Матрица сопряженного линейного отображения в двойственном базисе. Согласованность изоморфизма векторного пространства с двойным сопряженным и конструкции сопряженного линейного отображения. Билинейные формы, примеры, естественная билинейная форма между пространством и сопряженным.

Лекция 23 (10.03.2021). Матрица билинейной формы, замена матрицы билинейной формы при смене координат, матричный формализм. Конструирование билинейных форм по значениям на паре базисов. Ранг билинейной формы. Левые и правые ортогональные дополнения, ядра формы, невырожденность в терминах ядра. Связь ранга с размерностями ядер. Двоейственность для подпространств относительно невырожденной билинейной формы.

Лекция 24 (17.03.2021). Двойственность для линейных отображений (альтернатива Фредгольма). Характеристики оператора и сопряженного оператора. ЖНФ сопряженного оператора. Классификационное утверждение о том, что две матрицы задают одну и ту же билинейную форму на паре разных пространств тогда и только тогда, когда их ранги совпадают. Структура векторного пространства на билинейных формах, изоморфизм на матрицы. Билинейные формы на одном пространстве. Симметричный Гаусс. Обсуждение того, какие матричные характеристики являются инвариантами формы: (1) ранг, (2) след не является, (3) определитель по модулю квадратов ненулевых чисел, (4) невырожденность матрицы. Симметричность и кососимметричность формы. Замечание про поле характеристики 2.

Лекция 25 (24.03.2021). Разложение любой билинейной формы (на одном пространстве при обратимости двойки в поле) в сумму симметрической и кососимметрической. Ограничение билинейной формы на подпространство. Невырожденность ограничения. Диагонализуемость симметрических форм (замечание про характеристику 2). Симметричный Гаусс. Метод Якоби.

Лекция 26 (07.04.2021). Алгоритм диагонализации на основе метода Якоби. Квадратичные формы. Связь квадратичных и билинейных форм. Метод Лагранжа. Классификация симметрических билинейных форм над алгебраически замкнутым полем. Классификация симметричных билинейных форм над полем вещественных чисел и сигнатура.

Лекция 27 (14.04.2021). Геометрический смысл сигнатуры. Положительная и отрицательная определенность формы над полем вещественных чисел. Критерий Сильвестра. Графики квадратичных форм. Анализ поверхности. Евклидовы пространства и скалярные произведения. Ортогональные и ортонормированные базисы. Задание скалярных произведений в базисах. Разложение вектора по ортогональным и ортонормированным базисам. Ортогональные матрицы. Классификация ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса. Классификация евклидовых пространств. Замечание о сведении к школьной геометрии.

Лекция 28 (21.04.2021). Понятие длины вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла в евклидовом пространстве. Теорема Пифагора. Ортогонализация Грама-Шмидта. Проекции и ортопроекции. Формула БАБА для проектора. Формула Атата для ортопроектора. Расстояние между двумя векторами, между вектором и подпространством, угол между вектором и подпространством.

Лекция 29 (28.04.2021). Метод наименьших квадратов. Матрица Грама и ее свойства. k-мерные объемы через матрицу Грама и рекурентная формула. Расстояние от вектора до подпространства через объемы. Изменение объема под действием линейного отображения и при смене образующих параллелепипеда. Ориентация базисов.

Лекция 30 (12.05.2021). Понятие ориентированного n-мерного объема. Изменение ориентированного объема при смене образующих параллелепипеда. Связь ориентированного объема с определителем. Смена ориентированного объема под действием оператора. Комплексные векторные пространства. Полуторалинейные формы, матрица полуторалинейной формы, изменение матрицы при смене базиса. Эрмитово сопряжение матрицы. Сведение к билинейным формам. Ортогональные дополнения и двойственность. Квадратичные формы для полуторалинейных форм. Поляризационная формула. Соответствие между полуторалинейными формами и квадратичными формами. Эрмитовы и косоэрмитовы формы, выражение этих свойств в терминах матриц. Вещественность значений квадратичной формы для эрмитовой полуторалинейной формы. Диагонализация эрмитовых и косоэрмитовых форм.

Лекция 31 (19.05.2021). Классификация эрмитовых форм. Понятие сигнатуры, положительная и отрицательная определенность. Метод Якоби. Критерий Сильвестра. Эрмитово векторное пространство и эрмитово скалярное произведение. Ортонормированность и ортогональность. Классификация эрмитовых пространств. Понятие длины вектора, неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла между векторами и поляризации угла. Замечание про угол и его поляризацию. Унитарные матрицы. Классификация ортонормированных базисов в терминах одного базиса в эрмитовом пространстве. Обзор геометрических понятий в эрмитовом пространстве: ортогональные проекции, углы и расстояния, метод наименьших квадратов, матрица грама и формальный объем. Комплексификация векторного пространства, его базис и размерность. Комплексификация линейного отображения и билинейной формы, их матрицы.

Лекция 32 (26.05.2021). Операторы в еклидовом и эрмитовом пространствах. Движения, различные определения, описание движений с помощью матриц. Ключевые свойства движений: спектр на окружности, собственные подпространства ортогональны, ортогональное дополнение к инвариантному инвариантно. Классификация движений в эрмитовом случае (диагонализуемость плюс спектр на окружности). Когда существует скалярное произведение, чтобы данный оператор стал унитарным. Классификация движений в евклидовом случае (блочная диагонализуемость специального вида). Когда существует скалярное произведение, чтобы данный оператор стал ортогональным.

Лекция 33 (02.06.2021). Сопряженное линейное отображение и его матрица. Связь с сопряженным отображением на двойственном пространстве. Самосопряженные операторы. Матрица самосопряженного оператора. Базовые свойства самосопряженного оператора (вещественный непустой спектр, ортогональность собственных пространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному). Классификация самосопряженных операторов в эрмитовом и евклидовом пространстве. Критерий существования скалярного произведения, чтобы заданный оператор стал самосопряженным. Билинейные формы и операторы: изоморфизм между операторами и билинейными (полуторалинейными формами) в евклидовом (эрмитовом) пространстве. Приведение к главным осям. Вычисление сигнатуры симметричной билинейной (полуторалинейной) формы через спектр ее матрицы.

Лекция 34 (09.06.2021). Классификация линейных отображений между евклидовыми пространствами. SVD или сингулярное разложение. Ортопроекторы и их характеризация в терминах сопряжения. Вычисление размерности образа ортопроектора. Задача о низкоранговом приближении. Сжатие данных с потерей информации.

Лекция 35 (16.06.2021). Векторное произведение, смешанное произведение и его связь с ориентированным объемом и определителем. Формулы для векторного произведения. Аффинные пространства, репер и положительно определенные декартовы системы координат. Линейные многообразия и два способа их задания. Направляющие пространства, размерность линейного многообразия. Связь со СЛУ и ОСЛУ. Линейные многообразия в евклидовых и эрмитовых пространствах. Проективные пространства и подпространства, их размерность. Однородные координаты, аффинные карты и неоднородные координаты. Проективные преобразования и их запись в координатах (однородных и неоднородных). Пример применения проективных преобразований для реализации z-буффера в 3D движках.

Листки с задачами

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с основного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

• каждый пункт в листке считается отдельной задачей
• сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
• результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 31 октября включительно

в период с 25 по 31 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 2. Разложения матриц

Листок 3. Тензорное произведение векторных пространств

Листок 4. Конусы

Лабораторные работы

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему AnyTask. Инвайты для регистрации на курс:

201	202	204
ztNLbwi	DapdRS6	PjRSpW3

Краткое руководство по работе с системой прилагается.

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать Анаконду (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: st-fedotov@yandex-team.ru

Внимание: тема письма должна начинаться с [ФКН - лабораторная N], где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

Лабораторная работа 1 (2-й модуль)

Файл с условием, а также картинка к файлу лежат тут.

Срок:

10 декабря 23:00

Лабораторная работа 2 (4-й модуль)

Файл с условием, а также остальные файлы лежат тут.

Срок:

16 мая 23:00

Лабораторная работа 3 (4-й модуль)

Файл с условием, а также картинка к файлу лежат тут.

Срок:

17 июня 23:00 для всех групп

Контрольные работы

2-й модуль

Дата-время: 21 ноября, 18:10

• Вариант прошедшей контрольной.

4-й модуль

• Вариант прошедшей контрольной.

Коллоквиумы

2-й модуль

Дата проведения 15 декабря с 13:00 в Zoom. У каждого будет индивидуальное время, список будет опубликован позже.

Материалы для подготовки:

Список определений и формулировок

Список вопросов на доказательство

Формат проведения:

Предварительные правила проведения коллоквиума

4-й модуль

Дата проведения (планируется) 14 июня в онлайн формате. Подробности будут позже.

Материалы для подготовки:

Список определений и формулировок

Список вопросов на доказательство

Экзамен

2-й модуль

Дата-время: 29 декабря, 11:00. Сбор в 10:30.

Ссылка на zoom трансляцию.

Ссылка на правила проведения экзамена.

Ссылка на вариант экзамена.

4-й модуль

Дата-время: 30 июня, 11:00. Сбор в 10:30.

Ссылка на zoom трансляцию

Ссылка на правила проведения экзамена.

Ссылка на вариант экзамена.

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

201	202	204

Результаты сдачи задач из листков

201	202	204

Результаты 1-й контрольной работы

201	202	204

Сводные таблицы с оценками

201	202	204

3-4 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

201	202	204

Результаты сдачи задач из листков

201	202	204

Результаты 2-й контрольной работы

201	202	204

Сводные таблицы с оценками

201	202	204

Ссылки

Лекции на github Все правки и предложения по модификациям просьба выполнять в виде pull request-ов на github-е.

Материалы к лекциям пилота. В частности тут содержатся виртуальные доски лекций прошедших в онлайн формате.

Материалы семинаров 201 группы

Playlist с записями лекций на youtube

Литература

Учебники

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
• S. Axler. Linear Algebra Done Right, Second Edition, Springer, 1997 (или любое последующее издание)

Сборники задач

• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.